概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

1、第六章参数估计习题6.11. 设Xi,兀，為是取自某总体容昴为3的样本.试证卜列统计乗都是该总体均值“的无偏估计，在方差存 在时指出哪一个估计的有效性最差？爪扑+討+討：必=詁+討+討：(3)心存+扛+第.证：因 £(/4) =+ |E(X2) + E(X3) = + “+ + “+ = “，Z3oZJo# E(XJ + 扌 E(K) + i £(X3)冷 “+ ” 扣“，EQG =扛(禺)+ 2 E(XJ + E(X.) = ：“+ »+ f “= “，oo3ooJ故A,沁，爲都是总体均值“的无偏估计；因 Var(/0 吕 VarGG + #Vai32)+护 a

2、r%)吕 P +討 + 寻八善 P,Var©)=丄Vai(XJ + 丄Vju(XJ + -rX3) = la2+ i(r2+ i<r2 = la2,9999993Var(z) = Var() + 丄 F(XJ +，Var(XJ = a2+ a2+ -a2 =丄 P,e 36136-93363692故Var(/；2)<Vai(/O<Vai(/3),即“有效性最好，几It次，几最差.2. 设Xi,Z,竝是來自ExpS的样本，已知壬为1/兄的无偏估计，试说明1/刁是否为啲无偏估计. 解：因如狂，恳相互独立11都服从指数分布Exp® 即都服从伽吗分布Ga(lg,r

3、h伽玛分布的可加性知了 = ±X服从伽玛分布Gag,密度两数为则E故1/牙不是测无偏估计.3.设6是参数&的无偏佔计，IL有Var)>0,试证(歼不是沪的无偏估计.证：因 E(0) = 0,有 E(3)2 = Var() + E(0)f = Var() + 32>029 故(祁不是，的无偏估计4.设总体XN«, P), X】，,&是來口该总体的一个样本.试确定常数c使c£ (X询-Xt)2为a2的无 1=1偏佔计.解:因凤aT-&)2=Var&.i-A；)+Ea7-X)2 = Var(X“) + Var(A；) + E(

4、XT)-E%)2 = 2b2,则 E g (和-对£ E(Xm 一 H )2 = c (T 2宀 lc(n-1)<72 , >1 1-1故当c =时，cY-X.)2 =a即cY(x-xy是P的无偏估计.2一 1)L 1-11-15.设，乙是來自卜列总体中抽取的简单样本，1, + *jo,其他证明样本均值F及丄3+ XQ都是&的无偏估计，问何者更有效?2p(x； o)=11 1证：因总体xu 0-_,0+_ ,右y = x-0+u(oj),i 22 丿2则舄0+&斗勺)讥)+ 0-$ 凤”) + 0冷，即+ X(”)戶推+ £)+$ 可得 E(X)

5、 = Z(y) + 0一丄=E(Y) + 0 -丄=0 , Var() = Var(K)=丄Var(X)=,22n12n因y的密度西数与分布西数分别为o,py O)= Io<v<l，y0) =y <o； OR vl;)，ni.有y与y(”)的密度两数分别为P100 =川1- 为0)严/0) fQ-J')Fx2 P”(y)= «G)rlPrO)=毋匕心，且(y(i),f)的联介密度西数为Pin (yw y(n) = n(n-l)lFy(y(99) - Fr Cv(l)严 Py (y(1)py (y(n)lz(1)v( B >“T)%)-丁严匕叭知则 )=

6、 j 吨-刃"=” =占他)=ydy =角啟瑞)=”吨-ydy = ” 彈絆=”爲，疋(冷)订产nydy =佳r(2 + n) n+1 r(3)r(n)n r(3 + w) (n + l)(n + 2)E(YM =倜(”九心)巾-1)%)-九)1%)=倜(”b(2(”)* (-l)d% -儿)严 =仙町-妙如) -丁)”T|+("I>(»)onyr n(n + l)n + 2)'时(w)7+2r?n + l>(n + l)2(n + 2)3且 Cov(心&)=11"n + 2 n + 1 n + 1(n + l)2(n + 2

7、)ln + 2可得 A g(X + X(J =却他)+ E(£)+ 0- g = &,V曲岛+ %）”'）八WJ + 2C。临皿沪4（“）认£厂乔E，=0 t因 E(X) = e , E |(1) +33280#33280#故牙及2（x（i）+ xw）都是&的无偏估计:2因当 n>l 时，Var(X)=12n2(”+1)3+ 2)>Var扣+33280#33280#P(x) = *Io<2 F(x) =X3 X4 一+ 34Q） = fx.务令=冷30 o=T故+（x（i）+ XQ比样本均值片更有效.6. 设X、XM服从均匀分布50

