阶线性微分方程课件

1、阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二阶线性微分方程二阶线性微分方程阶线性微分方程定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常数数）问题问题: :一定是通解吗

2、？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy也也是是解解是是解解，1212yyy 不不是是通通解解1212211)2(yccycyc 1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构阶线性微分方程特别地特别地: 若在若在 I 上有上有常数，常数， )()(21xyxy则函数则函数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线性无关线性无关.例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 阶线性微分方程)1(0)()( yxQyxPy如何求方程如何求方程(1)(1)的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解, ,是一件困

3、难是一件困难事，我们常采用事，我们常采用观察方法观察方法有目的、有分析的观察。有目的、有分析的观察。.,0)1(21xxecxcyexyyxyx 故故通通解解为为观观察察出出两两个个线线性性无无关关解解例例注注: :阶线性微分方程解解321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为.221xCeCx 122231yyCyyCy 例例 2：已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所

4、对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解.阶线性微分方程定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .特解的叠加原理特解的叠加原理例如：例如：.342的的特特解解求求方方程程xexyy .538141:,538141344222xxxexexeyyxyy 故故原原方方程程的的特特解解和和为为的的

5、特特解解及及可可以以看看出出阶线性微分方程2.二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式阶线性微分方程,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根二、二、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法0 qyypy特征方程法特征方程法: : 用常系数齐次线性方程的用常系数齐次线性方程的特征方程的根

6、确定特征方程的根确定 通解通解. .阶线性微分方程1 1、有两个不相等的实根、有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为阶线性微分方程2 2、 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(21cxcx

7、u ,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为,)(xxu 取取=0=0阶线性微分方程3 3、 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir ,)(1xiey ,)(2xiey )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为),sin(cos1xixeyx ),sin(cos2xixeyx 阶线性微分方程02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21r

8、r 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 总结总结: 阶线性微分方程阶线性微分方程（04四08）求方程 y”-y=0的积分曲线，使其在点（0，0）处与直线y=x相切 解解特征方程为特征方程为210 ,r 解得解得121,1 ,rr 12.xxyC eC ey(0)=0, y(0)=1 = C1=C2=1/212.xxyC eC e11.22xxyee阶线性微分方程(03一29）下列微分方程中通解为y=(C1+C2x)e-3x的二阶常系数微分方程为 ( )A、y”-6y+9y=0 B、 y”+6y+9y

9、=0 C、y”-6y+9y=1 B、 y”+6y=0B阶线性微分方程.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 1.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2阶线性微分方程方程。方程。的三个特解，求此微分的三个特解，求此微分次微分方程次微分方程是二阶常系数线性非齐是二阶常系数线性非齐：已知：已知例例xxxxxxxxxeeqyypyeexeyxe

10、yexey2,323221 ,31xeyy 解解：,221xeyy 11 r特特征征根根22 r特特征征根根0)2)(1( rr特征方程为：特征方程为：022 rr02 yyy齐齐次次方方程程为为xxxeeyyy22 微微分分方方程程为为阶线性微分方程方方程程。的的一一个个特特解解，求求此此微微分分微微分分方方程程是是二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次：已已知知例例txsin4 解：解：ir 21，特特征征根根012 r特征方程为：特征方程为：0 xx齐次方程为齐次方程为阶线性微分方程)(xfqyypy 对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yYy 常见类型常见类型,

11、)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程3.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程阶线性微分方程)(xfqyypy 观察到方程观察到方程)()()(10mmxmxxaxaaexPexf 一、类型一、类型I的特解形式的特解形式)()(10nnxnxxbxbbexQe 代入原方程，并消去代入原方程，并消去e x，有，有)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQmnnn 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp

12、),()(xQxQmn 可可设设;)(*xmexQy 阶线性微分方程是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQmn 可可设设综上讨论综上讨论, )(*xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k.)(*2xmexQxy 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQmn 可可设设;)(*xmexxQy )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQmnnn 阶线性微分方程的通解。的通解。：求微分方程：求微分方程例例21xyy 02 rr解：解：1, 0 r

