大学数学：ch3-习题课(3)定积分应用

1、微微 元元 法法定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式1 1、理论依据、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定积分定积分的微分的的微分的分就是分就是这表明连续函数的定积这表明连续函数的定积于是于是即即的一个原函数的一个原函数是是则它的变上限积分则它的变上限积分上连续上连续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 2 2、名称释译、名称释译(2),( )():( )( ).baUdUf x dxabUf x dxf x dx 由理论依据知 所求总量就是其微分由理论依据知 所求总量就是其微分从到的无限积累 积分从到的无限积累 积分这种

2、取微元计算积分或原函的这种取微元计算积分或原函的方法称方法称元素法元素法数数3.3.解题步骤解题步骤 badxxfU无限积累无限积累3这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法:的的积积分分表表达达式式的的步步骤骤是是写写量量U ,1bax它它的的变变化化区区间间确确定定选选取取适适当当积积分分变变量量如如根根据据具具体体问问题题 dxxxxxnbaii ,21记记为为一一个个把把其其中中任任个个小小区区间间分分成成设设想想把把 的元素的元素称为量称为量UdUdxxfU yydyyySdcdycyyxyxdc 所围面积所围面积与与曲线曲线)(, xgxfdxxgxfSbabxaxxgyxfy

3、ba 所所围围面面积积与与曲曲线线,一、几何应用一、几何应用 :1 直角坐标系下直角坐标系下1.面积（平面图形的面积）面积（平面图形的面积） dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形( )Ax 体积为体积为轴旋转一周所得的轴旋转一周所得的轴和轴和图形分别绕图形分别绕轴所围平面轴所围平面与与旋转体体积旋转体体积yxxbxaxxfy,)(2 badxxAVbxaxA)(),)(1则则立立体体体体积积为为已已知知的的立立体体体体积积平平行行截截面面面面积积可可以以求求得得2.2.求两种特殊立体的体积求两种特殊立体的体积 drrsrrc2

4、2:3 极坐标下极坐标下 dtttsttytxc 22:2 参数方程下参数方程下 badxxfsbxaxfyc)(1)(:12直角坐标系下直角坐标系下3.3.平面曲线的弧长平面曲线的弧长1.变速直线运动的路程变速直线运动的路程3.引力问题引力问题2.变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、物理应用二、物理应用如，万有引力如，万有引力,电场力作功等电场力作功等,抽液克服重力所作的功等抽液克服重力所作的功等.4.静压力静压力例例1问答题问答题 2141222212212241142321?. 1xydxVdyxVdyxVdxyVVy 问问下下面面所所列列式式子子哪哪个个对对所所得得的的旋旋转转体体

5、的的体体积积轴轴旋旋转转形形绕绕图图中中阴阴影影部部分分的的平平面面图图) 1 , 1 ()4 , 2(oxy1 x x+dxyy+dyy=f(x) babababadxxgxfxgxfmddxxgxfxgxfmcdxxgxfxgxfmbdxxgxfxgxfmamybxaxxgyxfymmxfxgbaxgxf)()()()()(;)()()()()(;)()()()(2)(;)()()()(2)(,),(),(),()()(,),(),(. 2 为为旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积所所围围平平面面图图形形绕绕直直线线及及则则曲曲线线为为常常数数且且上上连连续续在在设设y=f(x)y=g

6、(x)abxx+dxy=mxyo.)()( ,)()()()()(2)()()()(,2222均均不不对对是是正正确确的的因因此此体体体体积积为为旋旋转转而而成成的的旋旋转转线线从从而而所所围围平平面面图图形形绕绕直直的的旋旋转转体体的的体体积积为为的的一一窄窄条条绕绕取取dcabdxxgxfxgxfmdxxfmxgmVmydxxfmdxxgmdVmydxxxbaba 解解y=f(x)y=g(x)abxx+dxy=mxyo )0 ,(),0 , 0( :cossincosaarar两两曲曲线线的的交交点点为为 )0 ,2(,2222的的部部分分包包含含点点所所围围图图形形面面积积求求aMaya

7、xyxaxyx 222848aaa 20220228cossin212221cossin2144adaadaA 4, 1220 xyayayyx例例2解解)0 ,2(aM)2,2(aaxy22516xyxV把绕 轴旋转计算所得旋转体的体积 44224422165165dxxdxxV 例例3解法一解法一240244216016401620 dxxdxxoxyoxy= 4 , 4 为为积积分分变变量量选选择择xoxy-44 旋旋转转的的体体积积轴轴绕绕为为积积分分变变量量选选择择xdyyyy ,解法二解法二 dyyyxdyydV2516422 oxy19yy+dyyy+dy 22220454sin

8、4cos8 16 5costtdttdt 9221445Vyydy 5 4sinyt 令令2218 16 516022 .)cos1()sin(体积体积对称轴旋转而成的立体对称轴旋转而成的立体轴围成的图形绕图形的轴围成的图形绕图形的与与求摆线一拱求摆线一拱xtayttax 的的旋旋转转体体的的体体积积为为的的一一窄窄条条绕绕对对称称轴轴取取积积分分区区间间为为为为积积分分变变量量取取axdxxxax , 0,例例4解解而而成成的的旋旋转转体体体体积积为为旋旋转转线线从从而而整整个个平平面面图图形形绕绕直直ax oxy2aa 2ax dxxyxadV)()(2 x x+dxdttttattdat

