2022年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题

1、全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5 小题，每小题7 分，满分35 分）（1）已知17xx（ 01x） ，则1xx的值为（b） （a）7（b）5（c）7（d）5【解】21125xxxx（），15xx又01x，15xx. 故选（ b） （2）若关于x的方程2230 xxm的一个根大于2且小于1，另一个根大于2 且小于 3，则 m 的取值范围是（c ） （ a）98m（b）9148m（c）95m（d）142m【解】根据题意，由根的判别式980m，得98m设223yxxm ，由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象，当2x时，有 860m，即14m；当1x时，有

2、 230m，即5m；当2x时，有 860m，即2m；当3x时，有 1890m，即9m综上，95m. 故选（ c） （ 3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为1v ，2v ，3v ，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（d） （ a）1233vvv（b）1231113vvv（c）1231111vvv（d）1233111vvv【解】设这段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s，此辆汽车在各路段上行驶的时间分别为iistv（1,2,3i） ，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为123123123333111ssvssstttvvvvvv故

3、选（ d） （4）已知边长为1 的正方形abcd，e 为 cd 边的中点， 动点 p 在正方形abcd 边上沿 abce 运动，设点p 经过的路程为x，ape的面积为y，则y关于 x 的函数的图象大致为（a ） y x o 122 1 3 1 2 3 c e d x （d）y o 2.5 （a）1 （b）x y o 2.5 1 （c）x y o 2.5 1 x y o 2.5 1 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -【解】由已知，在边长为1 的正方形abcd 中，如图，当点p 在 ab

4、 边上运动时，apx （10 x） ，12yx；如图，当点p 在 bc 边上运动时，abbpx ，即1bpx（ 12x） ，有2cpx ，abpecpadeabcdyssss正方形=11111131(1)(2)12222244xxx；如图，当点p 在线段 ce 上运动时，abbccpx ，有52epx（252x） ，1551()12242yxx故选（ a） （5）已知矩形abcd 中， ab = 72，ad = 56，若将 ab 边 72 等分，过每个分点分别作ad 的平行线；将ad 边 56 等分，过每个分点分别作ab 的平行线， 则这些平行线把整个矩形分成了边长为1 的 72 56个小正方

5、形于是，被对角线ac 从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有ac 上的两个点）共有（d） （ a）130 个（ b）129 个（c）121 个（d） 120 个【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得)56,0(),0,72(),0 ,0(dba，则)56,72(c因为 ac 与水平线（含ab 与 dc） 、竖直线（含ad 与 bc）中的每一条都相交，所以有 57 + 73 = 130 个交点（含重合的交点）由表示直线ac 的正比例函数为79yx，于是重合的交点坐标为（ 9k，7k ） （ k0，1，2，8） 即有 9 个重合的交点因此共有 1309121个彼此不同的交点，它们将对角线ac

6、分成 120 段，每段仅穿过1 个小正方形，于是 ac 共穿过 120 个小正方形故选（d） 二、填空题 ( 本大题共5 小题，每小题7 分，满分35 分)（6） 将一枚骰子掷两次， 若第一次出现的点数为x， 第二次出现的点数为y， 则由x，y所确定的点( , )m x y在双曲线6yx上的概率等于19.【解】1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4

7、) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 其中点（ 1，6） ， （6，1） ， （2，3） ， （3， 2）在双曲线6yx上，因此所求的概率等于19x y a b c d e p 图a b c d g p 图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -（7）计算9999991999nnnn个个个（2n的整数 ）的值等于100 【解】根号内的被开

8、方数可化为2999 999 10999999 (9991) 10999 101010 .nnnnnnnnnnn个个个个个个所以2999999199910100nnnnnn个个个（8）若p是质数，且3p整除 5p ，则2009p的末位数字是2 . 【解】当2p时，35p， 510p，5 能整除 10；当p是奇质数时，3p为偶数， 5p 为奇数，而偶数不能整除奇数，此时p不满足“3p整除 5p ”的条件 . 综上，2p. 于是200920094 5025022(2 )2216p. 由50216的末位数字是6，所以2009p的末位数字是2. （9）如图，四边形abcd 中，105acbbad，45a

9、bcadc，若2ab，则 cd 的长为2 【解】如图，过点a 作eaab与 bc 的延长线交于点e，则90eab. 在 abc 中，由45abc，105acb，得30cab60eaceabcab105bad，75dacdabcab，又18075aceacb，dacace 又在 acd 中，18060acddacadc，acdeac ace cad有 cdae 而在 rtabe 中，45abc，2aeab，2cd. （10）如图所示，在圆环的10 个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，

10、则此最大值为50【解】设相邻格子内的两数为a，b，且 ab ，则baba，共有 10 个差，要使这10 个差的和最大，其中10 个被减数a应当尽量大， 10 个减数b应当尽量小，而每个数仅与两个数相邻，所以，将10，9，8，7，6 各当作两次被减数，5，4，3，2，1 各当作两次减数，可满足条件，所以要求的最大值为2(109876)2(54321)50 如图，是满足条件的一种填数字的方法5 4 6 7 10 9 8 3 2 1 d c b a e 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -三

11、、解答题（本大题共4 小题，每小题满分20 分，共 80 分）（11） （本小题满分20 分）已知2xyxy，3xzxz，4yzyz， 求 752xyz 的值 .【解】2xyxy，1112xy，同理1113xz，1114yz. 10 分由 +- ， 得2111234x，解得247x. 由 +- ，得2111243y，解得245y. 由 +- ，得2111342z，解得24z. 所以， 7520 xyz. 20 分（12） （本小题满分20 分）从一个等边三角形（如图）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图）；然后在六角星各边上，用同样的

12、方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有18 个尖角的图形（如图）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图） ，继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线如果设原等边三角形边长为a，不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”，例如，第1次生长后，得图，每个小等边三角形的边长为13a ，所形成的图形的周长为4a 请填写下表： （用含a的代数式表示）第 1 次生长后第 2 次生长后第 3 次生长后. 第 n 次生长后每个小等边三角形的边长13a所形成的图形的周长4a【解】第 1 次生长后第 2 次生长后第 3 次生长后. 第

13、 n 次生长后每个小等边三角形的边长13a19a127a1( )3na 10 分图图图图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -所形成的图形的周长4a163a649a143nna（13） （本小题满分20 分）已知m，n为正整数，关于x的方程2()0 xmnxmn有正整数解，求m，n的值【解】设方程2()0 xmnxmn的两个根为，则,.mnmn由m， n ，均为正整数，不妨设1，m n 1，于是，()mnmn即 (1)(1)(1)(1)2mn10 分当 (1)(1)2时，(1)(1)0m

14、n，有1n只有=3，=2，此时5m；当 (1)(1)1时，(1)(1)1mn，只有=2，=2，此时2m，2n；当 (1)(1)0时，有=1， (1)(1)2mn，得3m，2n所以，5,1;mn或2,2;mn或3,2.mn20 分（14） （本小题满分20 分）已知点p是锐角abc内的一个点，且使pcpbpa最小，试确定点p的位置，并证明你的结论【解】如图，分别以bcac,为边向外作正acb，正bca，连接,aabb交于点p，则点p即为所求5 分证明如下：易证bcbcaa有caabcb60bcabpaapb与bpa为对顶角，apb60bpa10 分在pb上可截取appd，连接cpad,，有apd为正三角形 20 分a b ac bd p 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -易证apcadb可得dbcpbbdbpbpdpcpbpa为定值15 分在abc内任取一点m（不同于点p） ，连接ma，m