大学数学：ch6-6 第一型线积分和面积分-1

1、2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系1第第6节第一型线积分和面积分节第一型线积分和面积分第一型（对弧长的）曲线积分的计算第一型（对弧长的）曲线积分的计算第一型（对面积的）曲面积分的计算第一型（对面积的）曲面积分的计算( Line integrals and Surface integrals of the first type (or Line integrals with respect to arc length and surface integrals with respect to area ) 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系2定理定理由第由第1节，节，1.

2、 第一型曲线积分的定义：第一型曲线积分的定义：.ds其中叫做弧长元素其中叫做弧长元素2. 性质：性质：3. 可积性：可积性：12max,ndsss( )( , )cf x y ds ( )( , , ) zfydxs 01lim(,)niiiidif x y zs 01lim(,)niiidif x ys ( ,)( ( , )( )( ),( , ).cf xyf xy zcf x y ds （ ）（ ）当在光滑曲线弧或当在光滑曲线弧或上连续时 对弧长的曲线积分存在上连续时 对弧长的曲线积分存在与定积分类似与定积分类似( , , )f x y z ds （ ）（ ）2013年5月南京航空航天

3、大学 理学院 数学系3注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系41. 对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设

4、基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化求曲线积分求曲线积分证证:01 ,nttt 设设为为上上的的一一个个分分割割. .1, iiitts 相相应应曲曲线线有有一一分分割割，记记上上的的弧弧长长为为1, iiitt dtttsiitti 1)()(22 22()()iiit由积分中值定理由积分中值定理0011lim( ,()lim(,)()niniiddiLiiif x yfsfsdMs 0212(),lim)()()niiiiiift maxmaxiitds 记，记，22( , )( )( )( )f x yC Ltt ，连连续续22 ( ),( )( )( )ftttt dt 可

5、积可积)()()(),(22ttttf oxyAB1nA iA1iA 2A1AL()()iiiixy ，( ,)iiiM x y2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系6注xdydsdxyo(2) (2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. . (3)( , ),.f x yx y中不彼此独立 而是相互有关的中不彼此独立 而是相互有关的(1).定积分的下限 一定要小于上限定积分的下限 一定要小于上限., 0 iits从而要求从而要求表示弧长，总是正的，表示弧长，总是正的，(4)对称性对称性 .平面曲线

6、积分参照二重积分情况，平面曲线积分参照二重积分情况，空间曲线积分参照三重积分情况空间曲线积分参照三重积分情况2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系7._)432(, 13412222 dsyxxyayxll则则其其周周长长记记为为为为椭椭圆圆设设例例dsyxdsyxxyll)43()432(2222 解解12431342222 yxyx又又dsdsyxIll12)43(22 .1212adsl 12a2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系8特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(

7、1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 3):( )(.L rr.sin,cos),(22 drrrrfdsyxfL 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系9推广推广: :)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系10 LdsyxI)(计计算算例例1解解.)(;)3 , 2()0 , 2()(;)0 , 2()0 , 0()(222的的上上半半圆圆周周是是之之间间的的直直线线段段与与是是之之间间的的直直线线段段与与是是RyxLiiiBALiiLi ()

8、Lxy ds 320(2) 1yx dy 3021(2)2y dy 0 x ( ):2,(03),iiL xy2201xy dx 20 xdx 2 ()Lxy ds 0y ( ):0,(02),iL yx2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系11( )sin ,( )cos ,x tRty tRtdsRdt ():cos ,sin (0)iiiL xRt yRtt 20()(cossin )2Lxy dsRtRt RdtR 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系12形形的的整整个个边边界界。第第一一象象限限内内所所围围成成的的扇扇轴轴在在及及xxyayxLdseLyx ,:22

9、222oxL2 :y=x2223:ayxL L1: y=0y例例解解1:0(0),Lyxa0,y 2:cos ,sinLxat yatdsdx dsadt 3:(02),Lyxxa1,y 2dsdx (0)4t 22123()xyLLLeds 22xyLeds 0axe dx 40ae adt 22202axedx 2(1)4aaaee 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系13解解 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为利用对称性利用对称性 , , 得得14dLIxs 2404cos da 22 2a 22:cos2,L ra 22404cos()()drrr