8、,8）,试证彳彳及4X（i）都是&的无偏估计昴，哪个更冇效?3解：因总体X的密度函数与分布函数分别为0, x <0;士，0Sxv&1,x>0.有X与X的密度函数分别为Pi (x) = 31 - F(x)"p(x)=(沪)g" » Pi (x) = 3F(x) p(x) =，则e（x）=a咛匚33280#33280#-> 3(&-x)2 .3上=10 oE(X：3, = & 牛力'=君+ = ¥即5（x）嗚一（勻二鲁，、呦心二辛0(4因 £(4r(1) = 4 - = ,斗亍X33280#

9、故4A及亍-疋(3)都是&的无偏估计:3沪 30因 Vai(4X(i) = 16 =譬詈巻,有V叭)>皿(第J,#4故一X(3)比4X(i)更有效.37. 设从均值为“，方差为cr2> 0的总体中，分别抽取容杲为勺和血的两独龙样木，牙1和戸2分别是这 两个样本的均值.试证，对于任意常数atb (a + b = l), Y=aX1+bX2是“的无偏估计,并确定常 数a, b使Var(F)达到最小.解：因 E(Y) = aE(Xl) + bE(&) = a“+bp. = (a + b)“ = “,故Y是“的无偏估计：WVar(y)= a2Vm(ZJ + Z?2Var(J

10、2) = a2- +(l-a)2- = f-a2- a + V,令 A Var(Z) = f. 2a - la2 = 0 > 得 a =,且Vai (X) =- 2a2 > 0 ,daln2)+ n2 d_a心故当a二一,6 = 1- « = 时，Var (Y)达到最小一- a2zij + n2Hj + n2q + n28. 设总体X的均值为“，方差为如 ，兀是来自该总体的一个样本，T(Y1,，冷为“的任一线性 无偏估计晟.证明：土与T的相关系数为JW()/Var(T).证：因T&i, ,&)为“的任一线性无偏估计最，设八尤,，圮)=£耳孟，则

11、E(T) = 士 a, E(XJ =“，即 f a产 1,!-11-1M因-,x相互独立，当心丿时，有Cov&*) = 0,则Cov(T) = Cov=；Co因 Vai(卫)=丄 Vai (X) = = Cov(X T) 9. 设冇上台仪器，己知用第！台仪器测乗时，测定值总体的标准差为6(i=l,，上).用这些仪器独立 地刈果一物理吊P各观察一次，分别得到巫 ，竝，设仪器都没勺系统谋差.问如，农臧取何值， 方能使6 = $也成为&的无偏估计，且方差达到最小？解:因E)=则当£坷=1时，B =是&的无偏估计,1"1 «!因 Var) = Va

12、r| 为 atx/ =工 a； Vai (xj =工 a；a；,k !-1 丿 1-11-1讨论在£a,= 1时，士芮 的条件极值,1=1 1=1设拉格朗口函数厶(4以)=工才b： +彳工q l ,i=i 口>BL、= 2d】巧一 +兄=0, da、令dL JA- = 2兔” + 2=0, dak 奔张-I1°九 1-1得加一h+.2.+bL f7,故当a严 = i,北时，6=乞咻 是e的无偏估计，且方差达到最小.X + + X!-1io.设xg ,x.是来自N(qi)的样本,证明g(&) = |&|没有无偏估计(提示:利用g(&)在&

13、=o处不可 导).证：反证法：假设了二丁,疋，,Q是g(e)= |&|的任一无偏估计，1 «因壬&是&的一个充分统计a.即在取定r=x条件卜，样本条件分布与参数&无关,!»1则S=E(TX)与参数8无关，且S是关于牙的函数,E(S) =EE(TX)= E(T) = g(0) = 0.可得S二S(F)是g(&) =的无偏佔计,因石必 必是来自N(& 1)的样本,由正态分布可加性知F服从正态分布则吩R)爭爭爭淨伽卡2因EG) = |8|,可知对任意的&,反常积分口 S(x)|J*如则由参数8的任意性以及该反常积分在-8与+

14、8两个方向的收敛性知口 S(x)|c毎以加,有L爭门乂收敛,dO弘一致收敛,吨)严r屁,且|刃"決则宙邙(別 c爭S(l砂b的收敛性知可得 E(S) = -=y2n故g(&)=l&l没有无偏估计.11.设总体X服从正态分布N3,/)，如疋,，兀为来自总体X的样本，为了得到标准差b的估计杲, 考虑统计最：dx关于参数&可导,与5(5) = |在&=0处不可导矛盾,求常数Cl与C“使得ClYi与6力都是(7的无偏估计. 解：设yN(o,&)，有5,71因Xx-X是独工正态变?： 疋 ,疋的线性组合,且 E(Xx-X) = E(XJ- E(X)二-“

