2020考研数学二真题及解析(图片版)

1、2020考研数学二真题及解析完整版一、选择题：卜8小题，第小题4分，共32分下列毎题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合題目要求的，请将选项的的字母填在答題纸指定位置上.l.x0下列无穷小塑屮最高阶是（）订F-)d,BLln l+7)d/C. JXSinrdzdJ；S 亦， 答案：D解析:A.f(-l)rB. ta(l? r')<J ,dtC. 广h)F<J r2<r = x5°3><*» I 士已D. o inj-p-2,亍FYP卜呼"（Xr第二类间断点个弗1 2 3 4 案A.B C D 答解析：.Y = 0,.V =

2、2,X = 1,.Y = -I 为间断点GinII+x 一兰血InlX+1 一Q-2v2 Zx2工二0为可去间断点Iim/(.V)= Iim 山川+刈二 “ "(X-IXx-2).v = 2为第二类间断点 lin(.) = IiIn OflI+ Q1 广»->(X-IXx 一 2) lin(.) = Iiln 严山卩+划_ M (-l)(.v-2).r=l为第二类间断点IIim /(x) = Iiln 尹畑|1+工|_ 1(”_1)(丫一2).r = -l为第二类间斷点4BT C-4Dt8 答樂：A 解析：arcsin j YJC令M=Z血.则V(I-Y)arcsn

3、Mr 2zdzCoSfdr4.(.v) = ln(l-), n3 时,/(R)(O)=Cq答案：A解析：/(x)=.ln(l-x),3/(H)CV) = Cln(l-.Y)(B>+ Ci() IIn(I-.)fI)+2() IInd严(I-Vrln(lr)i=(" 一 2)!(¥)(l-xlln(l-.v)r2)=(y/"3)!(；I)l J(I-Xr2(y = 2)r = 2.>(x) = . DP + 2 X U)÷ 曲少(W) '(IF(I-X)A-l2 (I-Xr-严(O) = _旦5 .关于函数/(.y) =.w0.V =

4、0给出以下结论x = 0 Iim /(x,y)=(*.>><0.0) Iim Iiln/(x, V) = O正确的个数是 y0.¾0答案:B解析：V .v-0 I=Ilm= 1xO“4°)一/°) WXXV工0时一=yxy = 0 时.=1丫 = 0 时，一=0Gr(2)恥叭Iimm不存在l(Oo) I y.yvO, Iim f(9y)= Iim Xy = O glOQ)(XJIa0y = 09 Iim f(x9y)= Iiln .r = 0 gIO0)(X-J)-XOJO). = 0, IiIn f(x, y) = IiIn ty = O (.

5、,><o.<ogo ft(y)= (x,y)-O.O)(S).rv O. Iim f(x9 y) = Iim .xy = O 00y = O, lim(. ,v) = Iimx = O >00.V = O, Iilnf (.,y) = Iimy=y 0x0从而 IinlIinI f (., V) = 0.6设函¾(.v)在区间-2,2上可导且,(x)>()>O则()A /(-2)A> 1/(-DR /(°)B> e/(-Dr /(I):C. < e/(-Dn / ,D. <e/(-D答案：B解析：由 Xv)>

6、(x)>Oftln->oBlJ(In/()-x)r> O令 F(x) = ln()- 则 F(X)2,2上单増因-2<-l .所以F(-2)<F(-1)WIhI/(-2) + 2 <ln(-1)+1/(-2)同理，-IVO.F(-l)vF(O)HPto(-l)*l<ta(O)/(-D7设四阶矩阵A = (av)不可逆即的代数余子式4: 为矩阵X的列向裁 组.4为/的伴随矩阵则方程组Zr = 0的通解为()A.x = Ar1qf + Ar2 + 其中 Ar1> 为仕怠常数Bw = Y+切+“ 其中k,k,h为任意常数C. .r = lg÷

