大学数学：ch5-4 多元函数的Taylor公式与极值问题-1

1、2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系1第第4节节 多元函数的多元函数的Taylor公式与极值问题公式与极值问题4.1 4.1 多元函数的多元函数的TaylorTaylor公式公式(Taylor s formula for function of several variables )2一元函数的泰勒公式：一元函数的泰勒公式：200000( )00()( )()()()()2()()( )!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxRxn 0( )1yf xxn 若在点某邻域内 阶可微，若在点某邻域内 阶可微， (1)001000()()(01)(1)!)()nnnnfxxxxR xL

2、agrangexno xxxPeanox 余余项项余余项项4.1 4.1 多元函数的多元函数的TaylorTaylor公式公式3记号记号 (设下面涉及的偏导数连续设下面涉及的偏导数连续): 00() (,)hkf xyxy 200()(,)hkf xyxy 0000(,)(,)xyhfxykfxy 表示表示22000000(,)2(,)(,)xxxyyyh fxyhkfxyk fxy 一般地一般地, 表示表示00(,)mhkf xyxy 000C(,)mmiim imim iif xyh kxy (1, 2,),mn 4nR 在在区区域域的函数所成的集合的函数所成的集合( )()nC 内具有内

3、具有n 阶连续偏导数阶连续偏导数See P61.定义定义4.1( )()nfC f 在在内有内有n 阶的连续偏导数阶的连续偏导数, ( )nfC 称称 是是上上的的类类函函数数。5f000(,)P xy的某邻域的某邻域定理定理 (泰勒定理泰勒定理) 若若 在点在点 内任一点内任一点 00(,),(0,1),xh yk 使使得得0()U P0()U P内有直到内有直到 阶的连续偏导数阶的连续偏导数, 则对则对 1n0000(,)(,)f xhykf xy00() (,)xyhkf xy212 !00()(,)xyhkf xy 1!00()(,)nnxyhkf xy11(1) !00()(,)nn

4、xynRhkf xh yk (01) nR 其中其中 称为称为f 在点在点(x0 , y0 )的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式, 称为其称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 .61001(,)(1)!nnRhkf xh yknxy 000000(,)(,)(,)f xh ykf xyhkf xyxy 001(,),!nnhkf xyRnxy2001(,)2!hkf xyxy其中其中7证证 引入辅助函数引入辅助函数 00( )(,) .tf xth ytk 由假设，由假设， ( )0,1t 在在上满足一元函数泰勒公式的条件上满足一元函数泰勒公式的条件于是有于是有(0)(0)(1)(0)1!2! (

5、)(1)(0)( )(01).!(1)!nnnn 0000(0)(,) ,(1)(,)f xyf xhyk利用多元复合函数求导法则可得利用多元复合函数求导法则可得: 0000( )(,)(,)xythfxhtyktkf xhtykt 00(0)() (,)xyhkf xy 800(,)mhkf xth ytkxy200( )(,)xxth fxhtykt0000( )(,)(,)xythfxhtyktkfxhtykt00(0)() (,)xyhkf xy 002(,)xyhkfxhtykt200(,)yyk fxhtykt200(0)()(,)xyhkf xy 一般地一般地, ()000( )

6、C(,)mmmiim imim iifth kxhtyktxy ()00(0)()(,)mmxyhkf xy90000(,)(,)f xhykf xy00() (,)xyhkf xy212 !00()(,)xyhkf xy 1!00()(,)nnxyhkf xy11(1) !00()(,)nnxynRhkf xh yk (01) 其中其中10),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn说明说明:(1) 余项估计式余项估计式. 因因 f 的各的各 n+1 阶偏导数连续阶偏导数连续, 在某闭在某闭邻域其绝对值必有上界邻域其绝对值必有上界 M , 22,hk 令令则有则有1()(1) !

7、nnMRhkn cossinhk 11(cossin)(1) !nnMn 20,1max(1)xx利用利用11( 2)(1) !nnMn ()n 211(2) 当当 n = 0 时时, 得二元函数的拉格朗日中值公式得二元函数的拉格朗日中值公式:0000(,)(,)f xhykf xy00(,)xhfxh yk00(,)ykfxh yk(01) (3) 若函数若函数( ,)zf xy 在区域在区域D 上的两个一阶偏导数上的两个一阶偏导数恒为零恒为零, ( ,).f xy 常数常数由中值公式可知在该区域上由中值公式可知在该区域上 12),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 ,

