2022年全等三角形常用辅助线做法

1、五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等例 1如图 1，在 abc 中， abc=60 ， ad 、ce 分别平分 bac 、acb 求证：ac=ae+cd 分析：要证ac=ae+cd ，ae、cd 不在同一直线上故在ac 上截取 af=ae ，则只要证明 cf=cd 证明：在 ac 上截取 af=ae

2、，连接 ofad 、ce 分别平分 bac 、 acb ， abc=60 1+2=60， 4= 6=1+2=60显然， aeo afo， 5=4=60， 7=180（ 4+5）=60在 doc 与 foc 中， 6=7=60， 2=3，oc=oc doc foc， cf=cd ac=af+cf=ae+cd截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，

3、共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -例 2：如图甲， ad bc ，点 e在线段 ab上， ade =cde ，dce =ecb 。求证： cd =ad +bc 。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路： 结论是 cd =ad +bc ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 cd上截取 cf =cb ，只要再证 df =da即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的

4、。解答过程 ：证明：在 cd上截取 cf =bc ，如图乙fce bce （sas ），2=1。又ad bc ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -adc+bcd=180，dce +cde =90，2+3=90，1+4=90，3=4。在fde与ade 中，fde ade （asa ），df =da ，cd =df +cf ，cd =ad

5、+bc 。解题后的思考： 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形， 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

6、 - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路例 3已知三角形的两边长分别为7 和 5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断解：如图 2 所示，设ab=7 ，ac=5 ，bc 上中线 ad=x 延长

7、 ad 至 e，使 de = ad=x ad 是 bc 边上的中线，bd=cd adc= edb（对顶角）adc edb be=ac=5 在 abe 中 ab-be aeab+be 即 7-52x7+5 1x6 例 4：已知在 abc 中，ad 是 bc 边上的中线， e 是 ad 上一点，且be=ac，延长 be 交 ac 于 f，求证： af=effedabc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

8、 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - -提示：倍长ad 至 g，连接 bg，证明 bdg cda三角形 beg 是等腰三角形例 5：已知：如图，在abc中，acab，d、e在 bc上，且 de=ec ，过 d作badf /交 ae于点 f，df=ac.求证： ae 平分bac提示：方法 1：倍长 ae 至 g，连结 dg 方法 2：倍长 fe 至 h，连结 ch 例 6：已知 cd=ab ， bda= bad ，ae 是 abd的中线，求证：c=bae 提示：倍长ae 至 f，连结 df 证明 abe fde （sas ）进而证明 adf adc （sas ）第 1 题图

9、abfdecedabc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - -5、分析：要证 ab+ac2ad，由图想到： ab+bdad，ac+cdad，所以有ab+ac+bd+cdad+ad=2ad，左边比要证结论多bd+cd ，故不能直接证出此题，而由 2ad想到要构造 2ad ，即加倍中线， 把所要证的线段转移到同一个三角形中去精品学习资料 可选择p

10、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - -acd ebd （sas ）be=ca （全等三角形对应边相等）在 abe中有： ab+beae（三角形两边之和大于第三边）ab+ac2ad。6、分析：欲证 ac=bf ，只需证 ac 、bf所在两个三角形全等，显然图中没有含有 ac 、bf的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有ac 、bf的全等三角形也并不容易。这

11、时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形adc 为基础三角形，转移线段ac ，使 ac 、bf在三角形bfh中方法一：延长 ad到 h，使得 dh=ad ，连结 bh ，证明 adc 和hdb 全等，得ac=bh 。通过证明 h= bfh ，得到 bf=bh 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

12、- - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - -adc hdb(sas) ac=bh ，h= hac ea=ef hae= afe 又bfh= afe bh=bf bf=ac 方法二：过 b点作 bh平行 ac ，与 ad的延长线相交于点h ，证明 adc 和hdb 全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形。而过一点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以三角形 bfd为基础三角形。转移线段bf ，使 ac 、bf在两个全等三角形中方法三：延长 fd至 h，使得 dh=fd ，连接 hc 。证明

13、 cdh 和bdf全等即可。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - -三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件例 7 如图 3，在等腰 abc 中，ab=ac ，在 ab 上截取 bd，在 ac 延长线上截取ce，且使 ce=bd 连接

14、 de 交 bc 于 f求证： df=ef分析：要证df=ef，必须借助三角形全等而现有图形中没有全等三角形由等腰三角形条件，可知b= acb ，作 dhae，可得 dhb= acb 则 dbh 为等腰三角形证明：作 dh ae 交 bc 于 h dhb= acb ，ab=ac ， b= acb dhb= b，dh=bd ce=bd dh= ce 又 dh ae， hdf= e dfh= efc（对顶角） dfh efc（aas ） df=ef 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - -精

15、品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - -四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决例 8如图 4，在 abc 中， ac=bc ， c=90， bd 为 abc 的平分线若a 点到直线 bd 的距离 ad 为 a，求 be 的长分析：题设中只有一条已知线段ad ，且为直角边，而要求的be 为斜边要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形证明：延长ad 、bc 相交于 f由 bd 为 abc 的平分线， bd

16、af易证 adb fdb fd= ad=a af=2a f= bad 又 bad+ abd=90 ， f+fac=90 abd= fac bd 为 abc 的平分线 abd= cbe fac= cbe，而 ecb= acf=90 ， ac=bc acf bce（asa ） be=af=2a 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - -五、利用

17、角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法例 5 如图 5， 在四边形abcd 中， 已知 bd 平分 abc ， a+ c=180 证明： ad=cd 分析：由角的平分线条件，在bc 上截取be=ba ，可构造abd ebd ，从而ad=de 则只要证明de=cd 证明：在 bc 上截取 be=ba ，连接 de由 bd 平分 abc ，易证 abd ebd ad=de a= bed 又 a+ c=180， bed+ dec=180 dec

18、=c， de=cd ad=cd 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - -2、已知，如图 2，1=2，p为bn上一点，且pdbc于点d，ab+bc=2bd。求证： bap +bcp =180。证明：过点 p作 pe垂直 ba的延长线于点 e，如图 2-2 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - -全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中