高等数学9420522

1、一、一、链式法则链式法则证证),()(tttu 则则);()(tttv 定理定理 如果函数如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导具有连续偏导数， 则复合函数数， 则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t t可导，可导，且其导数可用下列公式计算：且其导数可用下列公式计算： ，获得增量获得增量设设tt dtdvvzdtduuzdtdz 4. 多元复合函数的微分多元复合函数的微分法法 z当当0 u，0 v时时，01 ，02 tz当当0 t时时: ,dtdutu ,dtdvtv tzdtdzt0lim由由于于

2、函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuz tvtutvvztuuz 21 .dtdvvzdtduuz 0 u，0 v 上定理的结论可推广到上定理的结论可推广到中间变量多于两个中间变量多于两个的情况的情况.如如: dtdzuvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz),(wvufz 则则),(),(),(twwtvvtuu dtdwwzdtdvvzdtduuz 上定理还可推广到上定理还可推广到中间变量中间变量不是一元函数而不是一元函数而是是多元函数多元函数的情况：的情况：),(vufz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点

3、都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且的偏导数，且),(vufz 在在对应点对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在点在点),(yx的两个偏导的两个偏导数存在，且数存在，且有有 xz yz).,(),(yxvyxu .yvvzyuuz ,xvvzxuuz uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv u,v,w 都都在在点点),(yx具具有有对对 x 和和 y 的的偏偏导导数数，f 的的偏偏 导导数数连连续续，则则复复合合函函数数 ),(),(),(yxwyxyxfz 在在点点)

4、,(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 zwvuyx类似地再推广类似地再推广: ),(yxu ),(yxv ).,(yxww 设设 ),(wvufz xz yzxwwzxvvzxuuz ywwzyvvzyuuz 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类

5、似 xz=1=0 xzxuuz 自变量自变量中间变量中间变量 xuuzxwwz xvvz例例 1 1 设设vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv veusin ),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv veusin ).cossin(vvxeu yveucos1 x veucos 1 例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解 dtdzv ttetettcossincos .cos)sin(costttet uz dtduvz dtdv tz teu )sin(t

6、tcos 例例 3 3 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. . 解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(uvuf ,),(2vuvuf 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvf 1f .2xyw xuuf;2fyz 1f 12f zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zuuf 1;1211fxyf zf2zuuf 2;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf zvvf 1zvvf 2.,)(

7、12xzfyxxfz可导，求可导，求 ).12()(122yxyxxffzx 练习题：练习题：,21xzffyw xyw2答：答： yzff1211 2f z yzffxz 2221. .) ), ,( () ), ,( () ), ,( () ), ,( (设设dxduxttx,thyx,ygzx,y,zfu求求例例4 4 解解：复合关系：复合关系：ufxyzhxtgxyhxtxtxt) )( () )( (zfyfxfdxdu dxdtthxh ) )( (dxdtthxhygxg zfyfxf dxdtthyfxh dxdtthygzfxhygzfxg dxdydxdzdxdyygxg

8、又又当当 z=f(u,v), ),(yxu 、),(yxv 时时， 有有 dyyzdxxzdz . 二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有dvvzduuzdz ; dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的的函数，它的全微分形式是一样全微分形式是一样的的.zvu、vu、例例 5 5 已已知知02 zxyeze，求求xz 和和y

9、z . 解解, 0)2( zxyezed)( xydexy )()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexedz2 dzez , 0 1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）小小 结结设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题思考题解答思考题解答不

10、不相相同同. 等式左端的等式左端的z是作为一个自变量是作为一个自变量x的函数，的函数， 而等式右端最后一项而等式右端最后一项f是作为是作为xvu,的的 三元函数三元函数对对 x 求求偏偏导导， 一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. .2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .练练 习习 题题三、设三、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz

11、. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz . .七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .练习题答案练习题答案三、三、xxexxedxdz221)1( . .四、四、