2022年从不同角度谈解三角形

1、第 1 页，共 12 页1 课题从不同数学思想角度谈解三角形解三角形是近些年高考的热点，各省市的命题人在命题方向上标新立异，但是我们可以从不同的方向上来解析历年省市的真题、各地的模拟题，从而探索解三角形的热点命题规律，进一步的提升对该知识点的解题能力。角度一：转化与化归思想i 转化与化归思想方法在研究、解决数学问题中，当思维受阻时考虑寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式利用正、余弦定理，通过“边化角、角化边、切化弦等”的角度对问题进行转化，转化为熟悉的三角恒等变换、三角函数、平面向量等问题，再进行求

2、解1在三角形abc 中，角 a、 b、c 所对的边分别为a、 b、c，已知 a23，c2 2，1tanatanb2cb，则 c 等于 ( ) a30b45c45或 135d 60【解析】 由 1tanatanb2cb和正弦定理，得cos asin bsin acos b2sin ccos a，即 sin c2sin ccos a，cos a60 由正弦定理，得2 3sin a22sin c，则 sin c22又 ca，c60 ，故 c45 【答案】 选 c 2在三角形abc 中，内角a、b、c 所对的边分别为a、b、c，且 a2b2c23bc若 a3，s为 abc 的面积，则s3cos bco

3、s c 的最大值为 ( ) a3 b2 c2 d3 【解析】 由 cos ab2c2a22bc3bc2bc32，a56，又 a3，故 s12bcsin a12asin bsin a asin c3sin bsin c，因此 s3cos bcos c3sin bsin c3cos bcos c3cos (bc)，于是当b c 时取得最大值 3 【答案】 选 a 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页2 3 已知三角形abc 的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角

4、是最小内角的2 倍，则最小内角的余弦值为 ( ) a34b56c710d23【解析】 依题意，不妨设三边长am1，bm，cm1，其中 m 2，mn，则有 c2a， sin csin 2a2sin acos a，由正、余弦定理得c2ab2c2a22bc，则 bc2a(b2c2a2)，于是 m(m 1)2(m1)(m24m)，解得 m5，故 cos ab2c2a22bc52 62 422 5 634 【答案】 选 a 4在锐角三角形abc 中，角 a、b、c 所对的边分别为a、b、c，baab6cos c，则tanctanatanctanb的值是【解析】 由baab6cos c，得 b2a26ab

5、cos c.化简整理得2(a2b2)3c2，将tan ctan atan ctan b切化弦，得sin ccos c (cos asin acos bsin b)sin ccos c(ab)sin asin bsin ccos csin csin asin bsin2ccos csin asin b. 根据正、余弦定理得sin2ccos csin asin bc2aba2b2c22ab2c2a2 b2c22c232c2c24. 【答案】 4 5在 abc 中， b60 ，ac3，则 ab2bc 的最大值为 _ 【解析】 由正弦定理知absin c3sin 60bcsin a，ab 2sin c

6、， bc2sin a又 ac120 ，ab2bc2sin c 4sin(120 c)2(sin c2sin 120 cos c2cos 120 sin c) 2(sin c3cos csin c)2(2sin c3cos c)2 7sin(c )，其中 tan 32，是第一象限角，由于0 c120 ，且 是第一象限角，因此 ab2bc 有最大值2 7. 【答案】 2 7 6在 abc 中，内角a， b，c 所对的边长分别为a， b，c，已知 tan4a 2(1)求sin 2asin 2acos2a的值；(2)若 b4，a 3，求 abc 的面积【解】 (1)由 tan4 a 2，得 tan a

7、13，sin2asin2a cos2a2tan a2tan a 125精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页3 (2)由 tan a13，a(0， )，得 sin a1010，cos a3 1010又由 a3，b4及正弦定理asin absin b，得 b3 5 由 sin csin (ab)sin (a4)，得 sin c2 55则abc 的面积 s12absin c 9【变式 11】 钝角三角形的三边长为a， a1， a2， 其最大角不超过120，则 a 的

8、取值范围是( ) a0 a3b32a3c2 a3 d 1a52【解析】 因为 a，a1，a2 为钝角三角形的三边长，a a1a2，则 a 1由大边对大角可知，边长为a2 的边对应的角 最大，由余弦定理得cos a2(a1)2(a 2)22a(a1)(0，12)，得32 a3 【答案】 选 b 【变式 12】 若满足条件c60 ， ab3， bca 的三角形abc 有两个，那么 a 的取值范围是( ) a(1，2) b(2，3) c(3，2) d (1，2) 【解析】 因为 c60 ，ab3，由正弦定理，得absin cbcsin a2，a 2 sin a，又 ab120 ，且三角形有两解，60

9、 a120 ，且 a 90 ，即32 sin a1，得3a2 【答案】 选 c 【变式 13】在 abc 中，角 a，b，c 的对边分别为a，b，c，且 2cos2ab2cos bsin(ab)sin bcos(a c)35. (1)求 cos a 的值；(2)若 a42， b5，求向量ba在bc方向上的投影【解】 (1)由 2cos2ab2cos b sin(ab)sin bcos(ac)35，得cos(ab)1cos bsin(a b)sin bcos b35，即 cos(ab)cos bsin(ab)sin b35. 则 cos(abb)35，即 cos a35. 精品学习资料 可选择p

