2022年八年级上学期轴对称练习题精选

1、八年级上学期轴对称练习题精选一解答题1如图， abc 中， o 是 bc 的中点， d 是 bac 平分线上的一点，且dobc，过点 d 分别作 dm ab 于 m，dnac 于 n求证： bm=cn 2如图， abc 中，点 d 在 bc 上， ad 的垂直平分线ef 交 bc 延长线于点f，若 fac=b，求证： ad 平分 bac 3如图， abc 中， abac ，df 垂直平分bc 交bac 的外角平分线ad 于点 d，f 为垂足， deab 于 e，连接 bd ，cd求证： dbe= dca 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

2、 1 页，共 29 页 - - - - - - - - -4 （2013?荆门）如图1，在 abc 中， ab=ac ，点 d 是 bc 的中点，点e 在 ad 上（1）求证： be=ce；（2）如图 2，若 be 的延长线交ac 于点 f，且 bfac ，垂足为 f， bac=45 ，原题设其它条件不变求证：aef bcf5 （2013?东营） （1）如图（1） ，已知：在 abc 中， bac=90 ，ab=ac ，直线 m 经过点 a，bd直线 m，ce直线 m，垂足分别为点d、e证明： de=bd+ce （2）如图（ 2） ，将（ 1）中的条件改为：在abc 中， ab=ac ，d、a

3、、e 三点都在直线m 上，并且有bda= aec= bac= ，其中 为任意锐角或钝角请问结论de=bd+ce 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3） ，d、e 是 d、a、e 三点所在直线m 上的两动点（ d、a、e 三点互不重合） ，点 f 为bac 平分线上的一点，且abf 和acf 均为等边三角形，连接bd、ce，若 bda= aec= bac ，试判断def 的形状精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - -6 （2004?十堰）如图，已知

4、abc 中， ab=ac ，d、e 分别是 ab 和 bc 上的点，连接de 并延长与ac 的延长线交于点 f，若 de=ef ，求证： bd=cf 7 （2012?仪陇县模拟）如图，p 是等边三角形abc 内的一点，连接pa，pb，pc，以 bp 为边作 pbq=60 ，且bq=bp ，连接 cq观察并猜想ap 与 cq 之间的大小关系，并证明你的结论8 （2012?泸州）如图， abc 是等边三角形，d 是 ab 边上的一点，以cd 为边作等边三角形cde ，使点 e、a在直线 dc 的同侧，连接ae求证： ae bc9已知： 如图， 点 c 为线段 ab 上一点， acm ，cbn 都是

5、等边三角形，an 交 mc 于点 e，bm 交 cn 于点 f（1）求证： an=bm ；（2）求证： cef 为等边三角形精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - -10题目：如图1，abd ，aec 都是等边三角形，求证：be=dc 由已知易证 abe adc ，得 be=dc扩变：1如图 2，若 abd ，aec 都是等腰直角三角形，d=e=90 ，那么be=dc 吗？2如图 3，若四边形abfd 、四边形acge 都是正方形， （1）那么be=dc 还成立吗？（2）bedc3如图 4

6、，若点 a 在线段 bc 上， abd ，aec 都是等边三角形，那么be=dc 吗？4在 3 题的条件下，若ad 与 be 交于 f 点， ae 与 cd 交于 g 点，如图5（1）af=ag 吗？（2）afg 是等边三角形吗？为什么？11如图，已知man=120 ，ac 平分 man b、d 分别在射线an 、am 上（1）在图（ 1）中，当 abc= adc=90 时，求证： ad+ab=ac （2）若把（ 1）中的条件 “ abc= adc=90 ”改为 abc+ adc=180 ，其他条件不变，如图（2）所示则（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由精品

7、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 29 页 - - - - - - - - -12 （2013?六盘水）（1）观察发现如图（ 1） ：若点 a、b 在直线 m 同侧，在直线m 上找一点p，使 ap+bp 的值最小，做法如下：作点 b 关于直线m 的对称点b ，连接 ab ，与直线 m 的交点就是所求的点p，线段 ab 的长度即为ap+bp 的最小值如图（ 2） ：在等边三角形abc 中， ab=2 ，点 e 是 ab 的中点， ad 是高，在ad 上找一点p，使 bp+pe 的值最小，做法如下：作点 b 关于 ad 的对称点，恰

