7数量积与向量积

1、数量积与向量积数量积与向量积 一一物物体体在在常常力力f作作用用下下沿沿直直线线从从点点1m移移动动到到点点2m，以以s表表示示位位移移，则则力力f所所作作的的功功为为 cos|sfw (其中其中 为为f与与s的夹角的夹角)启示启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积一、两向量的数量积ab cos|baba ,prcos|bjba 方方向向上上的的投投影影在在向向量量向向量量ab,prcos|ajab 方方向向上上的的投投影影在在

2、向向量量向向量量baajbbabpr| .pr|bjaa 结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积. .数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;ab

3、ba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数 ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba 证明证明（1）、（）、（3）由定义可证）由定义可证余下证明（余下证明（2） 仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明仿此证明abba ccba )()(pr|bajcc )pr(pr|bjajccc ajccpr| bjccpr| ca cb ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1

4、 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求（，求（1）ba ；（；（2）a与与b的夹角；（的夹角；（3）a在在b上的投影上的投影. 解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaab

5、ababa ,21 ajbbabpr|)3( . 3|pr bbaajb .43 例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()( 垂垂直直. 证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(例例3应用向量证明应用向量证明cauchyschwarz不等式不等式232221232221332211|bbbaaabababa 证证记记 321,aaaa 321,bbbb 则则232221|aaaa 232221|bbbb 332211babababa | ),cos(|bababa |ba 232221232221bbbaaa 2

6、32221232221332211|bbbaaabababa 例例4 应用向量证明直径所对的圆周角是直角应用向量证明直径所对的圆周角是直角证证如图所示如图所示xyoabc圆的方程：圆的方程：222ryx 设设 a 点的坐标为点的坐标为)0 ,(yx则则 0 , yxrab 0 , yxrac acab 0 ,0 ,yxryxr 222ryx 0 acab 例例5设设cba,是三个单位向量是三个单位向量始于同一点始于同一点o且且0 cba证明它们终点的连线证明它们终点的连线构成一等边三角形构成一等边三角形证一证一abcoabcabab bcbc caca )()(|2ababab baba 2|

7、22又又cba )()(baba baba 2|22)()(cc 2|c 由由1| cba21 ba3|2 ab同理同理3|2 bc3|2 ac故它们终点的连线构成等边三角形故它们终点的连线构成等边三角形证二证二由由0 cba得得0)()( cbacba23 cacbba又又acb 1 aacaba21 cb同理同理21 caba故由余弦定理，有故由余弦定理，有babaab 2|2223 cbcbbc 2|2223 cacaac 2|2223 故它们终点的连线构成等边三角形故它们终点的连线构成等边三角形 设设o为为一一根根杠杠杆杆l的的支支点点，有有一一力力f作作用用于于这这杠杠杆杆上上p点点

8、处处力力f与与op的的夹夹角角为为 ，力力f对对支支点点o的的力力矩矩是是一一向向量量m，它它的的模模|foqm sin|fop m的的方方向向垂垂直直于于op与与f所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积lfpqo 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也

9、称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数为数 ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba证证ba/ba/或或0 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标

10、表达式向量积的坐标表达式向量积还可借助于三阶行列式表示向量积还可借助于三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba kbbaajbbaaibbaayxyxzxzxzyzy 由上式可推出由上式可推出ba/0 ba0 zyzyabba0 zxzxabba0 yxyxabbazzyyxxbababa xb、yb、zb不能同时为零，但允许两个为零，不能同时为零，但允许两个为零， 例如，例如，zzyxbaaa 000, 0 yxaa补充补充|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac 例例 6 6 求与求与kjia423 ，kjib2 都垂都垂直的单位向量

11、直的单位向量. 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例 7 7 在在顶顶点点为为)2 , 1, 1( a、)2 , 6, 5( b和和)1, 3 , 1( c的的三三角角形形中中，求求ac边边上上的的高高bd. abc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面积为的面积为|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd例例 8 8 设向量设向量pnm,两两垂直，符合右手规则，且两两垂直

12、，符合右手规则，且4| m，2| n，3| p，计算，计算pnm )(. 解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，定义定义 设设已已知知三三个个向向量量a、b、c，数数量量cba )(称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积，记记为为cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何

13、意义： 向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac 轮换对称性轮换对称性（3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba证明证明)(由由cba,共面共面cba )(0),cos( cbazyxzyxzyxcccbbbaaacba )(0 )(设设zyxzyxzyxcccbbbaaacba )(0 由混合积的几何意义知由混合积的几何意义知0|)( | cba0),cos(

14、 cbacba )(得得cba,共面共面 已知已知2 cba， 计算计算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例9例例 1010 已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxa、),(222zyxb、),(333zyxc、),(444zyxd, 求四面体的体积求四面体的体积. 解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量ab、ac、ad为为棱棱的的平平行

15、行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61adacabv ,121212zzyyxxab ,131313zzyyxxac ,141414zzyyxxad 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxv 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.例例11设设dcba,是四个已知向量，其中是四个已知向量，其中cba,不共面，试利用矢量运算将不共面，试利用矢量运算将 d表示为表示为 cba,的线性组合的线性组合分析分析依题意依题意czbyaxd 其中其中 x , y , z 待定待定为求得为求得 x ，须消去，须消去 y , z 由上式可见，若能用一个与由上式可见，若能用一个与cb,都垂直的都垂直的向量，则向量，则y , z 可同时消去，自然想到可同时消去，自然想到 cb 解解设有设有czbyaxd 以以cb 与上式两端作点积，得与上式两端作点积，得)()(cbaxcbd 由于由于cba,不共面不共面0)( cba)()(cbacbdx 同理同理)()(acbacdy )()(bacbadz 又由轮换对称性知又由轮换对称性知)()()(bacacbcba )()()()(1cbadbacda