2020与名师对话直线、平面平行的判定及性质

1、第四节直线、平面平行的判定及性质高考概览： 1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、 面面平行的有关性质与判定定理， 并能够证明相关性质定理； 2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题 知识梳理 1直线与平面平行12平面与平面平行2辨识巧记 两个技巧利用直线与平面平行的判定定理判定线面平行，即找平面内的直线与已知直线平行一般有两种方法：(1)中心投影法即找到中心投影点向平面内作投影(2)平行投影法3找到两条平行光线AC，BD，找到 AB 在平面 内的投影为 CD. 双基自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“&

2、#215;”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 ()(2)若直线 a平面 ，P，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条 ()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 () 答案 (1)×(2)×(3)×(4)2若直线 m? 平面 ，则条件甲：“直线l”是条件乙：“ lm”的 ()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件 解析 若 l，则 l m 或 l 与 m 异面；若 lm，则 l 或 l? ，故“

3、直线 l”是“lm”的既不充分也不必要条件故选 D.答案D3若 P 为异面直线 a，b 外一点，则过 P 且与 a，b 均平行的平面()A 不存在B零个或一个4C可以有两个D有无数多个 解析 若 P 点与直线 a(或 b)确定的平面与直线b(或 a)平行，则符合条件的平面不存在；否则，符合条件的平面有一个故选B.答案B4(必修 2P61A 组 T1(1) 改编 )下列命题中正确的是 ()A 若 a，b 是两条直线，且ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面B若直线 a 和平面 满足 a ，那么 a 与 内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线 a，b 和平面 满足 ab，a

4、，b?，则 b 解析 对于选项 A ，a 可以在平面内， 故 A 错误；对于选项 B， a 与 内的直线平行或异面，故 B 错误；对于选项 C，两平面也可以相交，故 C 错误，对于选项 D，ab，a，b? ，则 b，正确，故选 D.答案D5(必修 2P56 练习 T2)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系为 _ 解析 连接 BD 交 AC 于 O，连接 EO，则 O 为 BD 中点因为 E 为 DD1 中点，所以 OEBD1.又因为 BD1?平面 ACE，OE? 平面 ACE，所以 BD1平面ACE.5答案 平行考点一平行关

5、系的判断【例 1】(1)(2019 重·庆六校联考 )设 a，b 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，则的一个充分条件是 ()A 存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a? ，a C存在两条平行直线a，b，a? ，b? ，a，bD存在两条异面直线a，b，a? ，b? ，a，b(2)设 m，n 表示不同直线， ，表示不同平面，则下列结论中正确的是()A 若 m，mn，则 nB若 m? ，n? ，m，n，则 C若 ，m，mn，则 nD若 ， m，nm，n?，则 n 解析 (1)对于选项 A，若存在一条直线 a，a， a，则 或 与 相交，若 ，则存在一条直线 a，使得 a，a，所以

6、选项 A 的内容是 的一个必要条件；同理，选项 B，C 的内容也是 的一个必要条件而不是充分条件； 对于选项 D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有 ，所以选项6D 的内容是 的一个充分条件故选D.(2)A 错误， n 有可能在平面 内；B 错误，平面 有可能与平面相交；C 错误，n 也有可能在平面 内；D 正确，易知 m或 m? ，若 m? ，又 nm，n?，n，若 m，过 m 作平面 交平面 于直线 l ，则 ml，又 nm，nl，又 n?，l? ，n.故选 D. 答案 (1)D (2)D平行关系判断问题的3 个注意点(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线

7、面平行的判定定理中线在面外的条件易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确对点训练 1设 ，是两个不同的平面， m 是直线且 m? .“m”是“ ”的 ()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 解析 若 m? 且 m，则平面 与平面 不一定平行，有可能相交；而 m? 且 一定可以推出 m，所以 “m”是“ ”的必要而不充分条件故选B.答案B72设互不相同的直线 l，m，n 和平面 ，给出下列三个命题：若 l 与 m 为异面直线， l? ，m? ，则 ；若 ，l? ，m? ，则 lm；若 l ，m，n，l，则