8、好与点c 重合，连接ce 交 ad 于一点，则这点就是所求的点p，故 bp+pe 的最小值为_（2）实践运用如图（ 3） ：已知 o 的直径 cd 为 2，的度数为 60 ，点 b 是的中点，在直径cd 上作出点p，使 bp+ap的值最小，则bp+ap 的值最小，则bp+ap 的最小值为_（3）拓展延伸如图（ 4） ：点 p 是四边形 abcd 内一点，分别在边ab 、bc 上作出点m，点 n，使 pm+pn 的值最小，保留作图痕迹，不写作法13 （2009?益阳）如图，abc 中，已知 bac=45 ，ad bc 于 d，bd=2 ，dc=3 ，求 ad 的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图

9、形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以ab 、ac 为对称轴，画出abd 、acd 的轴对称图形，d 点的对称点为e、f，延长 eb、fc 相交于 g 点，证明四边形aegf 是正方形；（2）设 ad=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值14 （2008?恩施州）如图，c 为线段 bd 上一动点，分别过点b、d 作 ab bd，edbd ，连接 ac 、ec已知ab=2 ，de=1 ，bd=8 ，设 cd=x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 29 页 - - -

10、 - - - - - -（1）用含 x 的代数式表示ac+ce 的长；（2）请问点c 满足什么条件时，ac+ce 的值最小；（3）根据（ 2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值15 （2013?石景山区一模）问题解决：已知：如图， d 为 ab 上一动点，分别过点a、b 作 ca ab 于点 a，eb ab 于点 b，联结 cd、de（1）请问：点d 满足什么条件时，cd+de 的值最小？（2）若 ab=8， ac=4 ，be=2，设 ad=x 用含 x 的代数式表示cd+de 的长（直接写出结果） 拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式的最小值16（2012?青田县

11、模拟） 为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“ 数形结合 ” 思想 具体方法是这样的： 如图， c 为线段 bd 上一动点， 分别过点b、d 作 abbd ，edbd，连接 ac、ec已知 ab=1 ，de=5，bd=8 ，设 bc=x则，则问题即转化成求ac+ce 的最小值（1）我们知道当a、c、e 在同一直线上时，ac+ce 的值最小，于是可求得的最小值等于_，此时 x=_；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值17 （2012?溧水县一模）七年级我们曾学过“ 两点之间线段最短” 的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图 1

12、，已知， a，b 在直线 l 的同一侧，在l 上求作一点，使得pa+pb 最小我们只要作点b 关于 l 的对称点b ， （如图 2 所示）根据对称性可知，pb=pb 因此，求ap+bp 最小就相当于求ap+pb 最小，显然当a、p、b在一条直线上时ap+pb 最小，因此连接ab，与直线l 的交点就是要求的点p有很多问题都可用类似的方法去思考解决探究：（1）如图 3，正方形abcd 的边长为2，e 为 bc 的中点， p 是 bd 上一动点连接ep，cp，则 ep+cp 的最小值是_；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 29 页

13、 - - - - - - - - -运用：（2）如图 4，平面直角坐标系中有三点a（6，4） 、b（4，6） 、c（0，2） ，在 x 轴上找一点d，使得四边形abcd的周长最小，则点d 的坐标应该是_；操作：（3） 如图 5， a 是锐角 mon 内部任意一点， 在 mon 的两边 om ， on 上各求作一点b， c， 组成 abc ， 使abc周长最小（不写作法，保留作图痕迹）18 （2010?江干区模拟） 已知 a，b 两点在直线l 的同侧， 试用直尺 （没有刻度） 和圆规， 在 l 上找两点c 和 d（cd的长度为定值a） ，使得 ac+cd+db最短 （不要求写画法）19为庆祝 6

14、0 年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：ao，ob）ao桌子上摆满苹果，bo 桌子上摆满桔子，坐在c 处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位c 处， aob 小于90 度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短请作出路线图，并用字母表示所走路线（保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）20作图题：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论（1）如图所示，104 国道 oa 和 327 国道 ob 在曲阜市相交于o 点，在 aob 的内部有工厂c 和 d，现要建一个货站 p，使 p 到 oa 和 ob 的距离相等，且使pc=pd，用尺规作出p 点

15、的位置（2）在图中直线上找到一点m，使它到a、b 两点的距离和最小精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 29 页 - - - - - - - - -21如图（ 1） ，a、b 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线l1、l2是街道两边沿） ，现准备合作修建一座过街人行天桥（1）天桥应建在何处才能使由a 经过天桥走到b 的路程最短？在图（2）中作出此时桥pq 的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹 （注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）（2）根据图（ 1）中提供的数据计算由a 经过天桥走到b 的最短路线的长 （单位：米）精品学习资