15、=0 ,Var(& - F) = Var(XJ + Var()-2Cov(&,壬)=P +-2Cov| &,j =H-1 b > n则XX-MQ. a1 2. EXt-X71nn故当q =7则拓-石"（0.2»可比一£|=当戸丿时，乂-石=0, EXt-Xj = 0.可得 E(C2Y2)=C2E(Y2)=Cyn(n-l)EXt-X.=C2-1=1冃n(n-l)G尹#故当C：= 时，EC2Y2 = cr, C2E是O的无偏估计.习题621. 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如卜数据（单位：h）：1050, llOOt 1130

16、, 1040> 1250, 1300, 1200 1080,试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计.解；平均寿命“的矩估计元 1143.75 ；标准差b的矩估计-89.8523.2. 设总体XtZ(0,&),现从该总体中抽取容杲为10的样本，样本值为：0.5, 1 3, 06, 1 7, 22, 12 08, 1 5, 20, 1 6,试对参数&给出矩估计.0 .解：因 XU06 有 E(X) = _，即&=2E07),故&的矩估计& = 2元= 2x1.34 = 2.68 23. 设总体分布列如卜，乙是样本，试求未知参数的距佔计.(

17、1) PX = k. H2U N (正整数)是未知参数：N(2) PX=k = (k- 1)3(1 -上=2, 3,，0<1.1N-1解：(1)因£(A9 = 0+l + - - + (N-l)= ,即 N=2E(Y)+1,故N的矩估计N =2 + 1； N24co400 12j2 -K»(2)【大|E(X) = >(1妙(1-0)1 =毋工寿(1-0)沪加工(1-分*-2gd8dtf *-2#贝 lj 0 =,E（X）故&的矩估计$ =壬.4. 设总体密度函数如卜，禺，,乙是样本，试求未知参数的矩佔计.（1）P（x；0） =X)9 0 < X V

18、&,&>0： p3) = (8+1)x9 0<x< h &>0：(3) p(xG) =, Ovxvi, 6> 0：#解：(1)【大|如)十卡(07)心和 p舟'丿bp 即e=3EQ 故&的矩估计6 = 3Xx(2)因 E(X) = ( x (& + l)x"X = (0 +1) 薯?故亦矩估计d告:(3)因畔)="麻叫"却=磊,故&的矩估计力=(4)I“二-“因E(X) = X gc e 乂 =厂乂(一l)dc & =-xc_L “+ 厂c e dx = “- 0c &a

19、mp;-KO=“+ 0 te(x2)=j/2 * i e =jr2 *(_i) c=_x2 -ho+2xc 丁dx = /r + 20E(X)= “+ 2“&+ 2孑、则 Var(Y)=2)- £(Y)3= 2,即 0 = JVai(X) , “= E(X)- JVar(X),故8的矩估计人S*, &=F_S*5. 设总体为N«, 1),现对该总体观测n次，发现何上次观测值为正，使用频率替换方法求“的佔计. 解：因 p=PX> 0 =PX- p.>-p = 1 - (-/z)二，即“ =69)，故“的炬估计6. 叩、乙两个校对员彼此独立对同一本书

20、的样稿进行校对，校完后，甲发现a个错字，乙发现b个错字, 苴中共同发现的错字有c个，试用矩法给出如卜两个未知参数的估计：(1) 该书样稿的总错字个数；(2) 未被发现的错字数.解：(1)设N为该书样稿总错别字个数，且力、3分别表示甲、乙发现错别字，冇月与万相互独芷，则P)= PS)P(3),使用频率替换方法，即p = - = p = ,得N =, NN Nc故总错字个数N的矩估计力二:C(2)设上为未被发现的错字数，W P(AB) = 1 - P(y4U B) = 1 - P(A)- P(B) + P(AB),使用频率替换方法，即 = = 1- p +p = l- - + ,即Jc = N-a

21、b + c, NN N N故未被发现的错字数上的矩估计lc = N-a-b + c =匹-a-b + c.C7. 役总体X服从二项分布b血p),其屮” p为未知参数，兀&为X的一个样本，求加与p的矩估计.解:因 E(X) = mp Var (Y) = mpQ 一 p),则p亠诜 m=Er=故加的矩估计用二X2,p的矩估计p=i-习题631.设总体概率函数如F,，&是样本，试求未知参数的故人似然佔讣.(1) p(x;0) =血Nt, q<x< 1, &>0：(2) p匕&)=° , x>Cf c>0 已知.6> 1.解

22、：(1)因厶(&) = fl届仟 1心二访(¥2)"%“.,",1-1当 0 vxi.Q ，冷 < 1 时，In厶(0) = ln+ (V-l)ln(XjX2-xM) >2令也沪二需+击xAO,得力mg；.耳)，即“故&的最人似然估计&二Lln(&兀X(2)因亦严I铲=0”严(祸)宀打，“ '1=1当兀1,兀2» ， >c 时，lnZ(&) = nln&+z?&ln(7 -(&一 "lnCQX?兀.令""；?")= + nln

