神经元放电活动的分岔分析

1、神经元放电活动的分岔分析摘要神经元是神经系统的基本结构和功能单元, 在神经信息处理过程中起着关键的作用。虽然神经系统各不相同，但大多数神经元都具有许多相似的特征：比如各种离子通道、丰富的非线性现象以及作为信息载体的膜电位等。神经信息主要依靠神经元丰富的放电节律模式进行编码，因而研究神经细胞通过内在参数变化或外部激励条件改变时展现的放电节律模式以及各种模式之间的相互转迁就有着及其重要意义。本文应用非线性动力学的分岔理论、相平面分析、快慢动力学分析和数值模拟等方法，针对神经元ML模型、HR模型以及Chay模型，系统地研究了神经元的放电行为及放电模式间相互转迁的动力学机制。这些方法也可以应用于其它类

2、型神经元，或用于发现新的放电模式，并对今后的神经电生理实验有一定的理论指导作用。关键词：神经元 峰放电 簇放电 分岔 相平面分析 快慢动力学分析Bifurcation Analysis on Neuronal Firing ActivitiesAbstractAs the fundamental structural and functional unit of the nervous system, neuron plays an extremely vital role in the neural information processingAlthough nervous systems

3、 are quite different, many fundamental features of neurons are common to most of neurons, such as ion channels, rich nonlinear phenomenon and the membrane potential as the carrier of information. Various firing patterns are related to different stimuli, which mean that firing patterns carry correspo

4、nding neural information, so it is meaningful to study different firing activities owing to internal parameters or external stimulations, as well as the transitions between different firing patterns.In this dissertation, based on the bifurcation theory of nonlinear dynamics, the phase plane analysis

5、, the fast-slow dynamics analysis and the numerical simulation, we deeply study on different firing activities and dynamics mechanism of transitions between different firing patterns. These methods and results in this dissertation can be applied to different types of neurons, and also may give an in

6、structive guidance to the observation and analysis of neuronal firing activities, and hence will promote the development of both nonlinear dynamics and neuroscience.Key Words: neuron, spiking, bursting, bifurcation, phase plane analysis, fast-slow dynamics analysis第一章 引言1.1 研究背景二十世纪后半叶，非线性科学作为研究非线性现

7、象共性的基础学科，获得了前所未有的发展，其与量子论、相对论一起被誉为二十世纪自然科学中的“三大革命”。非线性科学的研究不仅具有深远的科学意义，而且具有广泛的应用前景。大量的研究表明，非线性动力学研究的分岔是非线性系统最重要而又最基本的特性，几乎在所有涉及非线性科学的领域中，都存在分岔现象。因而分岔的研究，一直是近三十年来非线性科学最活跃的研究前沿。由于非线性系统本身的复杂性和丰富多彩的特性，人们目前对非线性动力系统的认识仍处于初级阶段，这一领域的研究仍将是今后相当长一段时间内科学研究的重点和热门课题。分岔、混沌和孤立子是非线性科学研究的三个最基本、最热门的课题。事实上，这些不是相互孤立的：混沌

8、是一种分岔过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分岔研究中的两种主要对象。由此可见分岔研究在非线性科学中的重要性。分岔是非线性现象中特有的现象，是指非线性动力系统的参数变化所引起的系统拓扑结构的突然变化的现象。神经系统是由数量众多的神经细胞组成的庞大而复杂的信息网络，它通过神经元的放电活动对信息处理、编码、整合并转变为传出冲动，从而联络和调节机体的各系统和器官的功能，在机体功能调节系统中起着主导作用1。神经元作为神经系统的基本功能单位，能感受刺激和传导兴奋。各种电生理实验发现：在不同的Ca2+离子浓度或者不同幅度的外界直流电刺激下神经元能表现出丰富的放电模式，比如周期的

9、或者混沌的峰放电和簇放电，这些表明神经元具有高度的非线性。在整个神经系统中，神经脉冲的传递往往需要至少两个以上的神经元通过耦合的方式来完成，而这更是非常复杂的高维非线性动力系统。因此，研究神经元的放电模式的产生和神经信息在神经元之间的传递过程，就需要借助非线性动力学的理论和方法。随着非线性动力学在神经系统的放电活动和信息识别中的应用越加深入，使得对神经放电节律及其表达的编码机制的研究受到越来越多的重视。近年来，国际上出现的以神经生理学与非线性动力学相结合的神经动力学，是利用非线性动力学的理论和方法来解释神经生理实验中观察到的诸多现象，并进一步指导电生理神经实验，成为了研究神经元放电活动的一门重

10、要学科。1.2神经元电活动的数学模型20世纪50年代，Hodgkin等2第一次提出了神经元电活动的数学模型，即Hodgkin-Huxley(HH)模型，该模型描述神经轴突电位的变化，而Hodgkin和Huxley也因此荣膺诺贝尔生理学和医学奖。尽管HH模型非常接近现实的神经元，但是它过于复杂，几乎不可能给出它的解析解，因此从数学角度去分析神经元的放电行为就比较困难了。1961年，FitzHugh和Nagumo等在保留HH模型生物特性的基础上，采用精简变量的方法提出二维FHN模型；之后，Morris和Lecar3得到了描述北极鹅肌肉纤维的神经元电活动的Morris-Lecar(ML)模型。20世