16、料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 29 页 - - - - - - - - -八年级上学期轴对称练习题精选参考答案与试题解析一解答题（共21 小题）1如图， abc 中， o 是 bc 的中点， d 是 bac 平分线上的一点，且dobc，过点 d 分别作 dm ab 于 m，dnac 于 n求证： bm=cn 考点 ： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质专题 ： 证明题分析：根据 o 是 bc 的中点， do bc，可知 od 是 bc 的垂直平分线， 那么 bd=cd ，而 ad 是 bac 的平分线，dm ab ，dn

17、 ac ，根据角平分线的性质可得dm=dn ，再根据hl 可判定 rtbmd rtcnd ，从而有 bm=cn 解答：证明：连接bd ，cd，如图， o 是 bc 的中点， dobc， od 是 bc 的垂直平分线， bd=cd ， ad 是 bac 的平分线， dm ab ，dn ac， dm=dn ，在 rtbmd 和 rt cnd 中， rtbmd rtcnd， bm=cn 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用2如图， abc 中，点 d 在 bc 上， ad 的垂直平分线ef 交 bc

18、延长线于点f，若 fac=b，求证： ad 平分 bac 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 29 页 - - - - - - - - -考点 ： 线段垂直平分线的性质专题 ： 证明题分析：由 ef 是 adad的垂直平分线，可得af=df ，然后由等边对等角，可证得eaf= edf，然后利用三角形外角的性质与fac=b，可证得ad 平分 bac 解答：解： ef 是 adad 的垂直平分线， af=df ， eaf= edf， eaf= fac+cad ， edf= bad+ b，又 fac=b， bad= cad ，即 a

19、d 平分 bac 点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质以及角平分线的定义此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用3如图， abc 中， abac ，df 垂直平分bc 交bac 的外角平分线ad 于点 d，f 为垂足， deab 于 e，连接 bd ，cd求证： dbe= dca 考点 ： 线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质专题 ： 证明题分析：过 d 作 dgac ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得bd=cd ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得de=dg ，然后利用 “ hl ” 证明 rtdbe 和 rtdcg 全等，根据全等三角形对

20、应角相等证明即可解答：证明：过 d 作 dg ac， df 是 bc 的垂直平分线， bd=dc ， ad 是 abc 的外角平分线，deab ，dgac， de=dg ， deab ，dgac， deb= dgc=90 ，在 rtdbe 和 rtdcg 中， rtdbe 和 rtdcg（ hl） ， dbe= dca 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 29 页 - - - - - - - - -点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性

21、质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键4 （2013?荆门）如图1，在 abc 中， ab=ac ，点 d 是 bc 的中点，点e 在 ad 上（1）求证： be=ce；（2）如图 2，若 be 的延长线交ac 于点 f，且 bfac ，垂足为 f， bac=45 ，原题设其它条件不变求证：aef bcf考点 ： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题 ： 证明题分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得bae= eac，然后利用 “ 边角边 ” 证明 abe 和 ace 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；（ 2）先判定 abf 为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角

22、边相等可得af=bf ，再根据同角的余角相等求出eaf= cbf，然后利用 “ 角边角 ” 证明 aef 和bcf 全等即可解答：证明：（1） ab=ac ，d 是 bc 的中点， bae= eac ，在 abe 和 ace 中， abe ace （sas） ， be=ce；（ 2） bac=45 ，bfaf， abf 为等腰直角三角形， af=bf ， ab=ac ，点 d 是 bc 的中点， ad bc， eaf+ c=90 ， bfac ， cbf+ c=90 ， eaf= cbf，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共

23、29 页 - - - - - - - - -在 aef 和bcf 中， aef bcf（asa ） 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键5 （2013?东营） （1）如图（1） ，已知：在 abc 中， bac=90 ，ab=ac ，直线 m 经过点 a，bd直线 m，ce直线 m，垂足分别为点d、e证明： de=bd+ce （2）如图（ 2） ，将（ 1）中的条件改为：在abc 中， ab=ac ，d、a、e 三点都在直线m 上，并且有bda= aec= ba

