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1、第十一节第十一节 反常积分反常积分 无界函数无界函数有界函数有界函数无限区间无限区间有限区间有限区间定积分定积分一、无限区间的积分一、无限区间的积分 .)(),(),)(存在存在积分积分则则设设 uadxxfauacxf定义定义1 1： .,)(,)(lim)(),)(),)(否则称发散否则称发散收敛收敛则称则称若右端极限存在若右端极限存在上的积分上的积分在在设设 auauadxxfdxxfdxxfaxfacxf类似地，我们可作如下一些定义：类似地，我们可作如下一些定义： 00)()()()(lim)(dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbuub例例1 1、求积分。、求积分。 dxxpdx

2、xepx2011)2()0( )1(例例2 2、 . 11的敛散性的敛散性讨论讨论dxxp ;)1(的极限的极限无穷限积分是变限积分无穷限积分是变限积分 aaxfdxxfln)()( :)2(积分公式积分公式无穷限积分的无穷限积分的.)()()(lim)()(lim)(lim: axuuauxfafxfafufdxxf左式左式推导推导二、无界函数的积分二、无界函数的积分 .)(,)(),)(存在存在无界无界的任何左邻域内的任何左邻域内在在而而设设 uadxxfbaubxxfbacxf定义定义2 2： .,.),)(lim)(,)(),)(否则称它发散否则称它发散则称它收敛则称它收敛限存在限存在

3、若右端极若右端极上的反常积分或瑕积分上的反常积分或瑕积分数在数在为无界函为无界函称称内无界内无界的任何左邻域的任何左邻域在在而而设设badxxfdxxfbxxfbacxfuabuba buaubadxxfdxxfaxfbacxf.)(lim)(:,)(,()(,则可定义则可定义的任何右邻域内无界的任何右邻域内无界在在若若类似地类似地 bccabadxxfdxxfdxxfcxfbccacxf.)()()(:,)(,(),)(则可定义则可定义的任何邻域内无界的任何邻域内无界在在若若例例3 3、 adxxa022.1求求例例4 4、 . 110的敛散性的敛散性讨论讨论 dxxp提示：提示： 100111.111dxxdxxdxx?0ln11111是否正确是否正确 xdxx计算定积分之前一定要检查是否为反常积分。计算定积分之前一定要检查是否为反常积分。 作作 业业 习题习题3-113-11：1 1（6 6）（）（7 7）（）（8 8）（）（9 9） 练练 习习 题题 2201-121122202121211lnd. c. 1b. sin. :. 4.)(ln. 3.,4lim:. 2)1()4( ln)3( )1()2( )2(1)1( . 12xxdxdxexdxxdxaxxdxadxexaxaxdxexedxxxxxdxdxxxxkaxxxxx下列

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