85平面及其方程32684

1、1/211机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角四、小结四、小结 思考题思考题2/212机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束xyzo0mm如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做一平面，这向量就叫做该该平面的法线向量平面的法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量。垂直于平面内的任一向量。已知已知),(cban ),(0000zyxm设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxmnmm 0必有必有00 n

2、mmn1 1、平面的法线向量、平面的法线向量2 2、平面的点法式方程、平面的点法式方程3/213机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束),(0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量),(cban 已知点已知点).,(000zyx4/214机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例例 1 1 求

3、过三点求过三点)4 , 1, 2( a、)2, 3 , 1( b和和)3 , 2 , 0(c的平面方程的平面方程.解解)6, 4, 3( ab)1, 3, 2( ac取取acabn ),1, 9,14( 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx5/215机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxmkkkk的平面方程为说明:6/21

4、6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束特别,当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(crbqap1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 pozyxrq分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c7/217机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例例 2 2 求过点求过点)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方

5、程.),1 , 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10( , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解8/218机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量).,(cban 1 1、平面的一般方程、平面的一般方程9/219机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束, 0)1( d平

6、面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( a , 0, 0dd平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.2 2、一般方程的特例、一般方程的特例10/2110机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例例 3 3 设平面过原点及点设平面过原点及点)2, 3, 6( ，且与平面，且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.设平面为设平面为, 0 dczbyax由平面过原点知由平面

7、过原点知, 0 d由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 cba),2 , 1, 4( n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解11/2111机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(ap、)0 , 0(bq、), 0 , 0(cr（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 dczbyax将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解12/21

8、12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,ada ,bdb ,cdc 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距13/2113机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 v, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161

9、cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解14/2114机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为15/2115机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面的夹角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 d

10、zcybxa),(1111cban ),(2222cban 1 1、定义、定义按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|coscbacbaccbbaa 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式16/2116机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 2 2、两平面位置特征：、两平面位置特征：例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 01

11、2)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos 17/2117机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束)2(),1 , 1, 2(1 n)2, 2, 4(2 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.18/2118机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例

12、例7 7 设设),(0000zyxp是是平平面面byax 0 dcz外外一一点点，求求0p到到平平面面的的距距离离. ),(1111zyxp|pr|01ppjdn 1pnn0p nneppppj 0101pr),(10101001zzyyxxpp 解解),(222222222cbaccbabcbaaen 19/2119机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束00101prnppppjn 222102221022210)()()(cbazzccbayybcbaxxa ,)(222111000cbaczbyaxczbyax 0111 dczbyax)(1 p 01prppjn,222000cbadczbyax .|222000cbadczbyaxd 点到平面距离公式点到平面距离公式20/2120机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程1 1、平面的法线向量、平面的法线向量2 2、平面的点法式方程、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程1 1、平面的一般方程、平面的一般方程2 2、一般方程的特例、一般方程的特例三、两平面的夹角三、两平面的夹角1 1、定义、定义2 2、两平面位置特征、两平面位置特征四、小结四、小结平面的方程平面的方程（熟记特殊