24、c= ，其中 为任意锐角或钝角请问结论de=bd+ce 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3） ，d、e 是 d、a、e 三点所在直线m 上的两动点（ d、a、e 三点互不重合） ，点 f 为bac 平分线上的一点，且abf 和acf 均为等边三角形，连接bd、ce，若 bda= aec= bac ，试判断def 的形状考点 ： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定分析：（1）根据 bd直线 m，ce直线 m 得 bda= cea=90 ，而 bac=90 ，根据等角的余角相等得 cae= abd ，然后根据 “ aas ” 可判断 adb cea

25、 ，则 ae=bd ，ad=ce ，于是 de=ae+ad=bd+ce；（ 2）与（ 1）的证明方法一样；（ 3）与前面的结论得到 adb cea ，则 bd=ae ， dba= cae ，根据等边三角形的性质得 abf= caf=60 ，则 dba+ abf= cae+ caf，则 dbf= fae，利用 “ sas” 可判断 dbf eaf，所以 df=ef ， bfd= afe，于是 dfe= dfa+ afe=dfa+ bfd=60 ，根据等边三角形的判定方法可得到def 为等边三角形解答：证明：（1） bd 直线 m， ce直线 m， bda= cea=90 ， bac=90 ， b

26、ad+ cae=90 ， bad+ abd=90 ， cae= abd ，在 adb 和cea 中， adb cea （aas ） ， ae=bd ，ad=ce ， de=ae+ad=bd+ce；（ 2） bda= bac= ， dba+ bad= bad+ cae=180 ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 29 页 - - - - - - - - - cae= abd ，在 adb 和cea 中， adb cea （aas ） ， ae=bd ，ad=ce ， de=ae+ad=bd+ce；（ 3）由（ 2）知， ad

27、b cea ，bd=ae ， dba= cae， abf 和acf 均为等边三角形， abf= caf=60 ， dba+ abf= cae+ caf ， dbf= fae， bf=af 在 dbf 和eaf 中， dbf eaf（ sas ） ， df=ef， bfd= afe， dfe= dfa+ afe= dfa+ bfd=60 ， def 为等边三角形点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“ sss” 、 “ sas” 、“ asa ” 、“ aas” ；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质6 （2004?十堰）如图，已知abc 中， ab=ac

28、 ，d、e 分别是 ab 和 bc 上的点，连接de 并延长与ac 的延长线交于点 f，若 de=ef ，求证： bd=cf 考点 ： 等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质专题 ： 证明题分析：过 d 作 dgaf 交 bc 于 g， 证明 dge fce， 得出 dg=cf， 再证明 db=dg ， 通过等量代换得到bd=cf 解答：证明：过 d 作 dg af 交 bc 于 g，如图，则 f=gde，de=ef ， deg= fec dge fce（asa ） ， gd=cf， ab=ac ， b=acb ，又 dgaf， acb= bgd，精品学习资料 可选择p d f - - -

29、- - - - - - - - - - - 第 13 页，共 29 页 - - - - - - - - - b=bgd ， bd=gd ，又 gd=cf， bd=cf 点评：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；解题中主要利用全等三角形对应边相等和等角对等边的性质解答，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是难点7 （2012?仪陇县模拟）如图，p 是等边三角形abc 内的一点，连接pa，pb，pc，以 bp 为边作 pbq=60 ，且bq=bp ，连接 cq观察并猜想ap 与 cq 之间的大小关系，并证明你的结论考点 ： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质专题 ： 探究型

30、分析：先猜想 ap=cq，再在 abp 与cbq 中，由 ab=cb ，bp=bq，abc= pbq=60 可得出 abp= cbq，进而可判断出abp cbq，由全等三角形的对应边相等即可得出结论解答：猜想： ap=cq 证明：在 abp 与cbq 中， ab=cb ，bp=bq ， abc= pbq=60 ， abp= abc pbc=pbq pbc=cbq， abp cbq ， ap=cq 点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出 abp cbq 是解答此题的关键8 （2012?泸州）如图， abc 是等边三角形，d 是 ab 边上的一点，以cd 为边作

31、等边三角形cde ，使点 e、a在直线 dc 的同侧，连接ae求证： ae bc考点 ： 全等三角形的判定与性质；平行线的判定；等边三角形的性质精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 29 页 - - - - - - - - -专题 ： 证明题分析：根据等边三角形性质推出bc=ac ，cd=ce ，abc= bca= ecd=60 ，求出 bcd= ace ，根据 sas证 ace bcd ，推出 eac= dbc= acb ，根据平行线的判定推出即可解答：证明： abc 和dec 是等边三角形， bc=ac ，cd=ce ，