10、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页4 (2)由 cos a35，0a ，得 sin a45，由正弦定理，有asin absin b，所以 sin bbsin aa22. 由题知 ab，则 ab，故 b4. 根据余弦定理，有(42)252c22 5c35，解得 c1 或 c 7(舍去 )故向量ba在bc方向上的投影为|ba|cos b22. 角度二：函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的

11、条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式 (组 )来使问题获解 有时， 还通过函数与方程的互相转化、接轨， 达到解决问题的目的1在 abc 中，角 a，b，c 所对的边长分别为a，b，c，且满足csin a3acos c，则 sin asin b的最大值是 () a1b2c3d 3 【解析】 由 csin a3acos c，得 sin csin a3sin acos c，在 abc 中 sin a0 ，所以 sin c3cos c，tan c3， c (0， )， 则 c3. 所以 sin a sin bsin asin3a 32sin a32co

12、s a3sin a6，a 0，23，所以当a3时， sin asin b 取得最大值3 【答案】 选 c 2在abc 中， d 为 bc 边上一点， dc2bd，ad2， adc 45，若 ac2ab，则 bd 等于( ) a23 b4 c25 d 35 【解析】 在adc 中， ac2ad2dc22ad dc cos 45 2dc222 dc 222dc22dc；在abd 中， ab2bd2ad22bd ad cos 135 bd222 2 bd 222 (2bd22bd)，整理得 bd24bd10，解得 bd25或 25(舍去 ) 【答案】 选 c 3在三角形abc 中， 2sin2 a2

13、3sin a，sin (b c)2cos bsin c，则acab精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页5 【解析】 2sin2 a23sin a? 1 cos a3sin a? sin (a6)12因为 0a ，6a676，则 a656，所以 a23再由余弦定理，得a2b2c2bc， ；将 sin (bc)2cos bsin c 展开得 sin bcos c3cos bsin c，将其角化边， 得 ba2b2c22abca2c2b22ac，即 2b22c2a2

14、，；将代入 ，得 b2 3c2bc0，左右两边同除以c2，得bc2bc30，解得bc1132或bc1132(舍去 )，acabbc1132 【答案】11324在 abc 中，角 a，b，c 所对的边长分别为a，b，c，已知 bcos c3bsin cac0(1)求 b；(2)若 b3，求 2ac 的取值范围【解】 (1)由正弦定理知sin bcos c3sin bsin csin asin c0，将 sin asin (bc)sin bcos ccos bsin c 代入上式，得3sin bsin ccos bsin csin c0，在abc 中， sin c0 ，则3sin b cos b1

15、0，即 sin b612又 0b ，则 b3(2)由 (1)得bsin basin acsin c 2，2ac4sin a2sin c4sin a2sin (23a)5sin a3cos a27sin(a )，其中 tan 35，是第一象限角，由于 0 a120 ，且 是第一象限角，2 7sin(a )(3，2 7 因此 2ac的取值范围为(3，27 5凸四边形p abq 中，其中a、b 为定点， ab3，p、q 为动点，满足appqqb1(1)写出 cos a 与 cos q 的关系式；(2)设三角形pab 和三角形pqb 的面积分别为s和 t，求 s2t2的最大值【解】 (1)在 p ab

16、 中，由余弦定理知pb2pa2ab22pa ab cos a42 3cos a，同理，在 pqb 中 pb222cos q， 423cos a2 2cos q， cos q3cos a1 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页6 (2)由已知得， s12p a absin a32sin a，t12pq qb sin q，s2t234sin2a14sin2q34(1cos2a)34(1cos2q) 32cos2a32cos a3432cosa36278，当 cos

17、 a76时， s2t2有最大值为78【变式 2-1】已知 abc 的三内角a， b，c 所对的边分别是a，b，c，向量 m(sin b,1cos b)与向量 n(2,0)的夹角 的余弦值为12(1)求角 b 的大小；(2)若 b3，求 ac 的范围【解】 (1) m(sin b,1cos b)，n(2,0)， m n2sin b，又|m|sin2b 1cos b222cos b2 sin b2， 0b ， 0b22， sin b20， |m|2sin b2. 而|n|2， cos m n|m|n|2sin b4sin b2cos b212，b23， b23. (2) 由(1)得bsin bas

18、in acsin c2，且 ac3ac2sin a2sin c 2sin a 2sin (3a)sin a3cos a2sin (a3)，又 0a3，所以3 a323， 所以32sin a3 1，所以3 2sin a3 2，即 a c 的取值范围为 (3，2. 【变式 22】设abc 的三内角 a，b，c 所对的边分别是a，b，c， abtan a，且 b 为钝角(1)证明： ba2；(2)求 sin asin c 的取值范围【证明】 (1)由 abtan a及正弦定理得sin acos aabsin asin b，所以 sin bcos a，即 sin bsin 2a，又 b 为钝角，则2a

