高数13多元函数课件

1、Future Learning多元函数多元函数第一节 多元函数的基本概念一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、多元函数的连续性二、多元函数的连续性 （1）邻域）邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念一、多元函数的概念 平面上的一个点，是设xoyyxP),(000是某一正数， 的全体，的点距离小于与点),( ),(000yxPyxP邻域，的称为点 0P). ,(0PU记为（2）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量

2、、因因变变量量等等概概念念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数, 是平面上的一个点集设D如果对于每个点定的值按照一定的法则总有确变量zDyxP,),(和它相对应，的二元函数，是变量则称yxz,).()(,(Pfzyxfz或记为记为例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD （如下页图）（如下页图），的定义域为设函数Dyxfz),(对于任意取定的，对应的函数值为),(,).,(yxfzDyxP这样，为横坐标，以x为纵坐标，y

3、为竖坐标在空间z),(zyxM就确定一点,的一切点时取遍上当Dx,),(),(| ),(Dyxyxfzzyx得一个空间点集的图形。这个点集称为二元函数 图形二元函数的),( )6(yxfz 二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:二、多元函数的连续性二、多元函数的连续性定义定义3 3，的定义域为点集元函数设Dpfn)( ，是其聚点且DPP00),()(lim00pfpfPP如果处连续。元函数在点则称0

4、Pn的定义域的聚点，是函数设)(0pfP如果处不连续，在点0)(Ppf的是函数则称)(0pfP间断点。闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域DD上的多元连续函数，上的多元连续函数， 在有界闭区域在有界闭区域DD上的多元连续函数，上的多元连续函数，（1 1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2 2）介值定理）介值定理在在DD上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次如果在如果在DD上取得两个不同的函数值，上取得两个不同的函数值，则它在则它在DD上取得介于这两值之间的任何值至少一次上取得介于这两值之间的任何值至少一次第二节 偏导数一、

5、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数二、高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法定义：的某一领域内有定义在点设函数),(),(00yxyxfz 时，处有增量在而固定在当xxxyy00相应的函数有增量),(),(0000yxfyxxf存在，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000的偏导数，处对在点则称此极限为函数xyxyxfz),(),(00记为00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.处任一点在区域内如果函数),(),(yxDyxfz 的偏导数都存在，对x的函数，那么这个偏导数就是yx,的偏导数，

6、对自变量它就称为函数xyxfz),(。或记作),(,yxfzxfxzxx的偏导数，对自变量同理可定义函数yyxfz),(。或记作),(,yxfzyfyzyy例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求证求证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能

7、能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例例如如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点一元函数中在

8、某点可可导导 连续连续,多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 1962

9、2 yyx第三节 全微分及其应用一、全微分的定义一、全微分的定义二、可微的条件二、可微的条件三、小结三、小结 ),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义全增量的概念全增量的概念的某领域内有定义，在点如果函数),(),(yxyxfz ，为这领域内的任意一点并设),(yyxxP),(),(yxfyyxxf差则称这两点的函数值之的全增量，对应于自变量

10、为函数在点yxP , z记为),(),(yxfyyxxfz即全微分的定义全微分的定义的全增量在点如果函数),(),(yxyxfz 可以表示为),(),(yxfyyxxfz不依赖于其中BAoyBxAz,) (,有关而仅与yxyx ,)()( 22yx,),(),(可微分在点则称函数yxyxfz 的在点称为函数),(),(yxyxfzyBxA全微分，记为dz. yBxAdz即dyyzdxxzdz可证例例 1 1 计计算算函函数数xyez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 0),(. 1yxF 1隐函数存在定理隐函数的求导公式隐函数的求导公式yxFFdxdy 的在点设函数),(),(00yxPyxF域内有连续的偏导数，某一邻, 0),(00yxF且的在点则方程),(0),(, 0),(0000yxPyxFyxFy单值且具有连续域内恒能唯一确定一个某一邻，导数的函数)(xfy ，并有它能满足条件)(00 xfy 第四节 隐函数的求导公式解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22