32、abc= bca= ecd=60 ， bca dca= ecd dca ，即 bcd= ace，在 ace 和 bcd 中， ace bcd （sas） ， eac= b=60 =acb ， aebc点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出ace bcd ，主要考查学生的推理能力9已知： 如图， 点 c 为线段 ab 上一点， acm ，cbn 都是等边三角形，an 交 mc 于点 e，bm 交 cn 于点 f（1）求证： an=bm ；（2）求证： cef 为等边三角形考点 ： 等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质专题 ： 证明题分析：（1）

33、由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由sas 得到 acn mcb，结论得证；（ 2）由（ 1）中的全等可得can= cmb ，进而得出mcf= ace，由 asa 得出 cae cmf，即ce=cf ，又 ecf=60 ，所以 cef 为等边三角形解答：证明：（1） acm ，cbn 是等边三角形， ac=mc ，bc=nc ， acm= ncb=60 ， acm+ mcn= ncb+ mcn ，即 acn= mcb ，在 acn 和 mcb 中， acn mcb （sas） ， an=bm （ 2） can cmb ， can= cmb ，又 mcf=180 acm ncb=

34、180 60 60 =60 ， mcf= ace，在 cae 和 cmf 中，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 29 页 - - - - - - - - - cae cmf （asa ） ， ce=cf， cef 为等腰三角形，又 ecf=60 ， cef 为等边三角形点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用10题目：如图1，abd ，aec 都是等边三角形，求证：be=dc 由已知易证 abe adc ，得 be=dc扩变：1如图 2，若 abd ，aec 都是等腰直角三角形

35、，d=e=90 ，那么be=dc 吗？2如图 3，若四边形abfd 、四边形acge 都是正方形， （1）那么be=dc 还成立吗？（2）bedc3如图 4，若点 a 在线段 bc 上， abd ，aec 都是等边三角形，那么be=dc 吗？4在 3 题的条件下，若ad 与 be 交于 f 点， ae 与 cd 交于 g 点，如图5（1）af=ag 吗？（2）afg 是等边三角形吗？为什么？考点 ： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质专题 ： 证明题分析：1、由 abd ，aec 都是等腰直角三角形得到ab=ad ，ac=ae， dab= eac=45 ，由于 dac= bae ，

36、则可判断 abe 和adc 不全等，于是be 与 dc 不相等2、 （1）根据正方形的性质得到ab=ad ，ac=ae ， dab= eac=90 ，则 dac= bae ，根据 “ sas” 可判断 abe adc ，则 be=dc ；（ 2）由abe adc ，则aeb= acd ，而bnc= ane ，于是 acd+ bnc= aeb+ ane=90 ，即 bedc；3、根据等边三角形的性质得到ab=ad ，ac=ae ， dab= eac=60 ，则 dac= bae ，根据 “ sas” 可判断 abe adc ，则 be=dc ；4、 （1）由 abe adc 得到 abe= ad

37、c ，根据 “ aas” 可判断 abf adg （asa ） ，则 af=ag ；（ 2）由于 af=ag ，而 dae=60 ，根据等边三角形的判定方法可得到afg 是等边三角形解答：解： 1be dc理由如下： abd ，aec 都是等腰直角三角形， ab=ad ，ac=ae， dab= eac=45 ， dac= bae， abe 和 adc 不全等， be 与 dc 不相等2 （1）be=dc 成立理由如下：四边形abfd 、四边形acge 都是正方形，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 29 页 - - - -

38、- - - - - ab=ad ， ac=ae ， dab= eac=90 ， dac= bae，在 abe 和 adc 中， abe adc （sas） ， be=dc ；（ 2）bedc理由如下： ac 与 be 相交于 n 点， abe adc ， aeb= acd ，而 bnc= ane acd+ bnc= aeb+ ane=90 ， bedc；3be=dc 理由如下： abd ，aec 都是等边三角形， ab=ad ， ac=ae ， dab= eac=60 ， dac= bae，在 abe 和 adc 中， abe adc （sas） ， be=dc ；4 （1）af=ag 理由如

39、下： abe adc ， abe= adc 在 abf 和adg 中， abf adg （asa ） ， af=ag （ 2）afg 是等边三角形理由如下： af=ag ，而 dae=60 ， afg 是等边三角形点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等也考查了等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质以及等边三角形的判定与性质11如图，已知man=120 ，ac 平分 man b、d 分别在射线an 、am 上（1）在图（ 1）中，当 abc= adc=90 时，求证： ad+ab=ac （2）若把（