19、(2，)，故 ba2，即 ba2. 【解】 (2)由 (1)可知 c (ab) (2a2)22a0，故 a(0，4). 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页7 则 sin asin csin asin 222a sin acos 2a 2sin2asin a1 0a4，故 0sin a，因此22 2 sina1429898由此可知sin asin c 的取值范围是22，98【变式 23】 已知圆 o 的半径为 r(r 为常数 )， 它的内接 abc 满足 2r

20、(sin2 asin2c)(2ab)sin b，其中 a，b， c 分别为角a，b，c 的对边，求abc 面积的最大值【解】 由正弦定理得a2c2b(2ab)，即 a2b2c22ab由余弦定理得cos ca2b2c22ab22，则 c4则 s 12absin c12 2rsin a 2rsin b sin 42r2sin asin b又 ab34，即 b34a则 s2r2sin asin b2r2sin asin (34 a)r2(sin2asin acos a) r2 22sin (2a4)12 又 0a34，则42a454则当 2a42，即 ab38时， abc 面积的最大值为smax12

21、2r2角度三：数形结合思想所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来，也是将抽象思维与形象思维有机地结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题形象化，有助于把握数学问题的本质它是数学的规律性与灵活性的有机结合1在三角形abc 中，已知ab 12， acb 的平分线cd 把三角形分成面积为32 的两部分，则 cos a 等于 ( ) a13b12c34d 0 【解析】 如图，sacdsbcd32addb，b2a，acd bcd，设 ad3k，bd2k (k0)，精品学

22、习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页8 在acd 中，由正弦定理得cdsin a3ksinacd， ；在bcd 中，由正弦定理得cdsin b2ksinbcd2ksinacd，即cd2sin acos a2ksin acd，；由 得 2cos a32，即 cos a34 【答案】 选 c 2在扇形 aob 中，圆心角 aob 等于 60，半径为2，在弧 ab 上有一动点p，过点 p 引平行于ob的直线交 oa 于点 c，设 aop ，则三角形poc 面积取最大值时的

23、值为【解析】 如图， cp/ob， cpopob60 ，ocp120 ，在poc 中，由正弦定理得opsin pcocpsin ，2sin120 cpsin ， cp43sin ，又ocsin(60 )2sin120 ， oc43sin(60 )，三角形 poc 面积为 s( )12cp ocsin120 1243sin 43sin(60 ) 3243sin sin(60 )43sin (32cos 12sin )43sin(2 30 )12， (0 ，60 )， 2 30 (30 ，150 )，当 30时， s( )取得最大值为33 【答案】 30【变式 31】 在三角形 abc 中， c9

24、0， m 是 bc 的中点 若 sinbam13， 则 sinbac【解析】 如图，设 acb，abc，bca，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页9 在abm 中，由正弦定理得12asin bamcsin bma，；因为 sin bmasin cmaacam，又 acbc2a2，amb214a2c234a2 sin bmac2a2c234a2，又由得12a13cc2a2c234a2，两边平方化简得4c412a2c29a4 0， 2c23a20，则 sin b

25、acac63 【答案】63【变式 32】abc 中， d 是 bc 上的点， ad 平分 abc， abd 面积是 adc 面积的 2 倍(1)求sin bsin c；(2)若 ad1，dc22，求 bd 和 ac 的长【解】 (1)如图， s abd12ab adsinbad， sacd12ac ad sincad，sabd2 s acd，bad cad，ab 2ac，由正弦定理，得sinbsincacab12(2)sabdsacdbddc， bd2，在abd 和acd 中，由余弦定理得ab2ad2bd22 ad bd cosadb， ac2 ad2 dc22 ad dc cosadc，故

26、ab22ac23ad2bd22dc26，由(1)知 ab2ac， ac1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页10 角度四：分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能用同一标准、同一种运算、同一个定理或同一种方法去解决，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略分类讨论时应注意理解和掌握分类

27、的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类讨论”1在 abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为a，b，c，ac 3，sabc334. (1)求 b；(2)若 b2，求 abc 的周长【解】 (1)因为 sabc12acsin b，所以12 3sin b3 34，即 sin b32. 又因为 0b ，所以 b3或23. (2)由 (1)可知， b3或23，当 b3时，因为a2c2ac(ac)23ac2，ac3，所以 ac11；当 b23时，因为a2c2ac 2，ac3，所以 a2c2 1(舍去 )，所以 abc 的周长为acb112. 2在 abc 中，内角a，b，c 所对的边长分别是a，b，c. (1)若 c2，c3，且 abc 的面积为3，求 a，b 的值；(2)若 sin csin(ba)sin 2a，试判断 abc 的形状【解】 (1) c2，c3， 由余弦定理c2a2b22abcos c 得 a2b2ab4. 又 abc 的面积为3，12absin c3，ab4. 联立方程组a2b2ab4，ab 4，解得 a2， b2. (2)由 sin csin(ba)sin 2a，得 sin(ab)sin(ba)2sin acos a，即 2sin bcos a2sin