2022年偏微分方程数值解(试题)

1、精品资料欢迎下载1、考虑一维的抛物型方程：偏微分方程数值解试题u2u2,x0,0tttxu x, t x 0u0 ,u x, t xuu x,0 x（1） 导出时间离散是一阶向前euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式；（2） 争论（ 1）中导出的格式的稳固性；（3） 如时间离散为二阶精度的蛙跳格式，uun 1un 1t t tn2 t空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳固吗？为什么？2、考虑 poission 方程2ux, y1, x, yu0, in ab and adnux, y0, in bc and cd其中 是图 1 中的梯形；图 1 梯形使用差分方法来离散该方程；

2、由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，图 2从物理空间到运算区域的几何变换为了求解本问题， 采纳如下方法： 将 的一半投影到正方形区域. ，然后在 . 上使用差分方 法 来 离 散 该 方 程 ； 在 计 算 区 域. 上 用 nn 个 网 格 点 ， 空 间 步 长 为1 / n1；（1） 引入一个映射 t 将原区域（带有坐标x, y ）变换到单位正方形.（带有坐标,）；同时导出在新区域上的方程和边界条件；（2） 在变换区域，使用泰勒绽开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式；3、对线性对流方程uau0a constant >0，其一阶迎风有限体积法离散格式为txju.n1

3、 = u.na t （ u.njxu.n）jj1（1） 写出 a0时的一阶迎风有限体积法的离散格式；（2） 写出 a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式；（3） 使用uuu0说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式；tx4、对一维 poission 方程uxxxex ,x0,1u0u10将 0，1分成 n1 等分，写出用中心差分别散上述方程的差分格式，并问：（1） 该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？（2） 该差分格式稳固吗？为什么？（3） 该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？（4） 取 n16 ，写出该差分格式的矩阵表示；5、表达二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程

4、边值问题uxx25 （2sin5x+9sin15x ）,x0,1u0u10给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ： n6、对一阶波动方程7 ，粗网格 2h ： n3 为例）；uutxu x,0u0, t 01 sin2u1,t x,x0,1（1） 写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后euler 进行时间离散的差分格式；（2） 使用线方法，分析上述格式的稳固性；557、考虑散热片的设计问题；二维散热片如图3 所示，是由一个中心柱和4 个水平的子片构成；散热片从底部root 的匀称通量源通过大表面的子片散热到四周的空气中；散热片可由一个 5 维参数向量来表示，1,2 , ，其中iki , i1

5、,4 ，和bi ；可取给定设计集 d5中的任意值；ki 是第 i 个子片热传导系数（k 01 是中柱的热传导系数）； bi 是 biot 数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数（大的bi 意味好的热传导 ） ； 比如 ， 假 定我 们 选 择 散 热 片 具 有如 下 参数k10.4, k 20.6, k30.8, k41.2, bi0.1 ，此时0.4,0.6,0.8,1.2,0.1 ；中心柱的5宽度是1 ，高度是 4 ；子片的厚度 t0.25 ，长度 l2.5 ；我们将输出温度troot看作是1 ,2 , 的函数，其中输出温度troot是散热片底部定常态温度的均值，输出温度 troot

6、越低，散热成效越好；在散热片内定常态温度分布u ，由椭圆型方程掌握其中 u i 是 u 在i 的限制， i 是热传导系数为k i ,i0, 4 的散热片的区域：0 是中心柱，i ,i1, 4 对应 4 个子片；整个散热片区域记为，的边界记为；为确保在传导系i0i数间断界面int, i1,4 上温度和热通量的连续性，我们有这里 n.i 是i 的外法线；在散热片的底部引入neumann 边界条件来刻画热源；一个robin 边界条件来刻画对流热缺失，其中ii4ext是暴露在流体流淌中的边界部分，i0iextroot ；在 底 部 的 平 均温 度 tl0 u， 其 中l 0 vv ； 在 这 个 问

7、 题 中 ， 我们 取r o o t0l vl v；root（1） 证明uxh 1 满意弱形式其中（2） 证明ux 是 j w 在 x 中取得微小值的变量（3） 考虑线性有限元空间找 uh x h ，使得此时运用通常的节点基，我们得矩阵方程其中n 是有限元空间的维数；ah请推导出单元矩阵k3 3k，单元荷载向量 fh3kl，单元输出向量h3；并且描述从单元量获得总矩阵ah , fh , lh 的程序；8、考虑 poisson 方程2ux, y1, x, y ux, y0其中 是单位正方形，定义空间和泛函0xh 1vh 1 v0au,vuvdal vvda如 uc 2 ，且 u 是上述 pois

8、son 方程的解，（1） 证明 u 为 j w 在空间 x 上的微小值点，其中j w（2） 证明 u 满意弱形式au, v1 a w, w 2l v,l wvx1（3） 作图示匀称三角形剖分，步长量；h，写出以下节点编号所对应的刚度矩阵和荷载向3(a) 节点编号次序为(b) 节点编号次序为1 12 11 22 2 , , , 3 33 33 33 31 22 11 12 2 , , , , 3 33 33 33 3224 假定基函数和节点有同样的编号，写出节点为,33的节点基函数；9、考虑一维的 poisson 方程uxxu03xx2 ex ,u10x0,1将 0,1 区间分成 n1等份，用中

9、心差分别散二阶导数，完成以下各题：（1） 写出该问题的矩阵形式的离散格式：au.f ；（2） 记 a 1ij1，证明i , j n·非负性ij0 ,fori1 j,n·有界性n0ijj 11 ,fori1 n 810、交通流问题可用如下的非线性双曲型方程来刻划u0tx其中x, t 是汽车密度（每公里汽车的辆数） ，uu x,t 是速度；假定速度 u 是密度的函数：uumax1max其中 umax 是最大速度， 0max ；f uumax 1max用如下的 roe 格式n 1ntf nf niixi 1i122其中f n1f f 1 ai12ii 12i1i 1i22a 1umax 1i2ii 1 max求解以下绿灯亮了问题： 此时初始条件为0l , x00,x0一些参数如下：max1,l0.8, umax1,x4,t0.8x；（1） 给出 t2 时问题的解；400umax（2） roe 格式满意熵条件吗？为什么？ 11、考虑 1d 常微分方程两点边值问题uxxu1,xu0u10其中0,1 ，定义空间和泛函0xh 1vh 1 v0au,vuvdauvdal vvda如 uc 2 ，且 u 是上述 1d 常微分方程两点边值问题的解，（1） 证明 u 为 j w 在空间 x 上的微小值点，其中j w1 a w, w 2l w（2） 证明 u 满