2020年江西省抚州市临川一中高一下学期期中数学试题(附带详细解析)

1、绝密启用前2020年江西省抚州市临川一中高一下学期期中数学试题题号二三总分得分考试范I制：XXX：考试时间:100分钟；命题人：XXX注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分单选题I.不等式琴的解集为（）A. xXVO或x>3C. xx<-2或x>0Exx<-2或OVXV3D. x-2<x<0x>32等比数列匕各项均为正数，若= 1,A. 364E63+2 + 2卄I = 15q则色的前6项和为63C.32D.136510243. 已知b>O, bc&l

2、t;O ,则直线ax+by = c通过（）A.第一、二、三彖限B.第一、二、四彖限C.第一、三、四象限D.第二、三、四彖限4. 不等式cx2 + 5x + a> 0的解集为v3 VX 卜则°、C的值（）C =-65.己知数列色为等比数列,其中込4为方程2+2019x + 9 = 0的二根,则吗的值（）A. 3E3C±3D. 9试卷第7页，总4页6. 已知直线2r + by-2 = 0（d>0">0）过点（1,2）,则丄+彳的最小值是（）a bA. 2E. 3C. 4D. 17. 已知 ABC 中，tan A + tan B + 3 = 5/3 t

3、an A tan B 且 Sin B COS B = £，则 ABC 是（）A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形8. 已知数列c/”满足all+2 =Cln-an,且q = 2, qz = 3, S”为数列的前"项和,则歸9的值为（）AOE2C5D. 69. 在AABC中，Z? = 19.c = 20 = 60%那么这样的三角形有()AO个E1个C. 2个D. 3个 2b -I- C10. 在 MBC 中，ZA = 60o, b = l, SW=G 则一,"一 "的值等于SInA - 2 Sm B + SIn C(

4、 )A.芈B. y3C. 3D. 2311.在ABC中，tanA是以-4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tanB是以1为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形形状为（）3A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形12.已知数列%, bt的前”项和分别为S”，Tllf且色0, 6S =a + 3a,若kT<恒成立，则R的最大值为（） aaxjr.118A. 一E一C. 9D. 一918441第口卷（非选择题）请点击修改第卷的文字说明评卷人得分二、填空題O 盅O O 垛O M O 最：M毬躱MK-BO 帑O O 堞O 主O 评卷人得分三、解答题J- I Z-

5、_13. 已知ABC中，三边与面积的关系为S = ,贝IJCoSC的值为414. 已知川工0,则过点（1, 一1）的直线+3mv+2=0的斜率为.15.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲（水生植物名） 生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺.蒲生 日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？ ”意思是：今有蒲生长1日，长为 3尺；莞生长1日，长为1尺.蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍.若 蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 日.（结果保留一位小数，参考数据：lg20.30, lg3 0.48 ）1Sln X 2416.在函数y = x + -, ®y =

6、+-（0<x<） 9 ®y = ex + -2 ,X2SInXex2 -U 31y = -1=,y=+中，最小值为2的函数的序号是.y X2 + 2X17己知4BC的三个内角A.,C所对的边分别为QbC , ZA是锐角，且>b = 2 sin B （1）求ZA的度数；（2）若b'+c' = 89, ABC的面积为103，求的值.718. 已知等比数列匕的前项和为s”，S3 = -, S6 = -.2 2（1）求数列«/”的通项公式d”；（2）令=7-61 + log2d,t,求数列$的前项和：19. 已知函数f（x）x2-2x-3（1）解不

7、等式/（:（2）若对一切x>l,不等式/（x）（7H + 2）x-15恒成立，求实数加的取值范围.20.己知数列和如中，数列务的前M项和记为Szr若点SSJ在函数y = / +4%的图像上，点（nfbn）在函数y = 2”的图彖上.（I ）求数列z的通项公式;（II ）求数列z %的前Ti项和记为心.21.临川一中实验学校坐落在抚州火车站附近，在校区东边（如图），有一直径为8米的半圆形空地，现计划移植一古树，但需要有辅助光照半圆周上的C处恰有一可旋转 光源满足古树生长的需要，该光源照射范围是ZECF =-,点E,F在直径上，且6ZABC=-.6（1）若CE =伍,求AE的长：（2）设ZA

8、CE = a,求该空地种植古树的最大面积.22.已知数列和化满足263.=（2）fc（7TV+）.若为等比数列，且OJ = 2，b、 6 + k（1）求 d” 和 b” ；1 1（2）设, = -记数列q的前"项和为s” 求SH : 求正整数k,使得对任意H N+均有SkSyO ® O O W O -E O 阚他壬報躱M1÷BO 盅O O 煤O 亠§ O 参考答案1. D【解析】【分析】将分式不等式等价转化，用数轴标根法求解不等式解集即可.【详解】不等式 V(AJb 2) > O等价于x(x+2)(x-3)>O方程x(x+2)(x-3) =

9、O的三个实数根分别为-2,0,3,故不等式心兰2 >0的解集为xe(2,0)u(3,+s).故选：P.【点睛】本题考查分式不等式的求解，涉及高次不等式的求解，注意数轴标根法的使用，属综合基础 题.2. A【解析】【分析】将an+2 + 2all,l = 15al转化为关于公比的方程，求得公比，再用等比数列前项和的公式即可求得结果.【详解】a>,+2 + 2% = 15a” 等价于 anq2 + 2anq = 15an因为an>0,故可得q? + 2q 15 = 0,解得q = 5 （舍），q = 3； 故由公式可得56 =上兰=364.61-3故选：A.【点睛】本题考查由基本

10、量求解等比数列的前"项和，属基础题.3. D【解析】【分析】将方程整理为一般式，即可根据斜率以及）'轴上的截距判断直线经过的象限.【详解】CIXby = C 于 y = _*x+；,b b根据题意-故直线经过第二.四彖限；b又因为7<0,故直线经过第二、三、四象限b故选：P.【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.4. D【解析】【分析】根据不等式的解集，即为不等式对应方程的两个根，由韦达定理即可求得.【详解】因为不等式C亍+ 5x + a > O的解集为xl<x<ll3 2故方程卅+5z = 0对应的两根为壬和?解得 c =

11、_6,d = _l.故选：P【点睛】本题考查由二次不等式的解集求参数的值，涉及韦达定理，属基础题.5. A【解析】【分析】由韦达定理求得a5c9,再利用等比数列的下标和性质，即可求得Q7.【详解】因为05，為为方程疋+ 2019x + 9 = 0的二根，故可得 5a9 = 9 ,+ «9 =-2019,故 a5 <09 <0根据等比数列的卞标和性质a5a9=(a1)2=9,解得a7=±3.又因为a1=a5q2,a5 <0,故可得a7 <0,故a1=-3.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，注意对结果正负的取舍，属中档题.6. C【解析】【

12、分析】!的最小值即可. b根据直线过点(1,2),即可得到,b的等式，再利用均值不等式求得丄+a【详解】因为直线2x + by-2 = 0( >O上> 0)过点(1,2),故可得a + b = l9因为a>O,b>O当且仅当一=,N + b = 1时，即Cl = b =时取得最小值. a b2故选：C.【点睛】本题考查利用均值不等式求和的最小值，属基础题.7. A【解析】【分析】由 tanJ+tan3+=tan月tanS,推导出 C= 60°,由 ShIBCoSB =至 ,推导出 A =60或90° ,从而得到磁的形状.【详解】即 tanJ÷

13、;tan5= JJ (I- tanJtan5)> 1-tanAtanB= tan ()"艮又月与砌为三角形的内角,A+B=120o,即 C=6(F ,T SIlIBCOSB =，' sin2B =.2B=6Q0 或 120° ,则 A二90° 或 60° 由题意知4工90。 AABC等边三角形.故选A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用.& D【解析】【分析】采用列举的方式，总结出数列的周期，再根据数列的周期性求和即可.【详解】对数列 an+2=an-an

14、 ,容易知=2,込=3,偽=l,d = 一2,。5 =一3,。6 =一17 = 2,QS = 3,心=1,，故可总结出数列%是以6为周期的周期数列；设该数列一个周期内的和为S ,则2oi9 = 336 ×S + al+a2 + a3 = 6.故选：P.【点睛】本题考查由递推公式求得数列的周期，从而利用数列的周期性计算前项和，属基础题.9. C【解析】【分析】据余弦定理可得b2 =a2+c2-IaccosB >代入题中数据化简得夕一 20。+ 39 = 0,由根的 判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得ABC有两个解.【详解】解：在AABC中，b = 19,

15、c = 20, B = 603,由余弦定理b2=a2+c2-IaCCQSB，得：361 = 400 +夕一2xx20xcos6(，得：f/2-20«+ 39 = O-(*)= 202 -4× 1 ×39 = 244 > 0 ,且两根之和、两根之积都为正数，方程(*)有两个不相等的正实数根，即有两个边"满足题中的条件.由此可得满足条件的ABC有两个解.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于 基础题.10. A【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得C的值，进而利用余弦定理求得,再利用正弦定理

16、求 解即可.详解：由题意，在AABC中，利用三角形的面积公式可得SSABC =bCSmA = ×l×c×Sln60o = 3 ,解得c = 4,又由余弦定理得d' =/?2 +c2-2Z?CCOSA = I+ 16-2×Ix4×丄=13 ,解得 = J13 ,2 Na-2b+c _ a _ 13 _ 239由正弦定理f'l sm A- 2SIn B + sm C SmA yf3 3 故选 AT点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形 问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“

17、角转边”寻求边的关系，利 用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余 弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合 正、余弦定理解题.11. A【解析】【分析】首先由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得tanA = 2, UuM = 3, 然后利用两角和的正切公式可求出ta(A + ) = -l,从而求出ZC,再结合题意确定£、B的范I韦I,从而确定C的形状.【详解】解：由题意可得,taA =4-(-4)7 3(taB)3 = y = 273所以 taB = 3故 tan(A + ) =2 +

18、312x3O<A+B <,/.A + B = -ZC = -又 taA > O, tai 出 >0, 0<A< 0<B <.0<y, OVB誇,故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题12B【解析】【分析】 先根据暫与S之间的关系，求得匕和化，再用裂项求和求得7；,再求得7；的最小值即可【详解】对数列a”,因为6S”=a： + 3a”，令川=1,可得勺=3故当(? 2)时,6S”T= a;_I + 3an,l两式相减后可得(r-1)(¾ +flf,1)-3(a

19、 +a-1) = 0因为Qji >°,故可得anan- =3故”是首项为3,公差为3的等差数列，故匕=3几UT IfI 1 1Iw r = -1x 9U 2 21 -+3X7+1X9(x÷l)容易知当X = I时，7；取得最小值7；=右.故要满足题意，只需即可.故选：3【点睛】 本题考查利用色与二之间的关系求解通项公式，以及用裂项求和求数列的前项和，属综 合中档题.13.返2【解析】【分析】2 12 2由面积公式以及余弦定理，对S=' Y 进行转化，即可求得CO$C4【详解】根据面积公式 S = abSinC,以及 ' +b2 -c2 = IabCOS

20、C ,2可得 2absinC = IabcosC,解得 IanC = 1 由同角三角函数关系，因为珂。,分故可得SC 故答案为：返.2【点睛】 本题考查面积公式和余弦定理的使用，属综合基础题.114. 一_3【解析】因为过点(1,-1),所以a 3m+2 = 0,得,n = a，所以斜率k=-=一丄.3/77315 2.6【解析】解：设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列at,其1 =3 ,公比为丄，其 前项和为人.莞(植物名)的长度组成等比数列b,其bl = l,公比为2 ,其前“ 项和为.则人=_2"-1=9I2-1L2令 = Bn ,化为：2”+仝=7,2"解得2&qu

21、ot; = 6或2”=1 (舍去).即：“=暨= i+1q2.6 .Ig2 2所需的时间约为2.6日.16. 【解析】【分析】利用均值不等式结合函数图像，对选项进行逐一判断即可.【详解】对：函数y = +丄，当XVo时，y<0,故错误；XC/ Y2(5、对：当XW(Os),“加W(M),故由对勾函数的单调性可知y = - + r- -,+co , LSlRX y Z丿故错误：_4对：因为ex > O，故y = e+-2 >4-2 = 2,e当且仅当X = In2时取得最小值，故正确；对：尸Q-(R)Fy2 + 2 4厂 1' 令 / = Jx + 2, t Jx

22、9; +2?故)，= / + ,根据对勾函数的单调性可知yE,+s),错误;对：函数y= +-为偶函数，又当X> O时，y = x+丄2 ,X当且仅当X=I时取得最小值；故函数y=+丄的最小值为2,当=±时，取得最小值，故正确. 故答案为：.【点睛】本题考查均值不等式的使用，以及对勾函数的单调性，属中档题.17. (1)60。； (2)7.【解析】【分析】(!)利用正弦定理将边化角，整理化简即可求得角4：(2)由面积公式求得be,结合余弦定理，即可求得.【详解】(1) JJb = 2a Sin B，利用正弦定理可得屯SiHB = 2SinA SinB 又因为SmB 0,故可得S

23、mA = 邑 又因为ZA是锐角2故可得4 = 60。.(2) 由S = bCSinA = 103 ,结合4 = 60°,可得be = 40又因为b2 +c2 =89»由余弦定理可得 = Z?2 + c2 - TbccosA?= 7 故 a = 7.【点睛】 本题考查利用正弦定理将边化角，以及面积公式，余弦定理的简单应用，属综合基础题18. (l)n = 2n2 ； (2) TlI = Ir- 62n.【解析】【分析】(1) 利用基本量，根据已知条件，列出方程，求出数列的首项和公比即可；(2) 由等差数列的前项和公式即可求得.【详解】(1) 设等比数列%的公比为9,由S3 =

24、 -, S6 = -2可得©(F)_ 7 4(F)(IF)(I+门_ 63 l-q 2，l-ql-q2故g'=8,解得q = 2,代入得al = i.故 an = alq',i = 2n2.(2) 由(X)中所求，可得 = 2/7-63,因为 +1 = 2(+ 1)63 2+ 63 = 2故仇是首项为-GL,公差为2的等差数列，故TIl =-6l×n + H= n2 -62.即 Tll = Ir - 62n.【点睛】本题考查由基本量计算等比数列的通项公式，以及用公式法求解等差数列的前项和，属中档题.19. (1) (-,-lu3,+oo); (2) (一0M

25、【解析】【分析】(!)分解因式，即可求得不等式的解集;(2)将恒成立问题转化为函数最值的问题，构造分式函数求最值即可.【详解】(丄)W0 等价于-2x-30,故可得(x-3)(x+l)0,解得x(-oo,-lu3,+oo) 故不等式的解集为：(-oo-l3,+).(2)不等式 f(x)(n + 2)x-m-15恒成立等价于x2-4x+12m(x-l),因为>ly 4x+12故也等价于211±A± 加恒成立.x-lx-1令 ga）=r4：+12 = （_l）；2（-l） + 9=（_）+ 2_2227?-2 = 49当且仅当(X-I) = ，即x = 4时，取得最小值.

26、 x-1故要满足题意，只需7W4, 即加 w(-s,4.【点睛】 本题考查二次不等式的求解，恒成立问题，分离参数法，属综合中档题.20. ( I ) l =-2+5； (II)Tn = (-2n + 7)2n+1 ÷ 2.【解析】【分析】(I )先由点(Tl,Sn)在函数y = -X2 + 4x的图像上,得到S”，再由On = Sn-ST即可求出结果；(II)先由题意求出,再由错位相减法求数列的和即可.【详解】(I)由己知得Sn = -n2 + 4n,因为当 2时，an = sn- Sn.1 = -2n + 5；又当？ = l时，CII=SI = 3,所以an = -2n + 5；(

27、II )由己知得l = 2nf 所以On bn = (-2n + 5) 2n,所以 7=3×21+l×22 + (-1) ×23 + + (-2n + 5) × 2n,2Tn = 3×22 + l ×23 + (-1) × 24 + + (-2n + 5) × 2n+1,两式相减可得-Tn = 6 - 2 × 22 - 2 × 23 - 2 × 242 ×2n - (-2n + 5) X 2n+1,整理得 & = (-2n + 7)2n+1 + 2.【点睛】本题主要考查等差数列与等差数列，熟记数列的通项公式以及错位相减法求前Ti项和即可,属于常考题型.21. (1) AE = 1 或 AE = 3； (2)4【解析】【分析】(1) 在ACE中，由余弦定理即可求得AE的长；(2) 在ACF和ACE中，由正弦定理用表示出CF和CE,再利用三角函数的最值 求解面积的最人值.【详解】(Z)在直角三角形ABC中，因为ZABC=f直径AB = S6故可得 AC = -AB = 4. ZCAE =-234 C2 4- 4 F2 -CF2在ACE中，由余弦定理可得一 =CoSZCAE2AC×AE代入可得 AE