11、纪末期Chay4考虑了细胞膜上的三种主要离子通道，得到了一个用三个动力学变量描述的神经细胞电活动模型，即著名的Chay模型。还有在表达形式上比较简单的Hindmarsh-Rose5(HR)模型，该模型在数值计算和理论分析上比较可行。1.2.1 Hodgkin-Huxley模型，其中，方程组里的变量和参数分别对应以下解释：I：通过细胞膜的各电流之和；V：神经元膜电位；C：膜电容：m：Na离子通道中激活门打开概率；n：K离子通道中激活门打开概率；h：Na离子通道中失活门打开概率；gNa：Na离子的最大电导：gk：K离子的最大电导；gL：漏电流的最大电导；VNa：膜内外Na离子的浓度差引起的浓差电位

12、；Vk：膜内外K离子的浓度差引起的浓差电位；VL：其他通道各种离子引起的有效可逆电位；1.2.2 Morris-Lecar模型 ，其中方程组里的变量、参数和函数分别对应以下解释：V：膜电位；W：钾离子通道的活化概率；C：膜电容；：表示神经元快慢尺度之间的变化；gCa：钙离子通道的最大电导；gk：钾离子通道的最大电导；gL：漏电流的最大电导；VCa：钙离子通道的反转电压；Vk：钾离子通道的反转电压；VL：漏电流通道的反转电压；I：来自环境的总的突触输入电流；：钙离子通道打开的概率的稳态值；：钾离子通道打开的概率的稳态值；，是系统的参数，其取值依赖于和的取值。和分别表示依赖于电压的和的斜率的倒数。

13、1.2.3 Chay模型 （1） （2） （3）其中(1)式表示细胞膜电位V的变化所遵循的微分方程，等号右边四项分别为混合Na+-Ca2+通道中的电流、电导依赖电位的K+离子通道电流、电导不依赖电位而依赖细胞膜内Ca2+浓度的K离子通道电流和漏电流；Vk，VI 和 VL 分别是K+离子通道、混合Na+-Ca2+离子通道和漏电离子通道的可逆电位；gI，gk, v, gk, c 和 gL 分别代表各通道的最大电导。(2)式表示依赖于电位的K+离子通道打开的概率的变化规律，其中是弛豫时间。 (3)式表示细胞膜内Ca2+浓度的变化规律，右边两项分别表示进出膜的 Ca2+ 通道电流；Kc 是细胞内 Ca

14、2+ 流出的比率常数，是比例性常数，Vc是Ca2+离子通道的可逆电位方程(1)-(3)中的和分别是混合Na+-Ca2+通道激活和失活的概率的稳态值，为n的稳定态值，它们的具体表达式为：，其中，其中是与K离子通道的时间常数相关的参数。1.2.4 Hindmarsh-Rose模型1982年Hindmarsh和Rose对池塘蜗牛的内在神经节做了大量实验并建立了HR模型，1984年经过修改后的HR模型如下：，其中x代表神经元的膜电位，y是与内电流（如Na+或K+）相关联的恢复变量，z是与Ca2+离子激活的K+离子电流相关的慢变调节电流。a, b, c, d ,r, s以及x0都是系统参数，I为外界直流

15、激励。1.3 神经元放电的非线性动力学研究现状在国际上Chay, Rinzel , Izhikevich等一批神经科学家6-18对各种理论模型进行数值仿真与理论探讨，发现了丰富的周期、拟周期、周期阵发、混沌、整数倍等放电模式，以及各种放电节律的转换方式，且从动力学角度揭示了神经元放电模式不同的分岔序列结构，及其根本的非线性动力学本质。在国内，杨卓琴、陆启韶1920等通过快慢动力学分析，以Chay模型为例研究了去极化电流或其它内在参数引起的各种类型的簇放电与峰放电模式，揭示了亚临界倍周期簇放电通过混沌放电到超临界倍周期峰放电的转迁过程；任维、龚云帆、胡三觉21-23等通过实验和数值模拟发现了放电

16、节律的加周期分岔与混沌的变化规律；李莉、古华光2425等通过实验和数值模拟，发现了丰富的神经放电节律模式及其转化模式。徐健学26提出非线性预报和替代数据结合法，揭示生物神经放电峰峰间期序列的确定性混沌现象。1.4本文的主要工作 本文应用快慢动力学、分岔理论、相平面分析以及数值模拟（本文数值仿真主要基于MATLAB、MATCONT与XPPAUT2728）的方法系统的研究了神经元放电产生的机理以及模型中不动点的分岔和极限环的分岔类型。本文的研究结果可应用于其他的神经元电活动模型，也可以为神经元实验提供必要的理论依据和指导，同时也为更复杂的神经元电活动耦合动力系统的研究提供理论基础。各章具体的内容安

