大学数学：ch3-3(3)定积分的换元法和分部积分法

1、2012年12月23日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第3章章 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第第1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质第第2节节 微积分基本公式与基本定理微积分基本公式与基本定理第第3节节 两种基本积分法两种基本积分法第第4节节 定积分的应用定积分的应用第第5节节 反常积分反常积分第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程2第第3 3节节 两种基本积分法两种基本积分法( (续）续）3.1(3.1(续）续） 定积分定积分换元积分法换元积分法3.23.2（续）（续） 定积分定积分分部积分法分部积分法不定积分不定积分换元积分法换元积

2、分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法3定理定理3.33.3 设函数设函数( )( )f xC I ，作代换作代换( )xt 满足满足: :3)1( ),tC ( ),()ab ；则则（或，）；（或，）；1)dtttfdxxfba )()()(3.13.1（续）（续） 定积分换元积分法定积分换元积分法4证明证明设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba ( ): ( ),tFt ( )dF dxtdxdt )()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函

3、函数数.a )( 、b )( ,)()( FF ( )( )F bF a 5应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）(3) (3) 换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用 , , 即即( ) )xt 令令( )dbaf xx 或配元或配元f)(t)(dttfd( ) t ( ) t tfd)(t( ) t 配元不换限配元不换限6例例1 1 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 2

4、23sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52 x.54 换元换元要换限要换限 凑元凑元不换限不换限7例例2 计算计算220d(0).aaxxa 解解 令令sin ,xat 则则dcosd,xatt 0,0 ;xt当时当时2,.xat 时时 原式原式 =2a220(1cos2) d2att 21(sin2)22att20 24a 202cosdtt22xayxoyaS且且8例例3 3 计算计算402d.21xxx 解解 令令21 ,tx则则21, dd,2txxtt 0,x 当时当时4,x 时时3 .t 原式原式 =213212dtttt 3211(3)d2tt 311(3)

5、23tt31223 ; 1t且且 9证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf100( )af x dx 0)(adttf0(,)aft dt )(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 11证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t12 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20

6、 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft13 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf14例例6 6 若若f( (x) )是以是以T T为周期的连续函数，对任意的为周期的连续函数，对任意的a有有20200( )( );( )(

7、 ).TTTnTTf x dxf x dxf x dxnf x dx 由此得，由此得，0( )( )a TTaf x dxf x dx 153.2(3.2(续续) ) 定积分的分部积分法定积分的分部积分法定理定理 1( ) ,( ), ,u xv xC ab 设设则则证明证明 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x( ) ( )u x v xba( ) ( )d( ) ( )dbbaau x v xxu x v xx( ) ( )dbau x v xx ( ) ( )u x v x ba( )( )dbau xv xx , a b两端在上积分两端在

8、上积分 bababadxuvuvdxvu bbbaaaudvuvvdu或或 bbbaaaudvuvvdu或或16例例1 1 计算计算120arcsind.xx 解解原式原式 =arcsinxx1202102d1xxx 12 11222201(1) d(1)2xx 12 122(1)x12012 32 1例例2 2 证明证明20sindnnIxx 20cosdnxx 13312422,nnnn n 为偶数为偶数1342253,nnnn n 为奇数为奇数证证,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv dxxxnxxInnn 2202201coss

9、in)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI182220(1)sincdosnnInxxx 22021si(1)snin() dnxxxn 2(1)nnI (1)nnI由此得递推公式由此得递推公式12nnnnII 于是于是2mI 212mm 21mI 221mm 而而0I 20d x 2, 20sindnnIxx 201dsinxxI1故所证结论成立故所证结论成立 .0I1I22mI2322mm 42mI 3142 12mI2221mm 32mI 4253 19例例3 3 设设 求求解解 21

10、,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf , 0sin)1(11 dtttf20 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf 102)()(21xdxf2101()

11、2x f x 102)(21xdfx211、计算定积分、计算定积分dxexxx|22)| ( 2、设、设 , 0, 0,1)(2xexxxfx求求dxxf)2(31 Ex.221、计算定积分、计算定积分dxexxx|22)| ( 解解 因因|xxe |xex 为偶函数，为偶函数，为奇函数。为奇函数。原式原式=dxexx 20220| )22(xxexe 262e 2、设、设 , 0, 0,1)(2xexxxfx求求dxxf)2(31 解解 令令,2tx 原式原式=dttf)(11 dtedttt 10201)1(e137 23内容小结内容小结 基本积分法基本积分法换元积分法换元积分法分部积分法

12、分部积分法换元换元必必换限换限配元配元不不换限换限边积边代限边积边代限24思考与练习思考与练习1.提示提示: 令令,uxt1000dsin() d_dxxttx 则则1000sin() dxxtt du 0 x 100sinux100sin设设)(xf 在在 1 , 0上连续，且上连续，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.3.2. 设设1( ),(1)0 ,f tCf31( )dln,xfttx ( ).f e求求252. 设设1( ),(1)0 ,f tCf31( )dln,xfttx ( ).f e求求解法解法131ln( )dxxftt 3()(1)f xf3()f x 3,ux 令令3( )lnf uu 得得13lnu 31