40、 1）中的条件 “ abc= adc=90 ”改为 abc+ adc=180 ，其他条件不变，如图（2）所示则（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - -考点 ： 全等三角形的判定与性质；含30 度角的直角三角形分析：（1）由题中条件可得，dca= bca=30 ，在直角三角形中可得ac=2ad ，ac=2ab ，所以 ad+ab=ac （ 2）在 an 上截取 ae=ac ，连接 ce，可得 cae 为等边三角形，进而

41、可得adc ebc，即 dc=bc ，da=be ，进而结论得证解答：（1）证明：man=120 ， ac 平分 man ， dac= bac=60 abc= adc=90 ， dca= bca=30 ，在 rtacd 中， dca=30 ，rtacb 中， bca=30 ac=2ad ，ac=2ab ， ad+ab=ac ；（ 2）解：结论ad+ab=ac成立理由如下：在an 上截取 ae=ac ，连接 ce， bac=60 ， cae 为等边三角形， ac=ce ， aec=60 ， dac=60 ， dac= aec， abc+ adc=180 ， abc+ ebc=180 ， adc=

42、 ebc， adc ebc， dc=bc ，da=be ， ad+ab=ab+be=ae， ad+ab=ac 点评：本题主要考查了30 的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算、证明问题12 （2013?六盘水）（1）观察发现如图（ 1） ：若点 a、b 在直线 m 同侧，在直线m 上找一点p，使 ap+bp 的值最小，做法如下：作点 b 关于直线m 的对称点b ，连接 ab ，与直线 m 的交点就是所求的点p，线段 ab 的长度即为ap+bp 的最小值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18

43、 页，共 29 页 - - - - - - - - -如图（ 2） ：在等边三角形abc 中， ab=2 ，点 e 是 ab 的中点， ad 是高，在ad 上找一点p，使 bp+pe 的值最小，做法如下：作点 b 关于 ad 的对称点，恰好与点c 重合，连接ce 交 ad 于一点，则这点就是所求的点p，故 bp+pe 的最小值为（2）实践运用如图（ 3） ：已知 o 的直径 cd 为 2，的度数为 60 ，点 b 是的中点，在直径cd 上作出点p，使 bp+ap的值最小，则bp+ap 的值最小，则bp+ap 的最小值为（3）拓展延伸如图（ 4） ：点 p 是四边形 abcd 内一点，分别在边a

44、b 、bc 上作出点m，点 n，使 pm+pn 的值最小，保留作图痕迹，不写作法考点 ： 圆的综合题；轴对称-最短路线问题分析：（1）观察发现：利用作法得到ce 的长为 bp+pe 的最小值；由ab=2 ，点 e 是 ab 的中点，根据等边三角形的性质得到ceab ，bce=bca=30 ，be=1，再根据含30 度的直角三角形三边的关系得ce=；（ 2）实践运用：过b 点作弦 becd，连结 ae 交 cd 于 p 点，连结ob、oe、oa 、pb，根据垂径定理得到 cd 平分 be，即点 e 与点 b 关于 cd 对称，则ae 的长就是bp+ap 的最小值；由于的度数为60 ，点 b 是的

45、中点得到boc=30 ， aoc=60 ，所以 aoe=60 +30 =90 ，于是可判断 oae 为等腰直角三角形，则ae=oa=；（ 3）拓展延伸： 分别作出点p 关于 ab 和 bc 的对称点 e 和 f，然后连结ef，ef 交 ab 于 m、 交 bc 于 n解答：解： （1）观察发现如图（ 2） ，ce 的长为 bp+pe 的最小值，在等边三角形abc 中， ab=2 ，点 e 是 ab 的中点 ceab ， bce=bca=30 ， be=1， ce=be=；故答案为；（ 2）实践运用如图（ 3） ，过 b 点作弦 becd，连结 ae 交 cd 于 p点，连结ob、oe、oa、p

46、b， becd， cd 平分 be，即点 e 与点 b 关于 cd 对称，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 29 页 - - - - - - - - -的度数为 60 ，点 b 是的中点， boc=30 ， aoc=60 ， eoc=30 ， aoe=60 +30 =90 ， oa=oe=1 ， ae=oa=， ae 的长就是bp+ap 的最小值故答案为；（ 3）拓展延伸如图（ 4） 点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称最短路