17、排如下：第一章 引言部分先介绍一些背景知识，其次给出几类重要的神经元放电活动的数学模型，最后简述了神经元放电活动的研究现状以及本文的主要内容。第二章 本章主要介绍神经生理学和非线性动力学的一些基础知识，分岔理论的基本概念及其分析方法，为后文的分析提供必要的理论依据。第三章 本章详细探讨了ML模型，运用数学软件对ML模型进行数值模拟，并运用快慢动力学分岔分析、相平面分析法等方法对时序图、相图、分岔图进行分析，得出该模型下神经元放电活动的一些规律。第四章 本章对神经元HR模型和Chay模型中的簇放电模式加以讨论，并对模型进行仿真，得出了模型中的几种簇放电模式。第五章 总结本文的主要结论，并对未来工

18、作做出展望。第二章 基本知识2.1神经动力学中的基本概念在神经生理学中，静息电位是指细胞未受刺激时，存在于细胞膜内外两侧的外正内负的电位差。由于这一电位差存在于安静细胞膜的两侧，也称为跨膜静息电位，简称静息电位或膜电位，此时细胞膜处于不放电状态即静息电位状态。在非线性动力学中称为定态、平衡点或不动点，指系统的状态不随时间的变化而变化。动作电位指处于静息电位状态的细胞膜受到适当刺激产生的，短暂而有特殊波形的跨膜电位搏动。静息时细胞膜的内负外正状态称为膜的极化，当动作电位产生时极化现象减弱称为去极化，从去极化向极化的恢复过程称为复极化，当膜两侧的极化加剧时称为超极化。图1.动作电位的形成在神经系统

19、中，当细胞膜规则的重复放电，称为周期放电，对应动力系统中的极限环吸引子；在神经元系统中，周期放电分为周期峰放电和周期簇放电。周期峰放电：神经元周期性的产生一个动作电位 (放电尖峰)，其相应于一个稳定的大极限环吸引子（如图2）。周期簇放电：神经元的放电活动表现为静息状态和反复峰放电状态的周期性交替（如图3）。反复峰放电状态对应于一个稳定的极限环，如果静息状态对应于一个稳定平衡点，那么簇放电是点环型的；如果静息状态对应于一小振幅的阈下极限环吸引子，那么簇放电是环环型的。可见周期性簇放电模式与以下两种分岔有关：(1)平衡点(或阈下极限环)到极限环的分岔；(2)极限环到平衡点(或阈下极限环)的分岔。

20、图2.周期峰放电 图3.周期簇放电2.2神经元的分岔分岔是指依赖于参数的某一研究对象当参数达到某一临界值时，外界微小的扰动或方程中参数值的微小变化使系统行为 (即方程的解) 发生根本的定性变化。在神经科学中，分岔是指在神经元或神经网络中，由于某个参数变化到临界值时，神经元或神经网络的放电特性发生根本性的变化。分岔理论目的是阐明解的定性特征，揭示系统重要的动态现象怎样发生。看似差异很大的系统却具有相似的动力学行为，而且这些动力学行为通常可通过低维的简单的动力系统模型加以理解。不同性质的动态行为可以用几何的吸引子和吸引子动态来刻画，如静息态对应平衡点吸引子，周期状态为极限环，拟周期状态对应环面，而

21、混沌状态则是混沌吸引子。分岔理论为理解神经元系统动态现象的产生机制提供了强有力的工具，国内外学者通过数值仿真和理论分析进行了大量的相关研究，发现了神经元系统丰富的放电模式及其产生的分岔机制7-34。单个神经元模型的分岔图从理论上给出了神经元在各种参数下(对应模型的不同参数组合) 可能的动态行为，是研究神经元对外界刺激的响应特性以及神经元网络的集群特性的基础。不同的分岔机制对应了神经元不同的放电特性，如在ML模型中，当以外界刺激的电流为分岔参数时，随着电流的逐渐增大，系统将经历Hopf分岔和鞍结分岔，而ML模型的动作电位也将经过由静息周期振荡超极化这一变化过程。簇放电是神经元静息状态和反复放电状

22、态交替出现的放电模式，普遍存在于生物系统，其形式多样，功能各有不同。哺乳动物神经元产生簇放电以增强突触传导的可靠性。可能有数百万不同的兴奋和尖峰的电生理机理，但一个系统在没有任何附加约束(如对称)下只能经历四种不同类型的平衡点分岔：(1)鞍结分岔；(2)不变环上的鞍结分岔；(3)亚临界Hopf分岔；(4)超临界Hopf分岔。下面介绍几种低维动力系统中的分岔条件：2.2.1鞍结分岔（Saddle-Node bifurcation）对一维动力系统， ， ；如果满足下列条件，则称为鞍结分岔：(SN.1）在 处有一个平衡点 ，即； (SN.2)是非双曲的，即；(SN.3)在分岔点处，函数 f 有一个非

23、零平方项，即；(SN.4)对分岔参数，函数f是非退化的，即n维向量满足：.二维动力系统中的鞍结分岔示意图如图4： Saddle Node Saddle-node No equilibrium图4.中的鞍结分岔2.2.2不变环上的鞍结分岔（Saddle-Node on an Invariant Circle）假设二维动力系统，具有如图4所示的鞍结分岔。如果初始条件位于鞍点的右侧，那么系统的解会逐渐离开包含鞍点和结点的小邻域。由于鞍点的性质，也可能重新回到这个小邻域内。最简单的情形是不变流形M的左支和右支形成一个环，见图5。 Saddle Node Saddle-node No equilibri

