第二节：求导法则

1、内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(c )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限;切线的斜率;机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()

2、(00 xfxf？与导函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x = 0 连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节二

3、、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第三章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(c )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限本节内容机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差

4、、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(xv机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.w

5、vuwvu)( ,例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,(2)vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uc )()2wvuuc wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( c为常数 )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)

6、1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.( )yf x例讨论01xxx sin00 x.处的连续性与可导性在0 x.解)(limxfx0)sin(limxxx10) .sin,(有界是无穷小xx1,0.)(00 f.)(处连续在0 xxf0000 xfxffx)()(lim)(0010 xxxxsinlim,sinlimxx10.此极限不存在.)(处不可导在0 xxf; nxn21.)/( 2121nxn!分段点用定义求导)()( lim0

7、 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvcvc机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( c为常数 ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例3. 求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cos

8、xx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11机动 目录 上页

9、 下页 返回 结束 1例例4. 求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 设, )1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc

10、(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuy

11、ddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch说明说明: 类似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设, )cos(lnxey 求.ddx

12、y解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同机动 目录 上页 下页 返回 结束 .,)(. )yxfffy求1, )(, ,xfvvfuufy记)(xfvfufy. )()()(xfxffxfff.,)(. )(yeefyxfx求2)()(xfxxeeefeefefyxxf)()()(xe)(xf7.例. )()()(xfeefxfx例例8. 设, )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212x

13、x2112x记, )1(lnarsh2xxx则 )(arsh x112x(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见 p63例例13 2shxxeex的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 )(c0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan

14、x211x )cot(arcx211x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( ucuc )( vuvuvuvu2vvuvu( c为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(c0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证 ,说明说明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例10.设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结求导公式及求导法则注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗?2114341xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx