2幂的运算复习

1、学科教师辅导讲义学生姓名 辅导科目 辅导内容 教学目标年级：七数学幕的运算章节复习课时数：3 辅导教师： 辅导日期：111 .了解哥的乘方、哥的乘法的含义，并掌握其运用法则2 .通过同底数哥的运算，进一步理解哥的运算实质3 .运用同底数哥的除法运算法则，熟练、准确地进行计算4 .强化计算能力【同步知识梳理】1 .计算a5&3的结果是（2.A. a8B.5 .20053a15C.8aD. a2A. 1C.3 .下列计算错误的是（A. 5a3- a3=4a3B.(a2b) 3=a6b3C. (a-b) 3 (b-a) 2= (a-b) 5D. 2m?3n = 6m+n4.某细胞的直径约为0

2、.0000008米，该直径用科学记数法表示为（A. 0.8 10 5米B.80X10 7米C.8M0飞米D. 8M0 7米5 .下列运算正确的是（A. x2+x2= x4B.a2&3=a5C. (3x) 2D.(mn) 5 + (mn)4=mn46 . ( a _ b) 2 ( b - a) 3=A. ( b- a) 5 B. - ( b-a) 5 C.(a b)_，5D. - ( a- b) 57 .若 am+1 ?a2n 1 = a5, bn+2?D2n=b3,求 m+n 的值.8 .已知两个单项式二2%与-2a4bk是同类项，求2m?4n?3的值.9 .已知全国总人口约1.41

3、109人，若平均每人每天需要粮食0.5kg,则全国每天大约需要多少kg粮食？(结果用科学记数法表示)10 .已知 32m= a, 27n=b.求：(1) 34m 的值；(2) 33n 的值；(3) 34m6n 的值. 2答案：(1) a2 (2) b (3) ab& /【精题精练精讲】、*专题1:同底数哥的乘法例1 . (2018春?平南县期中)已知 xm=5, xn=7,求x2m+n的值.【分析】本题考查了同底数哥的乘法，解决本题的关键是熟记同底数哥的乘法法则.例2. (2017春?南京期中)我们规定：a? b=10aX10b,例如3? 4= 103X 104= 107,请解决以下问

4、题:(1)试求7? 8的值.(2)想一想(a+b) ? c与a? (b+c)相等吗？请明理由.【分析】(1)根据a? b= 10axi0b代入数据即可；(2)根据所给例子对应代入即可得到答案.变式训练：1. (2017春？林甸县校级月考)若 3x+1=27, 2x=4y 1,求x-y.【分析】首先化成同底数可得x+1 = 3, x= 2y-2,解方程可得x、y的值，进而可得答案.2. (2013?罗定市校级模拟)为了求1+2+22+23+22008 的值，可令 S= 1+2+22+23+22008,则 2S=2+22+23+24+22009,因此 2S- S= 22009- 1,所以 1+2+

5、22+23+22008= 22009- 1 仿照以上推理,计算 1+5+52+53+52009 的值.【分析】根据题目所给计算方法，令S= 1+5+52+53+52009,再两边同时乘以 5,求出5S,用5S-S,求出4s的值，进而求出 S的值.3,已知 2a?5b=2c?5d=10,求证：(a1) (d 1) = ( b1) (cT).【分析】由2a?5b=10,首先把10转化为2X5的形式，据同底数哥的除法，底数不变指数相减可以得到一个关于指数ab等于1的等式，根据等式乘方原则等式两边同时乘方d-1等式仍成立；同理可得到一个关于指数c、d的等于1等式，根据等式乘方原则等式两边同时乘方b-

6、1等式仍成立.两个等式联立相等，即可得到结论.专题2:哥的乘方与积的乘方例1. (2017春?盐都区月考)已知 am=2, an=4,求下列各式的值(1) am+n3m+ c3m+2n(2) a【分析】（1）利用同底数哥的乘法运算法则求出即可;(3) 利用同底数哥的乘法运算法则结合哥的乘方运算法则求出即可.例2 . （2016秋?麻城市校级月考）已知【分析】想办法证明 ab= a+b即可.答案：1变式训练：1. （2015秋？潮南区月考）已知2a=m, 32b=n, a, b为正整数，求23a+10b的值.【分析】根据哥的乘方和积的乘方、同底数哥的乘法等运算法则求解.2. （2014春？无锡期

7、中）已知9n+1-32n=72,求n的值.【分析】由于72=9X8,而9n+1-32n=9nX8,所以9n=9,从而得出n的值.3. （ 2013春？太仓市期中）基本事实：若 am=an （a>0且aw1, m、n是正整数），则 m = n.试利用上述基本事实分另求下列各方程中x的值: 2X8x=27; 2x+1x 3x+1 = 36x 2; 2x+2+2x+1 = 24.【分析】先化为同底数塞相乘，再根据指数相等列出方程求解即可；先逆运用积的乘方的性质以及哥的乘方的性质，然后根据指数相等列式计算即可得解;先把2x+2化为2X 2x+1,然后求出2x+1的值为8,再进行计算即可得解.专题

8、3:同底数届的除法菁优网版权所有例1. (2016春?扬州校级期中)已知 3m=2, 3n=5,(1)求32m的值；(2)求33mn的值.【分析】(1)先将32m变形为(3m) 2,再带入求解；(2)将33mn变形为(3m) 3+3n,带入求解即可.例2. (2016春?定陶县期中)(1) 一个角的余角与这个角的补角的和比平角的彳"多1°，求这个角的度数.(2)已知 5m=2, 5n=3,求 53m 2n.【分析】(1)设这个角为x,根据题意列出关于 x的方程，求出方程的解即可得到结果；(2)原式利用哥的乘方及同底数哥的除法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值.变式训练：

9、1. (2016 春？关B州校级月考)已知常数a、b 满足3a?3b=27,且(5a)2?(5b)2+( 125a)b= 1,求 a2+b2的值.【分析】直接利用同底数哥的乘法运算法则以及结合哥的乘方运算法则以及同底数哥的除法运算法则得出a+b以及ab的值进而得出答案.2. ( 2011春？扬州校级期中)(1)若3x=4, 3y=6,求9"427、”的值.(2)若 26=a2=4b,求 a+b 值.【分析】(1)利用同底数哥的除法与哥的乘方的知识，即可将原式化为：(3x) 4+ (3y) 2+ (3x) 3+(3y) 3,将3x= 4, 3y =6代入，即可求得答案；(2)由26=

10、( 23) 2= 82, 26= ( 22) 3= 43, 26=a2=4b,即可求得a与b的值，继而求得答案.3. ( 1)若33?9m+4-272m 1的值为729,试求m的值；(2)已知 3m=4, 3m 4n=求 2008n 的值.81【分析】(1)由33?9m+4 + 272m1的值为729,易得3+2 (m+4) - 3 (2m-1) =6,继而求得答案;(2)由3m = 4, 3m 4n=-,易得34n=81 = 34,继而求得n= 1 ,则可求得2008n的值.专题4:零指数哥与负整数指数哥例1 .计算：(1)(二)2? ( l 3.14) 0;(2) 27X9n+3n-1;(

11、3) (a2b3) 4+ ( - a) 8? (- b4) 3;(4) (a?am+1) 2 - (a2) m+3+a2.【分析】(1)根据负整数指数次哥等于正整数指数次哥的倒数，任何非零数的零指数次哥等于1进行计算即可得解；(2)都转化为以3为底数的哥的运算，再根据同底数塞相乘，底数不变指数相加，同底数塞相除，底数不变指数相减进行计算即可得解；(3)根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的哥相乘进行计算即可得解；(4)根据积的乘方的性质和哥的乘方的性质以及同底数哥相除，底数不变指数相减进行计算即可得解.例2. (2015秋?厦门期末)已知 a是大于1的实数，且有a3+a 3=p

12、, a3-a3=q成立.(1)若 p+q = 4,求 p q 的值;(2)当【分析】-2 (n>1,且n是整数)时，比较q2=)的大小，并说明理由.(1)根据已知条件可得 a3=2,代入可求p-q的值;n=1时；当n=2时；当n>3时进行(2)根据作差法得到p- (a3+L) =2 n-,分三种情况：当44讨论即可求解.答案:(1) p-q=1 (2) n=1 , p>a3+-ya3+-y4 , n=2,p=4 ,n» 3,变式训练：1 .计算：(1) , -V七)(2) - 2 2+|-+1-3 1+ ( L 3.14)2 1 x【分析】(1)根据同底数哥的乘法法

13、则、负整数指数哥和整式的除法法则计算即可求解；(2)先计算负整数指数哥，零指数哥，再根据分数的加减法则计算即可.2.（2013秋？晋江市校级期中）3y+|-2|卜(-3)°-e)T.【分析】首先计算乘方，去掉绝对值符号，然后进行加减计算即可.3. （ 2001?泰州）在形如ab= N的式子中，我们已经研究过两种情况:已知a和b,求N,这是乘方运算;已知b和N，求a,这是开方运算;现在我们研究第三种情况：已知a和N,求b,我们把这种运算叫做对数运算.定义：如果ab= N （a>0, awl, N>0）,则b叫做以a为底N的对数，记作b=logaN.r _ 口J_ I例如：求

14、 log28,因为 23=8,所以 10g28= 3;又比如log2e = -3 -（1）根据定义计算： 10g381=； 10g101=;如果 10gx16=4,那么 x=.（2）设 ax= M , ay= N,则 logaM = x, 1ogaN= y （a>0, aw1, M、N 均为正数），.ax?ay=ax+y, . ax+y= M?N . . logaMN =x+y,即 logaMN = logaM+logaN这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：logaM1M2M3Mn =（其中 M1、M2、M3、Mn均为正数，a>0, aw1）.（3）请你猜想：1力g

15、= （a>0, aw1, M、N均为正数）.4N【分析】阅读题目，明确对数的定义、积的对数和商的对数的运算法则，可逐步推出结果.答案：(1) 4,0,2(2) logaM1+logaM2+ logaM n (3) logaM - log aN专题5:科学计数法例1. （2019春？淮安期中）某种细菌的直径是0.00000058厘米，用科学记数法表示为 厘米.【分析】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aX10n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数哥，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.例2. （2018秋?延边州期末）随着人们对环境的重

16、视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯使现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.00000000034m,用科学记数法表示是 【分析】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为ax10n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数哥，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.变式训练：1. （2018秋？鸡东县期末）科学家发现一种病毒的直径为0.000104米，用科学记数法表示为 米.【分析】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aX10n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数哥，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

17、2. （ 2018秋？江门期末）一根头发的直径约为0.0000715米，该数用科学记数法表示为 .【分析】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为ax 10 n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数哥，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.3. （2018秋？澄海区期末）2015年诺贝尔生理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了一种病毒的长度约为0.00000456毫米，则数据 0.00000456用科学记数法表示为 .【分析】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为ax 10 n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数哥，指

18、数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.专题6:比较哥的大小1 .1.将（/） 1,（ 2）0,（ 3）2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的是（）A. ( 2)0(6)1(3)2B.(6)1(2)0( 3)2B. ( 3)2 ( 2)0(1)1D.(2)021 1(3)2Q) 16分析：分别根据零指数备，负整数指数哥和平方的运法则进行计算，再比较大小即可.2.比较大小：233 322.分析：根据哥的乘方的性质的逆用，把哥都转化成指数为11,然后根据底数的大小进行比较.变式训练：1.已知a=2 555, b=3 444, c=6 222,请用“>”把它们按从大到小的顺序连接

19、起来，并说明理由。分析：根据哥的乘方的性质的逆用，把哥都转化成指数为-111,然后根据底数的大小进行比较.2.已知2a=3, 2b=12, 2c=6,试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由.分析：根据同底数塞的除法得出2b攵a=4=2 2, 2b登c=2,推出b-a=2 , b-c=1 ,相加即可.3.比较大小:5554443 ,4,5333分析：由于3个哥的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111,所以逆用哥的乘方的运算性质，可将 3个哥都转化为指数是 111的哥的形式，然后只需比较它们的底数即可.333555444答案：534【能力拓展训练】1. （ 2007?双柏县

20、）阅读下列材料:一般地，n个相同的因数a相乘记为an.如2X2X2=23=8,此时，3叫做以2为底8的对数,记为log28 （即log28=3）. 一般地，若 an=b（2>0且21, b>0）,则n叫做以a为底b的对数， 记为logab （即logab=n）.如34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log381 （即log381 = 4）.（1）计算以下各对数的值:log24 =, log216 =, log264 =（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，10g24、10g216、log264之间又满足怎样的关系式;(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一

21、般性的结论吗？logaM+logaN =; (2>0且81金 1 , M >0, N>0)(4)根据哥的运算法则：an?am=an+m以及对数的含义证明上述结论.【分析】首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系.(1)根据对数的定义求解；(2)认真观察，不又t找到规律：4X16 = 64, 10g24+log2l6=log264;(3)由特殊到一般，得出结论：10gaM+10gaN= loga (MN);(4)首先可设1ogaM = bi, 1ogaN=b2,再根据哥的运算法则：an?am= an+m以及对数的含义证明结论.【解答】解：(1) 10g24=

22、2, 10g216=4, 10g264=6;(2) 4X16 = 64, 10g24+1og216=1og264;(3) 10gaM+10gaN=10ga (MN);(4)证明：设 10gaM = b1, 1ogaN=b2, 则 Ji=M,E = N,MN =b1+b2=1oga (MN)即 1ogaM+1ogaN = 1oga (MN).2. (2011春？大丰市校级月考)根据已知求值.(1)已知 3X9mX 27m= 316,求 m 的值.(2)已知 am=2, an=5,求 a2m3n 的值.(3)已知 2x+5y-3=0,求 4x?32y 的值.【分析】(1)利用哥的乘方和同底数哥的乘

23、法整理得出m的数值即可;(2)利用同底数哥的除法，改为除法算式计算即可；(1) 利用哥的乘方和同底数哥的乘法整理，进一步整体代入求得数值即可.【解答】解：(1) 3X 9mX27m=3X 32mx 33m=31+2m+3m=3165m+1 =16m= 3;(2) am=2, an=5,a2m 3n_ a2m_ a3n_ 22-3125(3) 2x+5y-3=0,2x+5y = 3,贝(J 4x?32y =22x?25y =22x+5y=23=8.【点评】此题考查同底数哥的乘法、哥的乘方的计算方法，根据式子的特点，灵活变形解决问题.3,已知x3=m, x (2015 春？苏州期末)记 M(1)=

24、 2, M(2)= ( 2) X ( 2) , M(3)= ( 2) X ( 2) X ( 2), M(n)=n个-2相乘(1)计算：M(5)+M(6)；(2)求 2M(2015) +M (2016)的值：(3)说明2M (n)与M(n+1)互为相反数.【分析】(1)根据M (n)=n个-2相乘，可得M(5), M(6),;根据有理数的加法，可得答案;(2)根据乘方的意义，可得 M(2015), M(2016),根据有理数的加法，可得答案；(3)根据乘方的意义，可得 M (n), M(n+1),根据有理数的加法，可得答案.【解答】解：(1) M +M(6)= ( 2) 5+ ( 2) 6= 3

25、2+64 = 32;(2) 2M(2015)+M(2016)= 2X ( 2) 2015+ ( 2) 2016= 一 ( 2) X ( 2) 2015+ ( 2)2016+ (- 2) 2016= 0;(3) 2M (n) +M(n+1)= ( 2) X (- 2) n+ (-2) n+1= - (- 2) n+1+ (- 2) n+1 = 0, .2M (n)与M(n+1)互为相反数.=n,用含有m、n的代数式表示x14以及x2.【分析】根据哥的乘方、同底数哥的乘法，可得x14;根据同底数哥白除法，可得x2.【解答】解：x14=x9?x5= ( x3) 3?x5= m3nx2= x5+ x3

26、= n + m= m【点评】本题考查了同底数哥的除法，利用哥的乘方、同底数哥的乘法是解题关键.13【点评】本题考查了同底数骞的乘法，利用了同底数骞的乘法，相反数的性质：互为相反数的和为零.【课后知识应用】1.卜列计算正确的是（）.A.B.15xC.20xD.2x62.2 5 ., a2的结果是（)3.4.5.6.A.0B. 2a7c 10C.2aD.c 102a卜列算式计算正确的是（A. a3 3C.)B.2nxD.27c3nx1可以写成3A. x下列计算中,23x3 3x2y3A. 2个)nB. x3nC. x xD.2n 1错误的个数是)6x6 5a5b56 781x y xB. 3个（西

27、宁）下列计算正确的是（A. a?s3=a3-17.化间：(1)( ab)310.1025a b2 3x)38 3 -x 278.直接写出结果:C. 4个D. 5个B. a4+a3=a1 3, 3 -a b =3.C._ 2(2) 3a(a237 =a2n 3n=3 a b ；10 11(2)x yD. (- ab) 2=a2b219若 2na,3n b,则 6n =91)501C; 浮3310.若2a 3,2b 5,2c 90 ,用a , b表示c可以表示为11.（杭州模拟）已知a=255, b=344, c=433, d=522,则这四个数从大到小排列顺序是12.若整数a、bc满足丝 27（n为偶数）（n为奇数）4.3nx4n nx ； x2n 1 2n2 nx13.若2x 5y 3 0,求 4x32y的值.14 .（吉州区期末）已知 ax= - 2, ay=3.求：（1） ax+y 的值；（2） a3x 的值；（3） a3x+2y 的值.,