24、um图5.不变环上的鞍结分岔当位于流形M的右支，离开鞍点的邻域，沿着M旋转一周后到达结点。对于足够靠近极限环的初始值，动力系统的解 总是收敛于结点。不变流形M本身就是轨线，始于鞍点，止于结点（图5左图），这种轨线称为异宿轨。当鞍结分岔发生时，鞍点和结点相遇并形成一个非双曲平衡点 即鞍结点（图5中图）。此时，因为轨线的起始点和终止点都是同一点，故M为同宿轨道。非双曲平衡点对于系统参数的小的扰动是非常敏感的，它可能重新裂变为鞍点和结点（图5左图），或者可能消失（图5右图），这时流形M成为一个极限环。反之，如果一个动力系统具有一个极限环吸引子，当参数变化时使得一个非双曲鞍结点恰好位于极限环上，那么，

25、参数变化时这个鞍结点可能裂变为一个鞍点和一个结点。这时平衡点所在的不变环是一个极限环吸引子。因此，这种分岔也称为是极限环上的鞍结分岔（Saddle-Node bifurcation on a Limit Cycle, SNLC）或鞍结同宿轨分岔（Saddle-Node homoclinic orbit bifurcation）。2.2.3Hopf分岔（Hopf bifurcation）考虑二维动力系统 ，。在 处有平衡点 ， 如果满足下列条件，则称动力系统发生Hopf分岔：（HB.1）Jacobi矩阵在 处有一对纯虚根。也即满足条件 = 0， 。（HB.2） 因为> 0，故Jacobi矩

26、阵是非奇异的。由隐函数存在定理可知，对的邻域内的，存在唯一的平衡点族 。如果 表示Jacobi矩阵L () 在 处的值，则n维向量是非零向量，也即满足横截性条件。图6.（a）超临界Hopf分岔；（b）亚临界Hopf分岔二维动力系统中的Hopf分岔如图6所示：2.2.4鞍同宿轨分岔（Saddle homoclinic orbit bifurcation）一个极限环可以经鞍同宿轨分岔产生或消失，如图7。随着分岔参数的改变，极限环与鞍点结合变成鞍同宿轨，并且其周期变成无穷大。分岔后，极限环不再存在。平面上的鞍点具有两个符号相反的特 图7.（a）超临界鞍同宿轨分岔；（b）亚临界鞍同宿轨分岔征值，它们的

27、和称为鞍焦量。若<0，则称该鞍同宿轨分岔是超临界的，此时相当于一个稳定极限环的产生(或消失)，如图7（a）；若>O，则称这个鞍同宿轨分岔是亚临界的，对应于一个不稳定极限环的产生(或消失)，如图7（b）；若=0，则称鞍点为中立鞍点。高维系统可以由以上低维动力系统中的分岔条件推广得到。2.3快慢动力学分岔分析Rinzel于1985年首次对神经元簇放电模式作了系统的理论分析，发现慢变量对快变量的调节作用引起快变动力学的静息状态和振荡状态的相互转迁，并首次对簇放电进行了分类。Izhikevich在前人的工作基础上, 考虑了与簇放电的静息状态和放电状态有关的所有分岔, 提出更为全面完整的理论

28、分类方法, 即所谓“top-down”快慢动力学分岔分析方法。在神经元放电模式的研究中，具有簇放电模式的神经元数学模型一般可以写成以下的奇异摄动形式：， << 1快子系统（2.1）与慢子系统（2.2）一起称为全系统。表示引起放电尖峰产生的相对快的过程。为调节放电尖峰产生的相对慢的过程。小参数<< 1表示快慢时间尺度的比率。 为了分析簇振荡的性质和产生机理，假设 = 0，这样就可以分开讨论快子系统和慢子系统。快子系统可以是静息的、双稳的、或振荡的，这取决于y的值。当y的值在振荡与静息区域周期性变化的时候，便产生了簇振荡。簇振荡的许多重要行为也可以通过快子系统的相图加以分析

29、，其中，慢变量y看成是快子系统的分岔参数。当为一维慢变量并作为分岔参数时，快子系统存在与簇放电性质有关的两类重要分岔：静息状态转迁到放电状态的分岔（即产生放电状态的分岔）；放电状态转迁到静息状态的分岔（即结束放电状态的分岔）。这两类分岔明确反映了连续放电尖峰的产生机理与慢变动力学之间的相互作用，揭示了簇放电产生的动力学本质特性，成为对簇放电模式进行分类的基本依据。除了上述这两种与放电状态产生或结束有关的分岔外，有时还存在与静息状态或放电状态有关的其他分岔，它们的共同作用导致滞后环的产生，从而导致不同簇放电模式的出现。因此，需要考虑慢变量 作为分岔参数时，在快子系统(2.1)中所存在的与滞后环产

30、生有关的各种分岔：即从簇放电的下状态转迁到上状态的分岔和从簇放电的上状态转迁到下状态的分岔。需要注意的是，与放电状态产生或结束相关的分岔和与滞后环产生相关的分岔可能是完全一致，部分一致或者不一致的。此外，若快子系统不存在相应于放电状态的放电尖峰的稳定极限环，则由两个静息状态“上状态”与“下状态”同样也能构成一个点-点滞后环，而且这个点-点滞后环自身也可表现出簇放电的动力学性质。因此,在快慢动力学分岔分析中, 需要全面了解簇放电全过程的所有分岔, 包括与放电状态产生或结束有关的分岔、滞后环产生有关的分岔等, 这样才能深入了解簇放电的动力学行为, 为更详细的簇放电分类提供方法, 从而也为深入研究神

31、经系统的信息编码和认知功能的原理和复杂性奠定基础。第三章 ML神经元模型的电活动研究3.1外界激励电流I作为分岔参数时的分岔分析Morris-Lecar（ML）模型是HH模型的简化，是Morris和Lecar在1981提出的一个二阶非线性模型，他们利用电压钳技术对北极鹅的肌肉纤维进行实验研究，并将实验数据和理论计算结果进行比较对照综合，发现通过两个非失活的膜电导K+和Ca2+，可以很好的解释系统的输出响应，这两个非失活性电导之间的相互作用导致了系统某些实验参数的改变，如K+通道和Ca2+通道之间相对密度的改变，系统极化时间的改变等等。ML模型简单，阶数较低，同时又能模拟现实神经元的发放和恢复的

32、特性，所以对Morris-Lecar模型的研究和分析越来越多，在神经科学中起到越来越重要的作用。ML模型包含一个产生快的动作电位的一个钙离子流和一个钾离子流，同时，为了维持静息态的恒定电位，还考虑了一个漏电流。二维的ML神经元模型对应方程如下： ，（3.1）， （3.2）其中，各参数意义见1.2.2.以下我们将就表3.1给出的所有参数的不同取值，通过时序图、相图以及分岔图，来讨论不同情况下ML神经元电活动模型表现出的动力学现象，并分析这些现象产生的机制。表 3.1 ML模型参数表，I为分岔参数.参数HopfSNICSaddle-HomoclincC0.044.482120-84-60-1.21

33、8230200.067482120-84-60-1.2181217.4200.23482120-84-60-1.2181217.4203.1.1 Hopf分岔各参数取值如表3.1第二栏。由图8（a）可以看出，在阈下扰动下（），膜电位会很快衰减到稳态电压；而阈上扰动（）会产生一次动作电位，并最终恢复到静息态。以下我们用相平面分析来解释此现象：零值线V-nullcline将相平面分为上下两个区域，曲线上方为<0的区域，该区域膜电位将下降；相应的，区域下方>0，膜电位上升。膜电位上升下降的速度由值的大小决定。类似的，零值线w-nullcline将相平面分为左右两个区域，曲线左方<0

34、，该区域钾离图8.（a）I=60时微小扰动下的时序图。为静息状态时的时序图 ，、 为小扰动时的时序图；(b) I=100时，ML系统的周期峰放电。 图9.外界激励电流不同值下的相轨线。(a) I=60；(b) ) I=90，ULC为不稳定极限环，SLC为稳定极限环；(c) ) I=100。系统的零值线附加于图中。零值线交点为系统平衡点。子通道的活化概率将减小；曲线右方>0，该区域钾离子通道的活化概率将增加。图9（a）为I = 60，零值线交点为系统稳定平衡点。下方带有箭头的曲线为V2 (t) 的相轨线，初始扰动略低于阈值，由于初始点位于V-nullcline下方与W-nullcline右

35、方，因此曲线在短暂往右上方延伸后碰到V-nullcline，然后向左上方运动，随后经过W-nullcline回到平衡点。上方带有箭头的曲线为V3 (t)的相轨线，此时为阈上扰动，由于初始点处较小，所以曲线在一直往右延伸至最大值（峰电位）后碰到V-nullcline，然后其轨迹与V2 (t)的相轨线运动方式相似，膜电位开始下降，直至回到平衡点。图9（b）为I = 90时的相轨线，零值线交点为系统稳定的平衡点。此时，系统出现双稳结构：一个稳定极限环（SLC）与一个稳定平衡点。这两个稳定的解，被不稳定的极限环(ULC)分隔开。因此，在ULC范围内的较小扰动发生后，受到稳定平衡点的吸引以及ULC的排斥

36、，膜电位会逐渐衰减至静息电位；而在由SLC与ULC围成的环域内部，受到SLC的吸引以及ULC的排斥，膜电位会表现出周期峰放电的动力学行为。图9（c）为I=100时的相轨线，零值线交点为不稳定平衡点。因此在扰动后，由于稳定极限环的吸引，系统将会出现周期峰放电的动力学行为。 图10.膜电位V关于外界激励电流I的分岔图。图10中，稳定平衡点（实线）随着分岔参数I增加，经过亚临界Hopf分岔点H1（）失稳（虚线），再经由亚临界Hopf分岔点H2（=212）变为稳定平衡点（实线）。在不稳定平衡点周围形成极限环，其中在H1左侧（88.3 < I < ）、H2右侧（< I <217）

37、产生不稳定极限环，和分别表示膜电位的最大值和最小值。图中三个箭头从左至右一次为I = 60、 I = 90、 I = 100。由图可见，在I = 60时没有极限环产生，因此ML系统不会出现周期放电。而在I = 90、 I = 100时由于出现了极限环，因此在足够强的刺激下，系统会产生周期峰放电。事实上当88.3 <I <或<I <217时，系统出现双稳结构（即稳定极限环与稳定平衡点共存并被不稳定极限环分离的状态），此时膜电位会因为阈下扰动短暂上升后衰减至静息态，而阈上扰动会使系统出现周期峰放电。3.1.2 Saddle-node on an Invariant Cycl

38、e(SNIC)本部分的讨论中，各参数取值如表3.1第三栏。从图11（a）中可以看出，阈下扰动不会产生动作电位，膜电位在扰动后衰减至稳态电压（图中虚线）。而每次阈上扰动后都会产生一次峰放电，不同的是产生动作电位的延迟各不相同，越接近阈值的扰动，其延迟时间越长。鞍点S处的线性化系统有负正两个特征值，也即存在稳定流形和不稳定流形，如图11（b）所示。不稳定流形的两支与稳定结点N以及鞍点S构成一个环（异宿轨）。（图（d）为当N与S碰撞后发生极限环上的鞍结分岔成为同宿轨，详细内容参见2.2.2）。如果扰动处于稳定流形上，则膜电位会沿变化，最终停在鞍点S处；处于稳定流形左侧的扰动会使膜电位衰减至稳定结点

39、S处 ；而稳定流形右侧的扰动，会使膜电位产生一次动作电位，并沿不稳图11.（a）微小扰动下的时序图；（b）（c）为对（a）的相平面分析；系统的三个平衡点为零值线的交点，N（空心圆）为稳定结点，S(三角形)为鞍点，U（正方形）为不稳定结点；（d）I=40时的极限环。定流形回到稳定结点S处，需要注意的是，此时扰动离S点越近，则产生峰放电的延迟越长。 图12.膜电位V关于外界激励电流I的分岔图。 如图12所示，S形分岔曲线下支（实线）为稳定结点，随着参数I的增加，在SN2（I = 40）处发生鞍结分岔，同时经由亚临界Hopf分岔点H发出的极限环与SN2一起成为同宿轨，发生鞍结同宿轨分岔，也即SNLC

40、。因此系统此时会产生周期峰放电的动力学行为。3.1.3 Saddle Homoclinic Bifurcation各参数取值如表3.1第四栏。如图13（a）所示，当外界激励电流I=40时，系统出现周期峰放电；峰放电的最大最小值从其对应的相图（b）可以知道。由于相轨线不能交叉，所以极限环内部的轨线始终处于极限环内部，如图（b）所示，峰放电的最大值出现在极限环的最右侧，相应的，最小值出现在极限环的最左侧。图13.（a）外界激励电流I=40时的时序图；（b）外界激励电流I=40时的同宿轨。由图13.所示，S形曲线下支为稳定结点，随着分岔参数I增加，经由鞍结分岔点SN1转为中支鞍点。在I=35.01时

41、碰到经由亚临界Hopf分岔点发出的极限环成为鞍点同宿轨线Hc。因此ML系统存在周期峰放电区域。在I=40时系统存在稳定极限环，即系统出现周期峰放电活动。图14.膜电位V关于外界激励电流I的分岔图 SN1（I=39.96）,SN2为鞍结分岔点，H(I=36.62)为亚临界Hopf分岔点，HC（I=35.01）为鞍同宿轨。 值得注意的是，当36.62<I<39.96时系统存在三稳结构，此时ML系统有两个稳定平衡点和一个稳定极限环。3.2快慢动力学分岔分析为了在模型中产生更丰富的非线性现象与簇放电行为，本节考虑具有电流反馈的ML模型，对应方程如下： ， （3.3） ， （3.4）， （3

42、.5）其中，各参数意义见1.2.2。在快慢动力学分岔分析中，由于ML系统（3.3）-（3.5）中的通常取很小的量，因而外界激励电流I随时间的变化较其他变量慢得多。 因此, 快变子系统由方程（3.4）-（3.5）构成。慢子系统为方程（3.6）.其中慢变量 I 现在被考虑为快变子系统（3.4）-（3.5）的分岔参数。快变子系统平衡点的分岔曲线方程如下： ，（3.6）， （3.7）在3.2中，各参数取值如下：C=20，=0.23，=4，=8，=2，=-84，=-60， =-1.2，=18，=12，=17.4，=0.001，=-22，VCa为控制参数。3.2.1 fold/fold点-点滞后环型簇放电

43、快变子系统（1）-（2）的平衡点就其分岔参数I形成如图15(b)所示的S形分岔曲线，并且图15(a)的簇放电轨线也叠加于图中。S形分岔曲线上支和下支分别由稳定焦点（实线）和稳定结点（实线）构成，中支由鞍点（虚线）构成，LP1、LP2为鞍结分岔点。我们运用图15（b）的快慢动力学分岔分析来研究此簇放电的动力学性质及其类型。图15. （a）膜电位的时序图；（b）当VCa =85时的快慢动力学分岔分析此时快变子系统分岔曲线的稳定上支没有Hopf 分岔点产生， 即不存在相应于放电状态的稳定极限环，我们也不需讨论与放电状态产生或结束有关的的分岔，而只考虑引起滞后环产生的分岔。 一个点-点滞后环将由两个状

44、态：相应于S形分岔曲线上支的稳定上状态与相应于 S形分岔曲线下支的稳定下状态构成。随着快变子系统的分岔参数I的增加，位于快变子系统分岔曲线下支由稳定结点构成的下静息状态经由鞍结分岔（LP1）消失，转迁到分岔曲线上支的由稳定焦点构成的上静息状态。随着分岔参数I的减小，上静息状态经由鞍结分岔（LP2）消失，转迁到下静息状态。这样，一个点-点滞后环将由两个静息状态（稳定的上状态和稳定的下状态）之间的相互转迁而产生。因此，此簇放电模式表现出fold/fold点-点滞后环型簇放电的动力学性质。3.2.2经由fold/fold滞后环的Hopf/Hopf型簇放电快变子系统（1）-（2）的平衡点就其分岔参数I

45、形成如图16(b)所示的S形分岔曲线，并且图16(a)的簇放电轨线也叠加于图中。S形分岔曲线上支的稳定焦点（实线）经H2处的超临界Hopf分岔失稳（虚线），同时快变子系统的稳定极限环（实曲线）产生在S形曲线上支不稳定焦点的周围，和分别表示膜电位的最大值和最小值。随着慢变量的减小，快变子系统的稳定极限环经H1处的超临界图16. （a）膜电位的时序图；（b）当VCa =87.5mv时的快慢动力学分岔分析Hopf分岔消失而转变为稳定焦点。快变子系统的中支和下支分别由鞍点（虚线）稳定结点（实线）构成，Lp1、Lp2为鞍结分岔点。我们运用图16（b）的快慢动力学分岔分析来研究此簇放电的动力学性质及其类型

46、。随着快变子系统的分岔参数 I 的增加，位于快变子系统分岔曲线下支由稳定结点构成的下静息状态经由鞍结分岔（Lp1）消失，转迁到分岔曲线上支的由稳定焦点构成的簇放电上状态。如图可见簇放电轨线以逐渐衰减的振荡方式收敛于稳定焦点的过程中，碰到经由超临界Hopf分岔（H2）产生的稳定极限环开始连续反复的放电状态。随着分岔参数I减小，放电状态相应的快变子系统的稳定极限环经由超临界Hopf分岔（H1）转变为稳定焦点。同样地，簇放电轨线又以逐渐衰减的振荡方式收敛于稳定焦点，放电状态结束。此时还有引起滞后环产生的分岔，簇放电的下状态经由Lp1转迁到簇放电的上状态，同样簇放电的上状态又经由Lp2转迁到簇放电的下

47、状态。因此，此簇放电模式表现出经由 fold/fold 滞后环的 Hopf/Hopf 型簇放电的动力学性质。3.2.3经由fold/homoclinic滞后环的fold/homoclinic型簇放电以下我们将讨论经由fold/homoclinic滞后环的fold/homoclinic型簇放电的两种不同子类型：（1）形成鞍点同宿轨的极限环由超临界Hopf分岔点发出；（2）形成鞍点同宿轨的极限环由亚临界Hopf分岔点发出。3.2.3.1极限环由超临界Hopf分岔点发出的情形快变子系统（1）-（2）的平衡点就其分岔参数I形成如图17(b)所示的S形分岔曲线，并且将图17(a)的簇放电轨线也叠加于图1

48、7（b）图17. （a）膜电位的时序图；（b）当VCa =101mv时的快慢动力学分岔分析中。S形分岔曲线上支的稳定焦点（实线）经H处的超临界Hopf分岔失稳（虚线），同时快变子系统的稳定极限环（实曲线）产生在S形曲线上支不稳定焦点的周围，和分别表示膜电位的最大值和最小值。快变子系统的中支和下支分别由鞍点（虚线）稳定结点（实线）构成，Lp1、Lp2为鞍结分岔点。我们运用图17（b）的快慢动力学分岔分析来研究此簇放电的动力学性质及其类型。随着快变子系统的分岔参数I的增加，位于快变子系统分岔曲线下支由稳定结点构成的下静息状态经由鞍结分岔（Lp1）消失，转迁到分岔曲线上支周围稳定极限环的放电状态。随

49、着分岔参数 I 减小，放电状态相应的快变子系统的稳定极限环碰到分岔曲线中支转变为鞍点同宿轨分岔（HC），经由鞍点同宿轨分岔回到静息状态。此时，形成滞后环的分岔和放电状态产生（Lp1）和结束的分岔（HC）是一致的。因此，此簇放电模式表现出经由fold/homoclinic滞后环fold/homoclinic型簇放电的动力学性质。3.2.3.2极限环由亚临界Hopf分岔点发出的情形与图17类似地，快变子系统（1）-（2）的平衡点就其分岔参数图18.（a）膜电位的时序图；（b）当VCa =111mv时的快慢动力学分岔分析I形成如图18(b)所示的S形分岔曲线，并且将图18(a)的簇放电轨线也叠加于图