8、m n.其中真命题的个数为 _ 解析 中 与 可能相交，故错；中l 与 m 可能异面，故错；由线面平行的性质定理可知，lm，ln，所以 mn，故正确答案1考点二直线与平面平行的判定和性质1【例 2】 如图，四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABBC2AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点， AC 与 BE 交于 O 点， G 是线段 OF 上一点(1)求证： AP平面 BEF；(2)求证： GH平面 PAD.证明四边形 ABCEO、F分别为 思路引导 (1) FOPA为平行四边形AC、PC中点 结论8FHPD FH面PAD(2) 由已知 OHAD OH面PAD面PAD面OHF

9、GH面PAD 证明 (1)连接 EC，1ADBC，BC2AD，BC 綊 AE，四边形 ABCE 是平行四边形，O 为 AC 的中点又F 是 PC 的中点，FOAP，FO? 平面 BEF，AP?平面 BEF，AP平面BEF.(2)连接 FH，OH，F，H 分别是 PC，CD 的中点，FHPD，FH?平面 PAD，PD? 平面 PAD，FH平面PAD.又O 是 BE 的中点， H 是 CD 的中点，OHAD，OH?平面 PAD，AD? 平面 PAD，OH平面PAD.又 FHOHH，9平面OHF平面PAD.又GH? 平面 OHF，GH平面PAD.证明线面平行的3 种方法(1)线面平行的定义：一般用反

10、证法(2)线面平行的判定定理： 关键是在平面内找 (或作 )一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程(3)面面平行的性质定理：两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面对点训练 如图，三棱柱 ABCA1B1C1，底面为正三角形，侧棱 A1A底面ABC，点 E、F 分别是棱 CC1、BB1 上的点，点 M 是线段 AC 上的动点， EC2FB.10图 1当点 M 在何位置时， BM平面AEF? 解 解法一：如图 1，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OMAC 于点 M.侧棱A1A底面ABC，侧面A1ACC1底面ABC，OM 底面ABC.1又EC2FB，

11、OM FB 綊2EC，四边形 OMBF 为矩形，BMOF，又OF? 平面 AEF，BM?平面 AEF.故 BM平面AEF，此时点 M 为 AC 的中点图 2解法二：如图 2，取 EC 的中点 P，AC 的中点 Q，连接 PQ、PB、11BQ， PQAE.EC2FB， PE 綊 BF，PBEF，又 PQ?平面 AEF，AE? 平面 AEF，PB?平面 AEF，EF? 平面 AEF. PQ平面 AEF，PB平面 AEF.又 PQPBP，平面 PBQ平面 AEF，又 BQ? 平面 PQB， BQ平面 AEF.故点 Q 即为所求的点 M，此时点 M 为 AC 的中点考点三平面与平面平行的判定和性质【例

12、 3】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.由G、H分别是 思 路 引 导 (1) GHB1C1 GHBCA1B1，A1C1的中点 得结论12EFBC EF面BCHG面EFA1(2)A1EBG A1E面BCHG面BCHG 证明 (1)G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，GH 是A1B1C1 的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H， G 四点共面(2)E，F 分别是 AB，AC 的中点，EFBC.EF?平面 BCHG，BC?

13、平面 BCHG，EF平面BCHG.A1G 綊 EB，四边形 A1EBG 是平行四边形， A1EGB.A1E?平面 BCHG，GB? 平面 BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG. 拓展探究 在本例条件下， 若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明 13如图所示，连接A1C 交 AC1 于点 M ，四边形 A1ACC1 是平行四边形，M 是 A1C 的中点，连接 MD ，D 为 BC 的中点，A1BDM .A1B? 平面 A1BD1，DM?平面 A1BD1，DM 平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1 綊 BD，

14、四边形 BDC1D1 为平行四边形，DC1BD1.又 DC1?平面 A1BD1，BD1? 平面 A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1、DM? 平面 AC1D，平面A1BD1平面AC1D.证明面面平行的4 种方法(1)面面平行的定义 (不常用 )(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平14行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行对点训练 (2019 ·河南许昌三校第三次考试 )如图所示，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形， M，N，G 分别是