10、1:cos2(0)4Lra 222222,()().cydscxyaxy 求其中 为双纽线求其中 为双纽线例例422cos2ra 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系14例例5 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解法一解法一由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx2221()3Ixyzds 故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa222(1)(1)(1) ?Ixyzds 进一步进一步222(2223)xyzxyzds dsa)3(2).3(22 aa 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系15解法二解法二得

11、得代代入入将将2222)(azyxzxy 0)2(223:222zyxaxzxL),cos31(sin2sin22,cos32ttaztaxztax )cos31(sin2)(ttazxy 则则）（,)2(2232222222axzxazzxx 化为参数方程化为参数方程2203222co23s3Lx datadtsa 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系162. 几何与物理意义(1)( , ),x yL 当表示的线密度时当表示的线密度时( , );Lmx y ds ;,1),()2( LdsLyxf弧长弧长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表

12、示立于当当yxLyxf(,)( , ).L A BSf x y ds 柱面面积柱面面积dxyyxfba 21),(zxoy( , )zf x y sLABab2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系17(4),xy曲线弧对 轴及 轴的转动惯量曲线弧对 轴及 轴的转动惯量2222( , ),( , ).() ( , ),xyLLoLIxx y ds Iyx y dsIxyx y ds 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5( , )( , ),.( , )( , )LLLLxx y dsyx y dsxyx y dsx y ds2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系18解解由对称性由

13、对称性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx参数方程为参数方程为,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 .233 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系19tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系20例例2. 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为cos,sin,xatyat(02 ),zktt (

14、1) 求它关于求它关于 z 轴的转动惯量轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心求它的质心 .解解: 设其密度为设其密度为 (常数常数).22() dzLIxys 220a 22dakt 2222 aak(2) L的质量的质量dLms 222ak而而dLxs 22aak 20cos dtt 0 (1)xyzOak2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系21dLys 22aak 20sindtt 0 dLzs 22kak 20dtt 2222kak故质心坐标为故质心坐标为( 0 , 0 ,)k 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系22例例322222()()zLIxyxyz ds 解

15、解(1)22222 22222223 2030322222()8(2)3kaak tak dtaaka ttaakak 222zcossin ,(02 ),( , , )1.2( , , ).xatyat zkttx y zxyzzIx y z设螺旋线，设螺旋线，线密度，线密度，求（ ）关于 轴的转动惯量求（ ）关于 轴的转动惯量（ ）它的重心（ ）它的重心2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系23( , , )( , , )( , , );,LLLxx y z dsyx y z dszx y z dsxyzmmm2222222 222022223 232220238( , , )(2

16、)3)()LLkx y z dsxyz dsak tak dtaak a ttmak ak 解解(2)222 2220222222( , , )()2(2)Lkt ak tak dtk azkay z dskx 22222222222322222( , , )2(23(2)34)8(2)3Lzx y z dsk akakmak akzkaakk 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系242222 200222 222002222220022 220() sinsin ()2sin2cos2coscos ()42cosdtak tdtt ak tk ttdtk tdtk ttt ak t

17、ktdtk 22232222222263( , , )48(2)43Lxx y z dsk a akmakakkakax 22 2222022222 22220( , , )cos (4co)s (Lxx y z dsaak dta akt ak tdtkkt ak ta a 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系252222232222222( , , )48632)4(3Lyx y z dsk a akmakakaakyk 22222 222 202220( , ,sin()sin(Lyx y z dsaak dttak ttaka atkdt 2222 200222 222002

18、22202222220022 222() cos()2cos42sin42sin 2ssin()cos4indtak tdtak tk tttak tdtkk tdtkk ttktdktt 22224k a ak 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系26小结1 1、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算2 2、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系27一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲线形构件已知曲线形构件L的线密度为的线密度为),(yx , ,则则L的质量的质量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关；4 4、 Ld