7、2g + jq其中kk.yki 为任激當数.D. .t = Ar1q+M÷M其中为任总常数答案：C解析：VA不可逆IAl=O.4l> 0?< J) = 3.m T = °的基础解系右3个线性无关的解向. AA =| A E=OA的每一列都足才丫二°的解又.a12 0.qg线性无关 r = 的通解为X =Ikg +R竹+札8.设.4为3阶矩阵今4为4属于特征值1的线性无关的特征向at q为4的属T特征(1 0 0)值J的特征向命则满足P-IAP= 0-10的可逆矩阵P可为()<0 0 1,A(g+g,Q,Yf)B.(qr÷q,q,-q)C

8、(g+g,pr)D(Q+Qr,-<?)答案：D解析：Aq = q,Aq =fl 0 0)V PyAP = -1 0P 0 I,F的】，3两列为1的线性无关的特征向量q÷q.qP的第2列为.4的WT-I的特征向IftQ.P = (g÷q.-q,q)二、填空题：974小题毎小題4分，共24分请将答案写在答題纸抬定位上.解析：pV7T÷lrfv=0,' Ee =) +lriJ)內 =jo,TT=IP+l)(+l)= l.r(+i)33 32( 3=一 22 一 1911 设二=arctan.ty + sin(.v ÷y).则 dz解析：，dr =

9、 -dr÷-BXxE =!y+ COS(+ y), CZ_=- &1+g + sin(x + y)?ox (Of) = .v+ cos(.v+ y)L =-1创 l+Lu + sin(Y + y)"汎(OX). =(-ii-dvdx (P.«>12斜边长为2等腰宜角三角形平板铅自地沉没在水中 R斜Ii与水面相齐.设重力加速度 为g水密度为Q则该平板一侧所受的水压力为解析：建立直角坐标系.如图所示F=2og.(-x)d.v= 2gjQaX-X (IX-一初3】3.设yy(x)满足 + 2+y = 0,且 V(O)=Oj'(0) = l J*r

10、><.v)d.v =解析：待征方程龙+第1 = 0 4=4 = V3<v) = (C÷Cx>-P<x)d.r = -p© + 2y ,(.r) d.r = -yf(x) + 2y(x)= (0)÷2y<0) = l14.行列式aO-11Oa1-1-11aO1-1OaOO-1Oa一 aOaQ1Oa2-22O1-1Oa1a1-1a解析:Qo-II O -11Oal-IOaI-I-IIqO-1 IaO110“OOad三.解答题：1*23小题共94分请将解答写在答题纸指定位覺上解答歸出文字说明、证 明过程或演算步骤.15.(本题满分IO

11、分)求曲线y = 7(x > 0)的斜渐近线方程.(Ii)解析：IiIn y = Iim + ' I-KX x*x(l + .r).v=Iiln 工、Ni(I+ Y)-IiIn 常' Hx-x(Jx÷xIim (y- e1.v) e=Iim.(6- e- (l+x)x)(XtaJ *1、=lim.re1 e *>-i 一 II丿= ae*.-rln+.t-l 1 1=IiIn e,tI 1Ill ÷/=IiIn e1 yrA=n<l±z> e-><r厂2曲线的斜渐近线方程为j = e-,±216.（本题

12、满分10分）Iim = l,g(.r) = f/ (w)df,求g x)已知函数/(")连续且MO XJO并证明8 *(Y)r = °处连 续.解析：因为Um仝L= 1./(O) = Iim/(X) = O所以 g(0) (0>f/ 0因为 f(v) =dtxru - jf(ti)dii° 当“。时，g3严)-£皿“当X = O时，0(0Tm血3 = IJM诃=心皿=丄 OVi> >O T I 2 妙上5J)>0 X X2 I 2 2 ILIJg,()itv= 0 处连续17.(本题满分10分)求二元函数/(.y) = vi+ 8