15、AB，AD，EF 的中点求证：(1)BE平面 DMF ；(2)平面 BDE平面 MNG. 证明 (1)如图所示，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线，所以 BEMO.因为 BE?平面 DMF ，MO? 平面 DMF ，所以 BE平面DMF .(2)因为 N，G 分别为平行四边形ADEF 的边 AD，EF 的中点，15所以 DEGN.因为 DE?平面 MNG，GN? 平面 MNG，所以 DE平面MNG.因为 M 为 AB 的中点，所以MN 为ABD 的中位线，所以BDMN.因为 BD?平面 MNG，MN? 平面 MNG，所以 BD平面M

16、NG.因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，所以平面 BDE平面MNG.课后跟踪训练 (四十七 )基础巩固练一、选择题1(2018 ·黑龙江大庆月考 )有以下三种说法， 其中正确的是 ( ) 若直线 a 与平面 相交，则 内不存在与 a 平行的直线；若直线 b平面 ，直线 a 与直线 b 垂直，则直线 a 不可能与平行；直线 a，b 满足 ab，则 a 平行于经过 b 的任何平面A BCD 解析 对于，若直线 a 与平面 相交，则 内不存在与 a 平行的直线，是真命题，故正确；对于，若直线 b平面，直线 a与直线 b 垂直，则直线 a 可能与 平行，故错误；对于，若

17、直线a，b 满足 ab，则直线 a 与直线 b 可能共面，故错误故选 D.答案D2(2019 ·辽宁丹东期末 )已知 m，n 是两条不同直线， ，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A 若 ，垂直于同一平面，则与 平行16B若 m，n 平行于同一平面，则m 与 n 平行C若 ，不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 解析 由于 ， 垂直于同一平面，则 与 平行或相交，利用正方体可判断，故 A 不正确；若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 可能平行、相交或异面，故 B 不正确；利用正方体中的侧面与底面，侧面的上底面的棱与下

18、底面的棱，能够找到平行线，所以C 不正确；D 正确故选 D.答案D3(2019 ·河北石家庄模拟 )过三棱柱 ABCA1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的直线共有 ()A4 条B6 条C8 条D12 条解析 如图， H，G，F，I 是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面 HGFI 中，有 FI ，FG，GH，HI，HF，GI 共 6 条直线，故选 B.答案B174(2019 ·湖南长沙二模 )已知 m，n 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A m，n，则 mnBmn，m，则 nCm，m，则 D，则 解

19、析 对于 A ，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A 不正确；对于 B，mn，m，则 n或 n? ，故 B 不正确；对于 C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C 正确；对于 D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故 D 不正确故选 C.答案C5(2017 ·全国卷 )如图，在下列四个正方体中， A，B 为正方体的两个顶点， M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ()18 解析 解法一：对于选项 B，如图所示，连接 CD，因为 AB CD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQCD，所以

20、ABMQ ，又AB?平面 MNQ，MQ? 平面 MNQ，所以 AB平面MNQ.同理可证选项C，D 中均有 AB平面MNQ.故选 A.解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示 )，连接 OQ，则 OQAB，因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行，故选 A.答案A二、填空题196(2019 ·广东顺德质检 )如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是一直角梯形， ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面 ABCD，E 为PC 的中点，则 BE 与平面 PAD 的位置关系为 _解析 取 PD 的中点 F，连接

21、 EF、AF，1在PCD 中， EF 綊2CD.又ABCD 且 CD2AB，EF 綊 AB，四边形 ABEF 是平行四边形， EBAF.又EB?平面 PAD，AF? 平面 PAD，BE平面PAD.答案 平行207(2018 ·湖南株洲调研 )如图所示， 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 为 CD 上一点若 EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于 _ 解析 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB2，AC2 2.又 E为 AD 中点，EF平面AB1C，EF? 平面 ADC，平面 ADC平面 AB1C1 AC，EFAC，F 为 DC