47、径问题13 （2009?益阳）如图，abc 中，已知 bac=45 ，ad bc 于 d，bd=2 ，dc=3 ，求 ad 的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以ab 、ac 为对称轴，画出abd 、acd 的轴对称图形，d 点的对称点为e、f，延长 eb、fc 相交于 g 点，证明四边形aegf 是正方形；（2）设 ad=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值考点 ： 翻折变换（折叠问题） 专题 ： 综合题分析：（1） ：先根据 abd abe ， acd acf ，得出 eaf=90 ；再根据

48、对称的性质得到ae=af ，从而说明四边形aegf 是正方形；（ 2）利用勾股定理，建立关于x 的方程模型（ x 2）2+（x3）2=52，求出 ad=x=6 解答：（1）证明：由题意可得：abd abe ，acd acf （1 分） dab= eab， dac= fac，又 bac=45 eaf=90 （3 分）又 ad bc ， e=adb=90 ， f= adc=90 （4 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 29 页 - - - - - - - - -又 ae=ad ，af=ad ， ae=af （5 分）四边形

49、aegf 是正方形（6 分）（ 2）解：设ad=x ，则 ae=eg=gf=x ， （7 分） bd=2 ， dc=3， be=2，cf=3 bg=x 2，cg=x 3 （9 分）在 rtbgc 中， bg2+cg2=bc2（ x2）2+（x3）2=52（11 分） ，（ x2）2+（x3）2=52，化简得， x25x6=0解得 x1=6，x2=1（舍） ，所以 ad=x=6 （12 分） 点评：本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x 的方程模型的解题思想要能灵活运用14 （2008?恩施州）如图，c 为线段 bd 上一动点，分别过点b、d 作 ab bd，edbd ，连接 ac 、

50、ec已知ab=2 ，de=1 ，bd=8 ，设 cd=x（1）用含 x 的代数式表示ac+ce 的长；（2）请问点c 满足什么条件时，ac+ce 的值最小；（3）根据（ 2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值考点 ： 轴对称 -最短路线问题专题 ： 综合题；动点型分析：（1）由于 abc 和cde 都是直角三角形，故ac， ce 可由勾股定理求得；（ 2）若点 c 不在 ae 的连线上，根据三角形中任意两边之和第三边知，ac+ce ae，故当 a、c、e 三点共线时， ac+ce 的值最小；（ 3）由（ 1） （2）的结果可作bd=12 ，过点 b 作 ab bd ，过点 d 作 ed

51、bd，使 ab=2 ， ed=3，连接ae 交 bd 于点 c，则 ae 的长即为代数式的最小值，然后构造矩形afdb ，rt afe，利用矩形的直角三角形的性质可求得ae 的值解答：解： （1）+； （ 2 分）（ 2）当 a、c、 e 三点共线时， ac+ce 的值最小；（4 分）（ 3）如右图所示，作bd=12，过点 b 作 ab bd，过点 d 作 edbd ，使 ab=2 ，ed=3 ，连接 ae 交 bd于点 c，设 bc=x ，则 ae 的长即为代数的最小值过点 a 作 afbd 交 ed 的延长线于点f，得矩形abdf ，则 ab=df=2 ，af=bd=12 ， ef=ed+

52、df=3+2=5 ，所以 ae=13，即的最小值为13 （8 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 29 页 - - - - - - - - -点评：本题利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解15 （2013?石景山区一模）问题解决：已知：如图， d 为 ab 上一动点，分别过点a、b 作 ca ab 于点 a，eb ab 于点 b，联结 cd、de（1）请问：点d 满足什么条件时，cd+de 的值最小？（2）若 ab=8， ac=4 ，be=2，设 ad=x 用含 x 的代数式

53、表示cd+de 的长（直接写出结果） 拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式的最小值考点 ： 轴对称 -最短路线问题分析：（1）由两点之间线段最短可知：当点d、c、 e三点在一条直线上时，cd+de 的值最小；（ 2）根据勾股定理计算即可；（ 3）过点 e 作 ab 的平行线交ca 的延长线于点f，再证明四边形afeb 是矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可出代数式的最小值解答：解： （1）当点 d、 c、e 三点在一条直线上时，cd+de 的值最小，（ 2），（ 3）如图，令ab=4 ，ac=1 ，be=2，设 ad=x ，则 bd=4 x，=， d、c、e 三点在一条直线