50、18（b）中。S形分岔曲线上支的稳定焦点（实线）经H处的亚临界Hopf分岔失稳（虚线），同时快变子系统的稳定极限环（实曲线）产生在S形曲线上支不稳定焦点的周围，和分别表示动作电位的最大值和最小值。快变子系统的中支和下支分别由鞍点（虚线）稳定结点（实线）构成，Lp1、Lp2为鞍结分岔点，LPC 表示极限环的鞍结分岔。我们运用图18（b）的快慢动力学分岔分析来研究此簇放电的动力学性质及其类型。随着快变子系统的分岔参数I的增加，位于快变子系统分岔曲线下支由稳定结点构成的下静息状态经由鞍结分岔（Lp1）消失，转迁到分岔曲线上支周围稳定极限环的放电状态。随着分岔参数 I 减小，放电状态相应的快变子系统的

51、稳定极限环碰到分岔曲线中支转变为鞍点同宿轨分岔（HC），经由鞍点同宿轨分岔回到静息状态。此时，形成滞后环的分岔和放电状态产生（Lp1）和结束的分岔（HC）是一致的。因此，此簇放电模式同样表现出经由fold/homoclinic滞后环fold/homoclinic型簇放电的动力学性质。第四章 神经元HR模型与Chay模型中的簇放电模式4.1 HR模型的簇放电模式本节考虑Hindmarsh和Rose于1984年修改后的HR模型： ， （1）， （2）， （3）各参数意义见1.2.4. 在快慢动力学分岔分析中，由于HR系统（3）中r一般取很小的值，因此与Ca2+离子激活的K+离子电流相关的慢变调节电

52、流z，随时间变化的速度比其它变量慢的多，所以我们取（1）和（2）为快变子系统，（3）为慢变子系统，慢变量z考虑为快变子系统的分岔参数。 快变子系统平衡点的分岔曲线方程如下：4.1.1经由fold/homoclinic滞后环的fold/homoclinic型簇放电图19.（a）膜电位的时序图；（b）快慢动力学分岔分析。各参数取值如下：a = 1，b = 3，c = 1，d = 5, r = 0.001，s = 4，x0 = -1.6，I = 2快变子系统（1）-（2）的平衡点就其分岔参数z形成如图19(b)所示的Z形分岔曲线，并将图19(a)的簇放电轨线也叠加于图中。Z形分岔曲线下支和中支分别由

53、稳定结点（实线）和鞍点（虚线）构成，上支由稳定焦点（实线）与不稳定焦点（虚线）构成，稳定焦点随着分岔参数z减小经超临界Hopf分岔点H失稳。由H发出的稳定极限环（实曲线）碰到中支形成鞍点同宿轨线，Lp1、Lp2为鞍结分岔点。我们运用图19（b）的快慢动力学分岔分析来研究此簇放电的动力学性质及其类型。随着快变子系统的分岔参数 z 的减小，位于快变子系统分岔曲线下支由稳定结点构成的下静息状态经由鞍结分岔（Lp1）消失，转迁到分岔曲线上支的簇放电状态。随着分岔参数 z 的增加，轨线沿鞍点同宿轨回到鞍点，进而转迁到下静息状态。因此，静息态转迁到重复峰放电状态的分岔是 Lp1 处的鞍结分岔，重复峰放电状

54、态转迁到静息态的分岔是鞍点的 homoclinic 分岔。 另外，产生滞后环的分岔，即从下状态到上状态和从上状态到下状态的分岔仍然是fold分岔和鞍点的 homoclinic 分岔。因此，此簇放电模式表现出fold/homoclinic滞后环的fold/homoclinic型簇放电的动力学性质。4.1.2经由fold/fold滞后环fold/hopf型簇放电各参数取值如下：a = 1，b = 2.52，c = 1，d = 5, r = 0.01，s = 4, x0 = -1.6，I = 4快变子系统（1）-（2）的平衡点就其分岔参数z形成如图20(b)所示的Z形分岔曲线，并将图20(a)的簇放

55、电轨线也叠加于图中。Z形分岔曲线下支和中支分别由稳定结点（实线）和鞍点（虚线）构成，Lp1、Lp2为鞍结分岔点。Z形分岔曲线上支的稳定焦点（实线）随着慢变量z的减小，经由超临界Hopf分岔点H失稳（虚线），并在不稳定焦点周围形成稳定极限环。和分别表示膜电位的最大、最小值。图20.（a）膜电位的时序图；（b）快慢动力学分岔分析。我们运用图20（b）的快慢动力学分岔分析来研究此簇放电的动力学性质及其类型。随着快变子系统的分岔参数z的减小，位于快变子系统分岔曲线下支由稳定结点构成的下静息状态经由鞍结分岔（Lp1）消失，转迁到分岔曲线上支的相应于稳定极限环的簇放电上状态（放电开始）。随着慢变量的增加，稳定的簇放电经 Hopf 分岔点结束（放电结束），而此时簇放电轨线以逐渐衰减的振荡方式收敛于稳定焦点的过程中，碰到鞍结分岔点（Lp2）转迁到簇放电的下状态。因此，此簇放电模式表现出经由 fold/fold 滞后环的 fold/Hopf 型簇放电的动力学性质。4.2 Chay模型的簇放电模式本节考虑具有外界去极化电流的Chay模型，方程如下： （1） （2） （3） 各参数意义见1.2.4. 在快慢动力学分岔分析中，由于Chay系统（3）中一般取很小的值，因此细胞内Ca2+离子浓度C随时间变化的速度比其它变量要慢很多，所以我们取（1）、（2）为快变子系统，（3）为慢变子系统，慢变量C视