13、rxeccy 21)(2cbxaxxy cbxaxy 232baxy26 222326xcbxaxbax 2, 1,31 cbaxeccxxxy 2123231方方程程的的通通解解为为阶线性微分方程的通解。的通解。：求微分方程：求微分方程例例xeyyy3322 3, 121 rr解：解：xxececy321 xAxey3 xxe341 xxxxeececy332141 阶线性微分方程04一24) 待定系数求微分方程 y”-2y +y=xex 特解y*时,下列特解设法正确的( ) Ay=(ax2+bx+c)ex B. y=x(ax2+bx+c)exCy=x2(ax+b)ex D. y=x2(ax

14、2+bx+c)exC阶线性微分方程.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于于是是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例3 3阶线性微分方程解解设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22

15、, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 例例4写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 阶线性微分方程)()()()(0 xxdttxxexxx )()(xexx xexx )()( 012 rir xcxcysincos21 xAey xe21 1)0(, 1)0( )sin(cos21)(xexxx 阶线性微分方程sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 二、类型二、类型IIsin)(cos)(*)2()1(xxPxxPexymmxk 特特解解其中：其中：m=ma

16、xl,n,k是是( +i )为特征值时取为特征值时取1,否则取否则取0。次多项式次多项式为待定的为待定的nxPxPmm)(),()2()1(.2cossin4:的特解的特解及及写出方程写出方程例例xxyyxyy 1） i是是对应齐次方程特征根对应齐次方程特征根 ),sincos(*xbxaxy 设设2）2i不是不是对应齐次方程特征根对应齐次方程特征根 xdcxxbaxysin)(cos)(* 设设阶线性微分方程程程的的特特解解形形式式：练练习习：写写出出下下列列微微分分方方;sin44)0(sin3;522;296122xxyyaxyayeyyyxyyyx 、cbxaxy 2解解：xaey a

17、ir )1()sincos()1(sincosaxBxAxyaxBxAyxDCxxBAxysin)(cos)( 阶线性微分方程.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY ,是单根是单根i ),sincos(*xBxAxy 故故代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy 例例5 50, 2 BA阶线性微分方程的通解。的通解。：求微分方程：求微分方程例例xxyycos6 xcxcysincos21 解解：xy 1代代入入用用)sincos(2xbxax

18、y 是特征根是特征根i 0 xyycos xxysin212 xxxxcxcysin21sincos11 阶线性微分方程.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY ,2 不是特征方程的根不是特征方程的根i ,2sin)(2cos)(*xDCxxBAxy 设设代入方程代入方程94, 0031 DCBA，例例7 7,2sin942cos31xxxy .2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 阶线性微分方程)(xfqyypy 的三个解的三个解:)1(2),1(3),1(232221 xexyxeyxxyxx求满足初始条件求满

19、足初始条件0, 000 xxyy的特解的特解.一、一、二、写出下列方程的特解形式二、写出下列方程的特解形式251),2)1025(31)3)2sin2xxyyxyyyxeyyyxex课堂练习课堂练习阶线性微分方程. 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求求特特解解三三 1).2cos(212xxyyy 求求解解方方程程2).)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表达式；的表达式；（）（），试求：，试求：的齐次方程有一特解为的齐次方程有一特解为，对应，对应有一特解为有一特解为设设xfxpxxxfyxpy 3)阶线性微分方程. 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求求特特

20、解解解解1 1解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(*2xebaxxy ,2)3()*(23xebxxbaaxy 则则,2)46()6()*(23xebxbaxbaaxy 阶线性微分方程代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)*( ,)*(*, yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1

21、()(3221xexxCCCy 阶线性微分方程, 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey 阶线性微分方程).2cos(212xxyyy 求求解解方方程程解解 2 2解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得得代代入入xyy214 ，xbax2144 阶线性微分方程由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得得代代入入xyy2cos214 阶线性微分方程故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 阶线性微分方程.)