高数38方程近似解课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解三、一般迭代法 (补充) 的实根求方程0)(xf可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(有时计算很繁)本节内容:一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解，内只有一个根在若方程,0)(baxf内严格单调）（在且baxf,)(为则称,ba.其隔根区间0)()(, ,)(bfafbaCxf为隔根区间,ba(1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法求隔根区间的一般方法 ;)(估计隔根区间的草图由xfy 转化为等价方程将0)(xfOxy)(xfy .)(, )(的草图估计隔根区间

2、由xyxyab)()(xx)(xy)(xyOxyab目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解01,3 xx方程例如13 xx由图可见只有一个实根, )5 . 1, 1 (可转化为.)5 . 1, 1 (即为其隔根区间,的左端点出发从区间ba以定步长 h 一步步向右搜索, 若0) 1()(hjafjhaf) 1(;, 1,0(bhjaj.) 1(内必有根，则区间hjajha搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h 0 .xy213xy 1 xyO目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解只有且方程0)(xf1a1b，设,)(baCxf，0)()(bfaf，一个根),(ba取中点，2

3、1ba1，若0)(1f.1即为所求根则，若0)()(1faf, ),(1a则根;,111baa令, ),(1b否则对新的隔根区间,11ba重复以上步骤,反复进行,得 ,111bba令,11nnbababa的中点若取,nnba则误差满足)(211nnnab )(121abnab)(211nnnba ,的近似根作为0 n1a1b目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解04 . 19 . 01 . 123xxx的近似实根时,要使误差不超过,103至少应对分区间多少次 ?解解: 设 ,4 . 19 . 01 . 1)(23xxxxf),()(Cxf则9 . 02 . 23)(2xxxf)067

4、. 5(0,),()(单调递增在xf又,04 . 1)0(f06 . 1) 1 (f故该方程只有一个实根 , 1,0为其一个隔根区间欲使)01 (1211nn310必需,100021n即11000log2n96. 8可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值10目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解:)(满足xf0)()(,) 1bfafba上连续在不变号及上在)()(,)2xfxfba .),(0)(内有唯一的实根在方程baxf有如下四种情况:xbayOxbayOxbayOxbayO00 ff00 ff00 ff00 ff目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解)(

5、)(0001xfxfxx程的近似根 .记纵坐标与)(xf 同号的端点为,)(,(00 xfx用切线近似代替曲线弧求方1x在此点作切线 ,其方程为)()(000 xxxfxfy令 y = 0 得它与 x 轴的交点, )0,(1x其中再在点)(,(11xfx作切线 , 可得近似根.2x如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :)()(111nnnnxfxfxx),2, 1(n2x称为牛顿迭代公式牛顿迭代公式 yxabO0 x目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解1x2xyxabO0 x)()(111nnnnxfxfxx由微分中值定理得)()()(nnxffxf)(之间与在nx,0)(f)

6、()(fxfxnn,0则得mxfxnn)(说明说明: 用牛顿法时,若过纵坐标与)(xf 异号的端点作切线 ,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在.,内ba)(min,xfmba记目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解(1) 简化牛顿法简化牛顿法若用一常数代替, )(1nxf即用平行, )()(10nxfxf代替例如用则得简化牛顿迭代公式. 线代替切线,得)()(011xfxfxxnnn),2, 1(n优点:，避免每次计算)(1nxf因而节省计算量.缺点: 逼近根的速度慢一些. yxaO0 x目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解yx0 x1x为避免求导运算 , )(1nxf用

7、割线代替切线,2121)()(nnnnxxxfxf即用差商代替从而得迭代公式:)()()()(212111nnnnnnnxxxfxfxfxx2x3x(双点割线法), 3,2(n特点特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法.说明说明: 若将上式中,02xxn换为则为单点割线法, 逼近根的速度与简化牛顿法相当.O目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解074223xxx的近似解, 使误差不超过 0.01 .解解:.742)(23xxxxf设由草图可见方程有唯一的正实根 ,且9)4(,10)3(ff.43为一隔根区间，因此上，由于在43443)(2xxxf)2)(23(xx046)

8、( xxf)23(2x0)(min4, 3xfm11)3( fyx3 4O目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解,40 x故取得)4()4(41ffx289468. 3而mxfx)(111103. 109. 0，精度不够故1x再求)68. 3()68. 3(68. 32ffx9 .2103. 168. 363. 3mxfx)(2211042. 001. 0004. 0因此得满足精度要求的近似解63. 3yx3 4O目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解(补充补充) , )(0)(xxxf 转化为等价方程将方程在隔根区,0 x间内任取一点按递推公式),2, 1()(1nxxn

9、n,nx生成数列,limnnx若则 即为原方程的根 .式称为迭代格式 ,)(称为迭代函数x称为迭代0 x,lim存在称迭代收敛若nnx初值 .否则称为发散 .目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解.2, 1 013内的实根在 xx解法解法1 将方程变形为, 13 xx迭代格式为, 131nnxx5 . 10 x取123nnx05 . 1375. 2396.12779.1903发散 !解法解法2 将方程变形为,13xx迭代格式为, 131nnxx5 . 10 x取12nnx05 . 135721. 133086. 17832472. 132472. 1迭代收敛 , 1.32472 为计算精度范围内的所求根 .目录 上页 下页 返回 结束 高数38方程近似解:,)(上满足在区间方程baxxbxaxx)()(1且，连续）1)()(2Lxx且，存在），上有唯一解在方程）,)(1baxx nnnxxbax)(,210）(证明略)迭代法的