13、-.yv的极值解析：求一阶廿可得af-cx-办当 X = 0,y = OBf. J = 0.5 = -1.C = 0"AC-B2Vo故不是极值.当 X=Iy=6 12J = I = -I.C = 4.1C-52>O = 1>OA4 1 '且极小值I 6 1T)极小值/i2.ll16 12丿16丿+81花丿-6×12162Cv)÷.j =Xx2+2. * 求 /(")Trr7并求宜线1v=2他图形绕X轴旋转一周而成的族转体的体积。2 (.+2x解析：(I)V 2(.v)+x f =_ ×) l+x21 +2.v19.（本题满分

14、10分）=2 f4sec' di=2 Jo平面D由層*S"轴碱计宁则 解析：积分区域如图：/11C二一广 d8OCOSo 21co8IP I- 3 d&2 OCOSCOS 0K SSeCaane 节 JTairSeCftIelsec' fliln SeC阱 tan醫创M严)20. (本题满分11分设函数/(.y)=证：存在矗(1,2),/© = (2 4；证：存在症(h2),(2) = ln2/证明(I)构适辅助函数F(X) = f(x)(x-2) = (X-2) eIZdt显然 F(I) = O,F(2) = 0,又F(X)在1,2琏续,(1,2)

15、上可导，由罗尔定理知昭(1,2), FW = 0 又因为 F(X) = J： e'"dt + (.V - 2)e? = /Cr) + (X - 2)討 所以/0=(2-彌令g(x)lnx由柯西中值定理得北w(l,2)/(2)-/(1)./(2).g(2)-g(l) h2 1使得“即 /(2) = ln221. (本题满分11分)设曲线y=(x)可导且,(.v)>O(.vO), /的图飲过底点O曲线上任意一点Nl的切线与X轴交干T. MP丄工轴曲线y=(),MP,.轴因成的面积 ITP面积比为3： 2束曲红方轩 解析：设切点M坐标为(Xyy).则过诃的切线方程为r-y =

16、V(X-X)令 Y=OX=X-L3_2整理并求导得3vvr-22=0令V=P八P兰代入上式得dv解得 P = CLy即 = Clv3 W = CdY3y 5= C.v+C2 由 1*(0) = O 得G= 0y=C22.(本题满分11分)设二次型 /(.V ,X , .r ) = .r2 ÷.r 2 + .V+ 2axX ÷2r X + 2y X 经可逆线性变换 25 J 23I 33：；L 再 J得g(y>y>y )=y2+y2+4y2+2vy.12 S 1211 2<1>求的值；<2>求可逆矩阵P.解析：<>令/(Y&qu

17、ot;""")的矩阵/C,y2, V)的矩阵L1OO4A与B合同.则M4) = NB).由于IBl=0.故 )<3t 故4 I= O1 a aHl= 1 a = (2a +l)(-l) 3=0 而11d = 解得 空或 = L当"1时.心)"而M) = 2故舍去1a = _所以 2.1a =(2>当 3时利用配方法把/(心，兀，丙)化为规范形.> I , 2 S 1 2 I 3X 丫 3、3 2 3 勺_5 J +4÷4 - 丫(X -X)22 4 2/f(x , X , X ) = -V 2+ X 2 + X 2-

18、 X X - XX - XXP=O 21|0 巴今 L /(.v,x,x) = r2+2 Z=P1X W125'2利用配方法把/5必，必)化为规范形./(v.>.yj)=>,l2 +y； ÷22+4 =(.v + 叮 +4vj-=y+,v2 -=2y5 6 = 令Z = py.2I1 1 0I即令P =0 O 2LoI 0所以T耳-1 /1忑1K =0空1 庐00 1由于LL 1Ob23.(本题满分11分设/为2阶矩阵，P = (Jc.其中是非爭向塑且不是.4的特征向量.(I)证明P为可逆矩阵.(2)若A2OH-Aa-6a0.求AP并判断A是否相似T对角矩阵.解析，(I)O 0 且 Aa Az故為抠戈性无关.则ia,A6- 2则P可逆.(2)法一：由己知有A(X=-Aaba 于是 AP = J(, Aa) = ( Aa. A2a) - (AaAa 6a)=(Q訓：,故有P4P = f § p可逆11 1 1I 丿I 丿可得4与F 6 IffliCI