泰勒公式及其在测量平差方程线性化中的应用

1、泰勒公式及其在测量平差函数模型方程线性化的应用探讨陈涛1,（1.重庆交通大学土木工程学院13级测绘工程一班，重庆402247；）摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证明了它的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其中之一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，是解决数学问题的一个强有力的工具之一，同时也是解决其它很多学科中计算问题的一个强有力工具。本文对泰勒公式进行了简单的介绍，并重点介绍了它在测量平差线性化中的应用，主要讲解其在条件平差和间接平差中的应用，通过证明推导体现泰勒公式在测量平差应用中的重要性

2、和简洁性。关键词：泰勒公式，线性化，条件平差，间接平差1、引 言18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。泰勒以微积分学中将函数展开成无穷

3、级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。由于泰勒公式与微分的联系及其紧密，所以它在求近似值方面的应用非常的广，而微分的思想与测量中的误差概念都是指微小的变化，因此，泰勒公式与测量平差也就自然的联系在了一起，在平差中，泰勒公式最重要的应用要数条件方程式的线性化这一问题了，本文将分别推导说明泰勒公式在测量平差条件平差和间接平差中的应用。2、泰勒公式及推导2.1 泰勒公式的形象化解释泰勒

4、公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。2.2 一元函数泰勒公式的推导以上就是一元函数泰勒公式的推导过程。2.3 多元函数泰勒公式由以上一元函数泰勒公式的推导过程可得二元函数泰勒公式：上面式子称为二元函数在点的n阶泰勒公式，由此可导出多元函数的泰勒公式。3、泰勒公式在测量平差函数模型方程线性化中的应用3.1 泰勒公式在条件平差函数模型方程线性化中的应用3.1.1 大地四边形极条件方程线性化设AB边为已知边，A,B点为已知点。以A点为极点列出以下方

5、程:将上式相乘得到， 化简后将其按泰勒公式取一次项展开：将上式化简可以得到：将上式同乘以得到:整理得：3.1.2 中点多边形极条件方程线性化根据右方图形可列得极件:，其中将其代入原函数式中可得将上式按泰勒级数在点处展开得： （式中是改正角度值，需转化为弧度值才能进行计算，故除以，）化简后上式乘以后化简得：此处可根据闭合差方程可以得到，3.1.3 坐标条件方程线性化在同一直线上，或。故有条件方程或式中左端第一项为将上式按泰勒公式展开，得令式中表示用坐标观测值代替坐标平差值计算的偏导数值，于是可写为又因为令，则上式可写为同理可得 将上列结果代入原式中，并顾全单位得同理可得3.2 泰勒公式在间接平差

6、函数模型方程线性化中的应用3.2.1 角度观测值误差方程线性化由右图可得方程： 方向观测示意图由近似坐标改正数引起的近似坐标方位角的改正数为，即现求坐标改正数与坐标方位角改正数之间的线性关系。由坐标方位角求解公式可知运用泰勒公式将上式在处展开，得等式中右边第一项就是由近似坐标算得的近似坐标方位角，对照式可知：式中令，则上式可写为同理可得将上式代入原式，并顾及全式的单位得令，则有上式即为坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系式。3.2.2 边长观测值误差方程线性化在右图中，测得待定点间的边长，设待定点的坐标平差值为参数，令，由图写出的平差值方程为：代入改正数后上式可写作：按泰勒公式在处展开，得

7、：令 整理后得：再令测边的误差方程为：右方前四项和是由坐标改正数引起的边长改正数。3.2.3 坐标变换误差方程线性化在右图中，新坐标系，旧坐标系为，有如下的误差方程。，式中为旋转矩阵。矩阵对元素求导：设，是的矩阵，是元素，则因为为微小角度，令，其中，是微小量；将矩阵用泰勒级数展开，并取一次项得：由于，所以，上式得：则，原式可写为：将上式展开，并舍去与乘积的二次微小量，得：此即新旧坐标系转换的微量坐标转换方程。4、结 论综上可以看出泰勒公式在测量平差线性化中的应用是很具有实用价值的，它使得很多复杂的平差方程简洁化，极有利于提高对观测值得平差的速度和准确度。但事实上泰勒公式的魅力远不止此，本文列出

8、的泰勒公式的应用不论是对其自身综合应用而言、还是对于它在测量平差中的应用来讲都只是冰山一角，泰勒公式在其它方面的应用之广自是不必多言，在测量平差中的应用除平差方程线性化在外，还有求极值、近似值等，而且本文所涉及的泰勒公式线性化问题的类型和方法毕竟有限，当遇到其它问题时应具体问题具体分析，不可一味的套用，要灵活处理。English abstractMathematics is a very important subject, many mathematicians developed various theorem, formula, and prove its correctness, in

9、 applying these theorems formula to solve many difficult problems, Taylor formula is one of them. Taylor formula is an important formula of mathematical analysis, it is widely used in solving the problem of the analysis of, flexible, is a powerful tool to solve the problem of mathematics, but also solve the problem of calculation in many other disciplines a powerful tool. Has carried on the simple introduction in this paper, the Taylor formula, and introduced its application in the measurement adjustment of linearization, focused on its application in the condition adjustment and in