54、上时，cd+de 的值最小， ce 的长即为的最小值，过点 e 作 ab 的平行线交ca 的延长线于点f， caab 于 a， ebab 于 b， afbe，四边形afeb 是矩形， af=be=2 ，ef=ab=4 ，在 rtcfe 中， f=90 ，cf=3，的最小值为5精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 29 页 - - - - - - - - -点评：本题考查了两点之间线段最短的公理以及勾股定理的运用和矩形的判定及其性质，题目的综合性较强，难度中等16（2012?青田县模拟） 为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了

55、“ 数形结合 ” 思想 具体方法是这样的： 如图， c 为线段 bd 上一动点， 分别过点b、d 作 abbd ，edbd，连接 ac、ec已知 ab=1 ，de=5，bd=8 ，设 bc=x则，则问题即转化成求ac+ce 的最小值（1）我们知道当a、c、e 在同一直线上时，ac+ce 的值最小，于是可求得的最小值等于10，此时 x=；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值考点 ： 轴对称 -最短路线问题分析：（1）根据两点之间线段最短可知ac+ce 的最小值就是线段ae 的长度过点e 作 efbd，交 ab 的延长线于 f 点在 rtaef 中运用勾股定理计算求解（ 2）由

56、（ 1）的结果可作bd=12 ，过点 a 作 afbd ，交 de 的延长线于f 点，使 ab=2 ，ed=3，连接 ae交 bd 于点 c，然后构造矩形afdb ，rtafe，利用矩形的直角三角形的性质可求得ae 的值就是代数式的最小值解答：解： （1）过点 e 作 efbd ，交 ab 的延长线于f 点，根据题意，四边形bdef 为矩形af=ab+bf=5+1=6，ef=bd=8 ae=10即 ac+ce 的最小值是10=10， efbd ，=，=，解得： x=精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 29 页 - - - -

57、 - - - - -（ 2）过点 a 作 afbd ，交 de 的延长线于f 点，根据题意，四边形abdf 为矩形ef=ab+de=2+3=5 ，af=db=12 ae=13即 ac+ce 的最小值是13点评：本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键17 （2012?溧水县一模）七年级我们曾学过“ 两点之间线段最短” 的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图 1，已知， a，b 在直线 l 的同一侧，在l 上求作一点，使得pa+pb 最小我们只要作点b 关于 l 的对称点b ，

58、（如图 2 所示）根据对称性可知，pb=pb 因此，求ap+bp 最小就相当于求ap+pb 最小，显然当a、p、b在一条直线上时ap+pb 最小，因此连接ab，与直线l 的交点就是要求的点p有很多问题都可用类似的方法去思考解决探究：（1）如图 3，正方形abcd 的边长为2，e 为 bc 的中点， p 是 bd 上一动点连接ep，cp，则 ep+cp 的最小值是；运用：（2）如图 4，平面直角坐标系中有三点a（6，4） 、b（4，6） 、c（0，2） ，在 x 轴上找一点d，使得四边形abcd的周长最小，则点d 的坐标应该是（2，0）；操作：（3） 如图 5， a 是锐角 mon 内部任意一点

59、， 在 mon 的两边 om ， on 上各求作一点b， c， 组成 abc ， 使abc周长最小（不写作法，保留作图痕迹）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 29 页 - - - - - - - - -考点 ： 轴对称 -最短路线问题分析：（1）由正方形的性质可得点a 是点 c 关于 bd 的对称点，连接ae，则 ae 就是 ep+cp 的最小值；（ 2）找点 c 关于 x 轴的对称点c，连接 ac ，则 ac 与 x 轴的交点即为点d 的位置，先求出直线ac 的解析式，继而可得出点d 的坐标（ 3）分别作点a 关于 om

60、 的对称点a、关于 on 的对称点 a ，连接 aa ，则 aa 与 om 交点为点b 的位置，与on 交点为 c 的位置解答：解： （1）点 a 是点 c 关于 bd 的对称点，连接ae，则 ae 就是 ep+cp 的最小值， ep+cp 的最小值 =ae=；（ 2）作点 c 关于 x 轴的对称点c，连接 ac ，则 ac 与 x 轴的交点即为点d 的位置，点 c坐标为（ 0， 2） ，点 a 坐标为（ 6， 4） ，直线 ca 的解析式为：y=x 2，故点 d 的坐标为（ 2， 0） ；（ 3）分别作点a 关于 om 的对称点a、关于 on 的对称点 a ，连接 aa ，则 aa 与 om