22、 中点，EF 2AC 2.答案28棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是棱 AA1 的中点，过 C，M，D1 作正方体的截面，则截面的面积是 _ 解析 由面面平行的性质知截面与面AB1 的交线 MN 是AA1B9的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为 2.9答案 2三、解答题9.21如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证： APGH. 证明 如图所示，连接AC 交 BD 于点 O，连接 MO，四边形 ABCD 是平行四边形，O

23、 是 AC 的中点，又 M 是 PC 的中点，APOM.又 MO? 平面 BMD，PA?平面 BMD，PA平面BMD .平面PAHG平面 BMD GH ，且 PA? 平面 PAHG，PAGH.10.22(2019 ·南通模拟 )如图所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，点 D， D1 分别为 AC，A1C1 上的点A D(1)当11 等于何值时， BC 平面 AB DAD(2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求 DC的值解(1)A1D1如图所示，取D1 为线段 A1C1 的中点，此时 D1C11.连接 A1B，交 AB1 于点 O，连接 OD 1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB

24、1 为平行四边形，点 O 为 A1B的中点在A1BC1 中，点 O，D1 分别为 A1B，A1C1 的中点，OD1BC1.又OD1? 平面 AB1D1，BC1?平面 AB1D1，23BC1平面AB1D1.当A1D11 时， BC1平面AB1D1.D1C1(2)由平面 BC1D平面AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1DBC1，平面A1BC1平面 AB，得A1D1A1O， ，1D1D1OBC1 D1OD1C1OB又由题(1)可知A1D1DC，A1ODC1，即AD1.D1C1ADOB1，DCAD能力提升练11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1 中，棱长为 a，M、N 分2a别为 A1B 和

25、 AC 上的点， A1MAN 3 ，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 ()A 相交B平行C垂直D不能确定2a 解析 连接 CD1、AD1，在 CD1 上取点 P，使 D1P 3 ，连接MP、NP，MPBC，PNAD1BC1，MP平面BB1C1C，PN平面BB1C1C，平面MNP平面BB1C1C，MN 平面BB1C1C.故选 B.24答案B12(2018 ·江西高安期末 )三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1 垂直于底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形， E 是 BC 的中点，则下列叙述正确的是 () CC1 与 B1E 是异面直线； AE 与

26、B1C1 是异面直线，且 AEB1C1； AC平面 ABB1A1； A1C1平面 AB1E.A BCD 解析 对于， CC1，B1E 都在平面 BB1C1C 内，故错误；对于， AE，B1C1 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形 ABC 是正三角形， E 是 BC 中点，所以 AEBC，又 B1C1BC，故25AE 与 B1C1 是异面直线，且 AEB1C1，故正确；对于，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC平面 ABB1A1，故错误；对于，A1C1 所在的平面与平面AB1E 相交，且A1C1 与交线有公共点，故错误故选 A.答案A13已知正方体 ABCDA1B1C1D1

27、的棱长为 1，点 P 是面 AA1D1D 的中心，点 Q 是 B1D1 上一点，且 PQ面 AB1，则线段 PQ 长为_解析 连接 AB1、AD1，点P 是平面 AA1D1D 的中心，点P 是 AD1 的中点，PQ平面AB1，PQ? 平面 D1AB1，平面 D1AB1平面 AB1AB1，PQAB1，12PQ2AB1 2 .26答案 2214如图所示，平面平面 ，点 A，点 C，点 B，点 D，点 E，F 分别在线段 AB，CD 上，且 AEEBCFFD.(1)求证： EF平面 ；(2)若 E，F 分别是 AB，CD 的中点， AC4，BD6，且 AC，BD 所成的角为 60°，求 EF 的长 解 (1)证明：当 AB，CD 在同一平面内时， 由平面 平面，平面 平面 ABDCAC，平面 平面 ABDCBD 知， ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又 EF?，BD? ，EF平面.当 AB 与 CD 异面时，如图所示，设平面ACD平面 DH ，且 DHAC，平面平面，平面 平面 ACDHAC，ACDH，四边形 ACDH 是平行四边形，在 AH 上取一点 G，使 AGGHCFFD，连接 EG，FG，BH.又AEEBCFFDAGGH，GFHD，EGBH.27又 EGGFG，BHH