4函数的奇偶性学生版

1、中国领先的个性化教育品牌卓尔哈佛教有小中曜中f «4一一哈佛教育学科教师辅导讲义辅导科目：数学年级：高一学员姓名:教材版本：师大版课时数：2-4学科教师:课 题5指数与指数函数教师版教学目的教学内容指数引入在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如22 , 23等，只不过当时我们没有给它规定具体的名字，那在高中阶

2、段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏， 对他说：我可以满足你的任何要求. 西 萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，7亨尔哈佛教育 a也,*中修整一一直至第64格.国王觉得这事挺好办，欣然同意.计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，L ,还没有到第二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一倍接一倍飞快增长着，国王很快就看出，即便拿 出全

3、国的粮食，也兑换不了他对西萨的诺言.这到底有多少粒小麦呢，我们可以估算一下：方格中有的小麦数依次为：1, 2, 4, 8, 16, L , 263,最后一格中有263粒小麦，210 1024 103, 260 1018 ,也就是百亿亿，那263 8 260就是八百亿亿.这还不包括前面 63个格子的.其中，我们归纳一下求个和，知道小麦数一共是264 1,大约是一千六百亿亿.这大概是全世界两千年所产的小麦的总和.再直观一点，给这么多小麦建一个宽四米，高四米的粮仓，这个粮仓可以绕地球赤道7500圈.如果把这些小麦堆放在一间教室(16平)里，堆到太阳上，也才堆了一半！这个故事一定会让你吃惊，开始微不足

4、道的数字，两倍 两倍的增长，会变得这么巨大！事实的确如此，因为国王碰到了指数爆炸”二种事物如果成倍成倍地增大(如2 2 2 L ),则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像大爆炸”一样，非常惊人.那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数哥.5.1指数与指数塞的运算知识点睛1.整数指数3在初中我们就学过正整数指数哥，如a2, a3等，并且我们也知道a2 a3 a5 ,2 a ,那么在这些整指数塞中 aa叫做什么？ 2, 3又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回忆一下正整数指数哥.6 4 7 48正整数指数哥：an a a L a,是n个a连乘的缩写(

5、n N), an叫做a的n次哥，a叫做哥的底数，n叫做 哥的指数，这样的哥叫做正整数指数哥.正整数指数哥的运算法则：mm n mn/,m、nmn z x a m nm m, m(1) a a a ;(a ) a ； (1) a (m n, a 0);(ab) a ba【整数指数哥引入】刚刚我们说的正整数指数哥要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是正整数，我们 现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们遇到的指数哥的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来3取消法则中m n的限制，则正整数指数哥就推广到整数哥 .例如，

6、当a 0时，有号 a3 3 a° , a333a5a3 5a 2 ,这些结果不能用正整数哥的定义来解释.但我们知道，号1 ,3 工.这就启aa a a示我们，如果规定a0 1, a 2则上述运算就合理了 .于是，我们得出如下的整数指数哥： a整数指数哥：a0 1(a 0), a n 4 (a 0, n N ).a【教师备案】(1如此规定的零指数哥和负整数指数哥，就把正整数指数哥推广到整数指数哥，并且正整数指数哥的运算法则对整数指数募运算仍然成立.对于整数指数嘉的要求是底数不等于0”为什么底数不等于 0,因为分母不等营卓尔端佛教育"TO-(1电师可以给学生举一些小例子，例如,

7、800b 1a b ；310116464 ；2x18x33 xr20.0001102 a b2c我们已经把正整数指数哥成功的引申到整数指数募了， 哥具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数哥: 那由整数指数募到分数指数哥又有什么样的变化呢？分数指数2.分数指数根式:在讲分数指数哥之前我们先来看一下初中就学过的一个东西(1根式n次方根：如果存在实数 x ,使得xn a (a R , n 1, n N ),那么x叫做a的n次方根.求a的n次方根，叫做a开n次方，称做开方运算.)当n是奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数.这时， a的n 次方根用符号 表示.)当n是偶数

8、时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.正数 a的正、负n次方根分别表示为：« ,可以合并写成 a(a 0).正数a的正n次方根叫做a的n次算术根.负数没有偶次方根.o的任何次方根都是o，记作n有0.当7a有意义的时候，式子 喝叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数.【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如内”和好有什么区别？它们分别等于什么？下面我们来举几个例子说明一下：一n1.g是实数a的n次方根的n次哥，其中实数a的取值范围由n的奇偶性来决定:当n为大于1的奇数时,当n为大于1的偶数时, 2无意义，例如， 2R.例如，3 274 0.例如，河27 , -3227 , V3

9、 2 3,532,_ 6600；0,式子/an 44 54均无意义，也就不能说它们的值了n因此只要中a有意义,n其值恒等于a ,即五 a2.它是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受 子的值受n的奇偶性限制：n的奇偶性限制，aR .但是这个式当n为大于1的奇数时，其值为a ,即任 a ,例如,当n为大于1的偶数时，其值为|a| ,即n ana .例如,2,#67.326.1;3.a,由此当n为奇数时，Van a；当n为偶数时，Van |a |所以，我们得到根式具有如下的性质:根式具有的性质：(n/a)n a n 1 ,且 n N ；卓尔嗡佛教育小中2一一 a, a > 0当n为前

10、数时，a；当n为偶数时，8 |a |a, a 01 31 3【分数指数哥引入】下面我们再来看一下分数指数哥.例如，aa2a'32a .显 然，这些运算1都不能用整数指数哥的定义来解释.但是如果规定a$年,则上述分数指数哥的运算就能像整数指数哥那样运算了 .为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数a 0,于是分数指数哥定义为:分数指数哥正分数指数募：1an n a a 0man(nG)m/am(a0, n, m N ,且m为既约分数).n负分数指数哥:1 ，-m (aa百0,n, m N ,且m为既约分数）n整数指数哥推广到有理指数哥，有理指数哥的运算法则:r s r s ,a a a (

11、a 0 , r , s Q)；s r rs r sa a a (a 0, r , s Q);r r r(ab) a b (a 0, b 0, r Q)【教师备案】（1整数指数哥的运算性质，比如 （ak）n akn,对分数指数哥仍然适用.注意讲解时，由学生熟悉的整数指 数哥的概念性质逐渐推广到有理数指数哥，让学生知道新的概念与法则与已有的概念与法则是相容 的.分数指数哥是学生新接触的一个概念,所以在讲完分数指数骞后一定要给学生举几个例子，例如,2831832225925125 .273852853,3132133136329；2 13.4a b1b41a21b21a21b21a21b21a21

12、2 b2【无理指数哥引入】通过上面分数指数哥的学习,我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数,那么当指数是无理数时，我们又应当如何理解它？比如5<2 ,在这里还不能给出无理指数哥严格的定义，只有一个感性的认识和相关结论.通过下面的分析让学生体会 用有理数逼近无理数”的思想，感受逼近 的过程.观察（课件中 无理指数哥引入”中有下图）：卓尔哈佛教育疗的过刹近假值力的近似值W的近似值花的不足近憾位L511.1BQ 339 8?9. jIK 2阴出川1,4L 429.破 9 635 3289,6花湖973L41L4159. 750 851 8089,7Q 171 039L4141. 114 3g

13、.73g乩 73& 305 1741. 411 2m 229. 73fl643里 73» 461 907L4H 21I. 414 2H% 73R 524 6029. 738 50B 9281.111 ?13L114勿需69 J3E 5 IB 3329*738 516 765(.414 213 5LIU 213 579> 73& S17 0629.738 517 7051 1H 213 56由上表不难发现：L U4 213 563杀 7 蝠 517 752比 738 517，361.414 213 562当&的过剩近似值从大于 22的方向逼近J2时，5#的

14、近似值从大于5p的方向 逼近5产;当奥的不足近似值从小于 "的方向逼近。时，5?的近似值从小于5的方向逼近5出；所以我们得到如下的无理指数哥：3.无理数指数募无理指数哥a （a 0,是无理数）是一个确定的实数. 有理数指数哥的运算性质同样适用于无理数指数哥.一般地，当a 0, 为任意实数值时，实数指数哥a都有意义.对实数指数哥，上述有理指数哥的运算法则仍然成立【教师备案】建议老师把指数哥按照由正整数指数塞到无理指数哥按顺序讲完，讲完以后就可以让学生做例 1和例2,例1主要是进行简单的根式与哥运算 .学生会很快做完，但是学生很容易出现计算上的错误，所以老师一定要强调让学生细心算.例2是

15、对指数哥进行化简与求值，难度高于例1,其主要目的还是要锻炼学生熟练掌握指数募运算法则.经典精讲考点1:利用分数指数哥进行根式与哥运算【例1】*细心算一算3( 5)3；.(3)2,(a b)2（其中ab);2183 ; 25 2一 3530 (3 ©4V(3i1681云计算下列各式8a3;1 ;(a2ab3 .0)14a411Q_ 4"33a b会(a, b 0) .6a 2b 3Z8亨尔哈佛教育中国领先的个性化教育品牌伊卓尔哈佛教育寸不小.府中43®中原修一 一考点2:化简与求值问题【例2】*若100x 2, 10y 5,则2x y的值为(9A. 3 B. 2C.

16、1 D. 0的值* 已知 a 1 2 ,求 a2 4 , a3 二，a4 aaa【解析】(1Ca22 ；12x y 1 ，则xy的值为【备选已知技T J4 6x【解析】8 27若V4a2 4a 1 行苗，则实数a的取值范围是（）1-11A. a R B. a - C. a D. a < 222【解析】D【点评】学生在做本题时最容易犯的错误就是认为64a2 4a 1 6 2a 1 2病1 ,所以老师在讲本题时，一定要给学生说明 ? 2a 1 2不一定等于32a 1 ,就跟7a2不一定等于a一样.指数哥我们已经非常清楚了，那到底什么是指数函数呢？所以下边我们来看一下指数函数以及它具有的性质:

17、5.2指数函数及其性质我们先来看一下指数函数的定义: 考点3:指数函数的定义知识点睛我们规定如下的函数为基本初等函数：常值函数（也称常数函数）y c （其中c为常数）指数函数 y ax （a 0,且a 1） 对数函数 y log a x （a 0,且a 1）哥函数 y x （ R）三角函数：（其中包括六种三角函数：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割） 反三角函数：（其中包括四种反三角函数：反正弦，反余弦，反正切，反余切：关于反正割，反余割一般不用.注意：反二角函数目的局考中不考. )所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数.既然我们说指数函数就是基本初等函数，所以我们

18、就来看一下指数函数:指数函数：一般地，函数y ax (a 0且a 1, x R)叫做指数函数在指数函数中我们要注意以下3点：【注意】1.在这个函数中，自变量 x出现在指数的位置上2 .底数a是一个大于0且不等于1的常量.3 .指数函数的形式必须是纯粹的 .【教师备案】1.指数函数中为什么规定底数 a 0且a 1?(1若a 0 ,则对于x的某些数值，可使ax无意义.如 2 x,当x，L等等，2 4在实数范围内函数无意义(1若a 0,则当x 0时，ax 0;当x<0时，ax无意义(1若a 1,则对于任何x R, ax是一个常量1,没有研究的必要性为了避免上述各种情况，所以规定a 0且a 1,

19、这样对于任何x R, ax都有意义2.为什么函数的形式必须是纯粹的，不能为y baxq c (其中q,b,c是常数，a 0且a 1) ?紧扣指数函数的定义来分析 .指数函数的定义：一般地，函数 y ax (a 0且a 1, x R)叫做指数函 数则指数函数的解析式 y ax中ax的系数是1且指数位置仅有自变量 x ,而函数y baxq c的解析式 不符合指数函数解析式的这些特征， 故不是指数函数.例如，2x 1, 2x 1 , 3 2x都不是指数函数，但2：x V1是指数函数，因为2x 123 了 .例3主要就是判【教师备案】老师在讲完指数函数并给学生强调指数函数应该注意的问题后就可以让学生做

20、例 断是否为指数函数和如果是指数函数求参数的值【例3】经典精讲*指出下列函数中哪些是指数函数y6x;y x4；y4x；y4 x；y 2 8x ； (l)y4x2 ；x1y 2a 1(a 且a 1, a为常数)2函数y m 3x ( m是常数)是指数函数，则 m 青香函数y 2ax1 (a是常数)是指数函数，则 a .【解析】，1(D(Dm 1;a 一2现在我们已经知道了什么是指数函数，那指数函数的图象又怎么画呢？所以接下来我们来看一下指数函数的图象:考点4:指数函数的图象与性质9亨尔喻佛教育口* *+，中*4一一 并且为了建立更直观的感觉，可以让学生自己动手画函数的图象，如:先画f x2x,x

21、3210123f x1814121248从这个图象上 让学生体会指 数函数的增长 速度特别快. 老师可以举个例子，如在讲义开始的那个象棋问题，刚开始第1个格子放1粒麦子，到第64格就放了 2 63粒麦子，总共所有的格一共放了 264 1 1.6 1019粒麦子，可见增长的速度相当快；如果学生认为264这个数不大，老师可以再举个汉诺塔的例子，一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法

22、则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片 上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声 霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序.这需要多少次移动呢？这里需要递推的方法.假设有n片，移动次数是f n .显然f 1 1, f 2 3, f 3 7,L .此后不难证明f n 2n 1.n 64时，f 64 264 1 18446744073709551615，假如每秒钟移动一次，共需多长时间呢？ 一个平年365天有31536

23、000秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，1844674407370955161531556952 584554049253.855年.这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年.真的过了 5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.所以说264是个很庞大的数，所以我们会发现这条曲线后面的增长会越来越快.并且从图象上看出函数的定义域为R，值域为 0 ,且过定点 0,1.卓尔嗡佛教育中国领先的个性化教育品牌让学生再画一个g x 3xx3210123f

24、 x1814121248g x127191313927由的结 则图象应该则么个图象.可以发现，当a 1时, 轴越远比较这两a越大，第一象限图象离x论老师可以提问，若 0 a 1, 样？那我们可以先取个函数11x以作直线习:老师按照上面的方式讲完指数函数的图象之后，就可以让学生做下面的练x .1. 2. 练习1：如图若曲线G, C2, C3, C4是指数函数3x, J, , 0.7x的 5图象，则G, C2 , C3, C4分别代表哪个指数函数？ x【解析】由图象可以直接看出 C1:3x, C2:/, C3：0.7x, C4:- 或者也可 5x 1 ,则与四条曲线的交点就是指数函数的底数.【教师

25、备案】做完上边的练习之后，就可以进一步得出：所有的指数函数分为两类：a 1和0 a 1(1脂数函数的单调性：a 1时，是增函数；0 a 1时，是减函数，而且 a越大，第一象PM的图象离 x轴越远指数函数的奇偶性：非奇非偶【教师备案】老师在讲完指数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例4,例4主要考察指数函数的图象.例4与前边的练习一样，例 4主要考察讨论底数范围，例 4虽然乍看一眼有点难，卓尔嗡佛教育中国领先的个性化教育品牌经典精讲【例4】*曲线g, a, b, c, “函数fC2d但是读完题之后就比较简单J,尤其回完图象之后就更简单J的图象，判断V4ax a的图象大致是

26、(yCc三个数中的最小值，设 f(x) minb, c表示a1的大小关系ax 与 g x2x旦 ZEC3, C4分别是指数函数y1 ax, y2x二用min (x>0),A. 4x 2, 10 xf(x)的最大值为(B. 5)C. 6D. 7【解析】(i)b a 1 d c.CC我们在上边的讲解中都一直在强调指数函数的图象,所以我们要在直观上认清图象,比如：根据图象要会求指数函数在不同区间上的值域问题，即例 题，即例5:5,根据图象要能够判断两个哥的大小，即例6.下面我们先来看一下区间上的值域问考点5:区间上的值域问题【例5】*已知函数f(x)2x*已知函数g(x)当x当x当xx时，函数

27、值域为2时，函数值域为(1陷当x当x时，函数值域为,1时，函数值域为时，函数值域为 时，函数值域为1一33。，9卜面我们再来看一下骞的比较大小:考点6:哥的比较大小如果给咱们两个哥，比如 31与32,这时你肯定知道谁大谁小，但是你并不是根据指数函数得出的，那对于一个13小 厢申#/中 修一 一中国领先的个性化教育品牌般的骞我们应该如何比较大小呢？老师就可以把下边的铺垫给学生讲解一下,并由铺垫得出对于底相同指不同应该如何比较大小，对于底不同指相同应该如何比较大小，对于底、指都不相同又应该如何比较大小可以让学生自己做一下例 6 了.【铺垫】比较下列各题中两个值的大小.讲完铺垫以后，就33 0.6；

28、3 01 兀 0.5；0.5 0.5兀3 0.53 0.53 0.60.5兀 0.50.5兀15【方法总结】哥的大小比较的方法比较大小常用方法有： 比差（商）法：函数单调性法； 中间值法：要比较 A与B的大小，先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小.在比较两个哥的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：对于底数相同，指数不同的两个哥的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断.对于底数不同，指数相同的两个哥的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断或第8讲中募函数的单调性来判断.对于底数不同，且指数也不同的哥的大小比较，则应通过中间值来比较.对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可.【例6】 *比较下列各题中两个值的大小:2.530.1 1.7 , 1.7 ； 0.8:233 52 5