9、attaadxxyxaVa20300)cos1)(sin(2)sin()cos1()sin(2)()(2 32320033333033333332()(1cos )2sin (1cos )3182 (1cos ) 2331638823()32attdtattdtaaataaaaa 注注443sincos 4)sin1(sin2)sin1(2)sin1()sin1(2)sin1)(2()cos1)(,22020222202222222222222 uuuduuuduuduuduuuduuduuudtttdudtut令令注注例例5.,)2(4, 2,ln)1(42,)ln,(,lnbacxxbax

10、yxyccccbaxyxy和和求求值值对对于于所所求求的的所所围围成成的的面面积积最最小小的的值值使使求求其其中中相相切切处处点点在在与与直直线线曲曲线线 24y=lnxxyc解解切切线线方方程程为为的的在在点点曲曲线线)42(ln ccxxy),(1lncxccy 由相切的条件知由相切的条件知1ln,1 cbca. 13ln,31,3)2( bac时时当当2ln6ln26)ln()()1(42 ccdxxbaxcs所所求求面面积积所所围围面面积积最最小小时时则则当当又又为为唯唯一一驻驻点点得得由由,30)3( ,3212)( 026)( 232 csccccscccs24y=lnxxyc 3

11、2)(32)(34)(34)()0(sin)1223dcbaxxxxy体体积积为为轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转体体的的的的图图形形绕绕轴轴所所围围成成与与曲曲线线 44440200022222)2(cos21)(2cos2)(2cos4)(2cos2)()(2 dddcdbdayxyx示示为为区区域域面面积积可可用用定定积积分分表表所所围围成成的的）双双纽纽线线1.选择题选择题dxxxxddxxxxdxxxxcdxxxxdxxxxbdxxxxaxxxxy)2)(1()()2)(1()2)(1()()2)(1()2)(1()()2)(1()()2)(1()3202110211020 的的面面

12、积积可可表表示示为为轴轴所所围围成成图图形形与与曲曲线线2.应用题应用题1).,)2求求出出公公共共部部分分的的体体积积相相交交成成直直角角其其中中心心轴轴线线等等于于两两个个直直圆圆柱柱体体的的半半径径都都a 201,0,1,?yxxtt设定义在上设定义在上是区间上的任一点是区间上的任一点当 为何值时 图中两阴影部当 为何值时 图中两阴影部分的面积和最小分的面积和最小y = x2t12tyx11S2S4). 求曲线求曲线132xy与与 x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形绕直线绕直线 y3 旋转得的旋转体体积旋转得的旋转体体积. ?,1 , 0,102分分的的面面积积和和最最小小图图中中两两

13、阴阴影影部部为为何何值值时时当当上上的的任任一一点点是是区区间间上上定定义义在在设设ttxxy y = x2t12tyx11S2S 3134332312303212202221 ttxtxxxtdxtxdxxtSSStttt解解1) .2121, 0:10122242时时两两面面积积和和最最小小当当驻驻点点 ttttttttS.,).2求求出出公公共共部部分分的的体体积积相相交交成成直直角角其其中中心心轴轴线线等等于于两两个个直直圆圆柱柱体体的的半半径径都都a 31638)(0303202222222222axxadxxaVdxxadxxAdVxaxaxayzxAaxxaa 为为积积分分变变量

14、量先先择择解解yzyxz解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMdyPQ另解另解 2,2x 体积元素为体积元素为2 (3)dVx ydx 22 (3)(4)xxdx 2204(123)Vx dx .64 3dyPQxdx Qx4). 求曲线求曲线132xy与与 x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形绕直线绕直线 y3 旋转得的旋转体体积旋转得的旋转体体积.解解: 利用对称性利用对称性 ,y 01x22 ,x 12x24,x 故旋转体体积为故旋转体体积为V 234

15、122023(2) dxx xxd)1 (2361022xxd) 1(2212222202(1) dxx 44815 在第一象限在第一象限 222123(4) dxx xyo3AB211. 求抛物线求抛物线21yx在在(0,1) 内的一条切线内的一条切线, 使它与使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.2 3433()YX 2. 设非负函数设非负函数( )0 , 1f x在上满足在上满足( )( )xfxf x 曲线曲线( )yf x 与直线与直线及坐标轴所围图形及坐标轴所围图形(1) 求函数求函数( ) ;f x(2) a 为何值时为何值时, 所围图形绕所

16、围图形绕 x 轴一周所得旋转体轴一周所得旋转体232,ax 面积为面积为 2 ,体积最小体积最小 ? 1x 23( )(4)2f xaa x5a 答案答案补充习题补充习题3. 为何值才能使为何值才能使) 1( xxy(1).yx xxx 于与及 轴围成的面积于与及 轴围成的面积与与 x 轴围成的面积等轴围成的面积等0,23211,2143答案答案轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()(4. 设设)(xfy 在在 x0 时为连续的非负函数时为连续的非负函数, 且且 ,0)0(f形绕直线形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积旋转一周所成旋转体体积 ,证明证明:. )(2)(tftV 1.

17、求抛物线求抛物线21yx在在(0,1) 内的一条切线内的一条切线, 使它与使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且为最小点 . 故所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x11MBAyx, 1

18、 , 0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 2. 设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小点,因此5a时 V 取最小值 .xoy1xoy1分析曲线特点分析曲线特点3. ) 1( xxyoyx解解41)(221 x1A) 1( xxy与与 x 轴所围面积轴所围面积1101d) 1(xxxA61,0时2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由图形的对称性由图形的对称性 ,211,2143也合于所求也合于所求. 为何值才能使为何值才能使) 1( xxy(1).yx