8、 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( 13此时的此时的 n 阶泰勒公式可写作阶泰勒公式可写作 000001(,)(,)().!innif xh ykhkf xyoixy (5)Peano余项余项22,hk ( )0( () )nfCU P 14001020( )(,)nuf xxxxx 设设在在点点的的所所有有二二阶阶偏偏导导数数定义定义0 :fxHessian 在点 的矩阵为在点 的矩阵为,存在存在01112121222012()nnfnnnnxffffffHxfff 001020()(,)nuf PPxxx 设设在在点点的的所

9、所有有二二阶阶偏偏导导数数01112121222012()nnfnnnnPffffffHPfff 0 :fPHessian在点 的在点 的矩阵为矩阵为15的的在在点点类类似似可可定定义义),(),(0000zyxPzyxfu :Hessian 矩阵为矩阵为0)(0PzzzyzyyzyyyxxzxyxxffffffffffPH 的的所所有有二二阶阶偏偏导导数数在在点点设设),(),( 000yxPyxfz 定义定义0 :fPHessian在点 的矩阵为在点 的矩阵为0)()()()()(00000PyyyxxyxxyyyxxyxxfffffPfPfPfPfPH ,存在存在16特别地，特别地，22

10、000001(,)(,)().!iif xh ykhkf xyoixy 000000(,)(,)(,)xyf xyhfxykfxy 2200000021(,)2(,)(,)!)2(xxxyyyh fxyhkfxyk fxyo 此时的此时的 二二 阶带阶带Peano余项的泰勒公式可写作余项的泰勒公式可写作 (2)0( () )fCU P 0000(,(,)f xyxf xy 202!)1()fhhk HPko ，00()xxxyfyxyyPffHPff ( ,)xhk 17222( , )(1,4)(1)(1,4)(4)(1,4)1(1)(1,4)2!2(1)(4)(1,4) (4)(1,4)(

11、).xyxxxyyyf x yfxfyfxfxyfyfo )(),(),(2),(! 21),(),(),(),(2200002000000000022 okyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxfyxyxx1,4hxky令令18( , ),(1,4)1yf xfyx 1(1,4),)( ,4,yxxffx yyx ( , )l(1,4)n , 0yyyfx yxxf2(1,4( , )()121),yxxxxfx yy yxf 11(1,4)1( , )ln ,yyxyxyfx yxyxfx 2( , )(ln )(1,4),. 0yyyyyfx yxxf将它们代入泰勒公式将

12、它们代入泰勒公式 ，即有，即有 2214(1)6(1)(1)(4)().yxxxxyo 1,4hxky令令192214(1)6(1)(1)(4)().yxxxxyo 3. 9621.0814 0.086 0.080.08 0.041.3552 .10.08,40.04hxky 令令20例例2 2求函数求函数)1ln(),(yxyxf 的三阶麦的三阶麦克劳林公式克劳林公式. .解解,11),(),(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),

13、4 , 3 , 2 , 1 , 0( p21,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyyxxyx ,)()0 , 0()0 , 0(2)0 , 0()0 , 0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 22又又0)0 , 0( f, ,故故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(! 414443 yxyxyxfyyxxR23( )0( () )nfCU P 小小

14、 结结000001(,)(,)().!innif xh ykhkf xyoixy Peano余项余项(1)0( () )nfCU P 1001(,)(1)!nhkf xh yknxy 000001(,)(,)!inif xh ykhkf xyixy Lagrange余项余项0:xxh0:yyk0hxx0kyy注意注意：常将公式中用：常将公式中用代入！代入！)10( )10( 24),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 , 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( 25练练 习习 题题22( , )2635(1, 2

15、)f x yxxyyxy 1.1.求函数在求函数在点的泰勒公式点的泰勒公式( , )ln(1)xf x yeyLagrange 3 3. .求求函函数数的的三三阶阶带带M Ma ac cl la au ur ri i余余项项的的n n公公式式( , )xyLagrangef x yen 余余2.2.求函数的阶带求函数的阶带MaclaurMaclaur项的项的inin公式公式22( , )52(1)(1)(2)(2)f x yxxyy1.1.0,1,.,nxypn pfepnxy 2211()111111()(2)2!1()!(), 01.(1)!xynnnnnxynnnnnexyxxyyxC xyyRneRxCx yyn 2.2.其中其中26练习题答案练习题答案( , )ln(1)xf x yeyLagrange 3 3. .求求函函数数的的三三阶阶带带M Ma ac cl la au ur ri i余余项项的的n n公公式式ln(1)pxpfeyx 1( 1)(1)!0,1,.,1(1)nn pxpn pn pfnpepnxyy