23、c-ln(x02 x”)= 0nln(XX2 :”)_ nine故&的最人似然估计芬1心兀X-Mlnc2. 设总体概率两数如卜為,“是样本，试求未知参数的最人似然估计.(1) pX,&) = c&Cx7'T), x>&, &>0, c>0 己知；1壬(2) p(jc;0、“) = c & , x >/z , 6> 0；0(3) p(£&) = (上&)7, 8vxv(上+1)&, &>0.解：(1)因=如)!卅 冷旷(牡耳)®.1=1显然&越大

24、，“越大，但只仔X1,X2, ,&>&时，才仃厶(8)>0, 即&= minX,X2, .,&时，Z(&)达到最大,故&的最人似然估计0 =如)=K，,耳：(2)因Zd菸宁s1-1 °1 WIn L(Oy/z) = -n In 刀 £ _n“kt-iIL显然“越人,令 dh"(&)do-解得 8 = Y -n/i =x-/i 心 丿eD越大,但只有g,£>“时,才有 Z(Qh>0,11即=minxi,X2> .,xw时，L©山才能达到最大,故“的最人似然估计力

25、= X(i)=ininX“K，,址, &的址人似然估计6 =壬-=壬-百沪(3 )因ZW=n (肱尸1心< 网厂(呦Ty W枷'!«1显然&越小，(肋尸越人，但只有&vxi,X2,&<+1)8时，才有Z(8)>0, 即0 = 7maxxi，x”，xJ时，Z(8)达到最大,Ar + 1"故&的址人似然估计为芬扫 = 亠 maxX，弘，X上 + 1 Zr + 11 *3. 设总体概率函数如卜，益,A；是样本，试求未知参数的最大似然估计.(1)於;0)=丄严，&>0；20 pX&)=l, 6-

26、 l/2<x< + 1/2；(3) p(x;0，2)= gig' qvxvQ.1 自 In L(O) =In2 - n In <9 -1V | x, |, 1” 1解：(1)因Z(0) =匸点严i=i 28人 d lnZ()1 1 乙| | pc 1乙| |故&的最人似然估计0 = -YXt:(2)【大1卫)=口1山如我=i»lB|J<9- l/2<x(i)<x()< <9+ 1/2,可得当x(n)- 1/2< <x(i)+ 1/2 时，都有Z(8)=l,故&的最大似然估计&是0c()- l/

27、2,x(i)+ 1/2)中任何一个侑：w 1 1 因zg)书乔Iqg = (g _幼I，显然內越大且内越小时.L0® 越大.但只有6|<xi.x2.时，才有ZG, &>0,即=minxi>X2, .>xnll2 = maxxi>X2> .xn时.Z(ft, 62)达到最大,故&i的最人似然估计玄=X(1)= minXi，X2,X”，62的最人似然估计02 =兀,)=max,匕,X样本中的石子数0134567810样品个数0167232621123104. 一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地门该地区取100个样品，每

28、个样品仃10 块石子，记录了每个样品屮属石灰石的石子数.假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石 的比例P的最大似然估计该地质学家所得的数据如卜解：总体X为样品的10块石子小属石灰石的石了数，即X服从二项分布3(10,p), K概率函数为is (10)即 In L(p)=ln说丿100 ( 100 工 x. Inp + 1000 一工 X； InQ 一p) 矿 I一 1000-|-i=i 1 100 1 100 匚r°得厂丽若I即帀而若尤100由 J xt = 0 + 1x14-6x2 + 7x3 + 1x9 + 0 = 499 »1=1故比例P的最大似然估计PX

29、499 = 0.4995.在遗传学研究中经常耍从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为PX = k;p=斗hQ-旷,上=1,2,，加若已知加=2, $，乙是样本，试求p的最人似然估计解：当心时，乂只能取仙或2,且篇诗卩心狞尹总，即 PX = x-p =A-12_Pr1因冷)=n(2-2'= I) “ p"2-P(2-才HP hiL(p) = 2n-xt ln(2- 2p) +(为 X； 一 n) lnp 一 M 111(2 - p),故p的绘人似然估计0 = 2-壬6.L1知在文学家潇们纳的"An Intelligent Woman*s Guide to Social

30、isin” T5屮，-个句J；的单词数X近似地服从对数正态分布，即Z = lnXNO,cr2).今从该书中随机地取20个旬子，这些句子中的单词 数分别为52, 24, 15, 67, 15, 22, 63, 26, 16, 32, 7, 33, 28, 14, 7, 29, 10, 6, 59, 30,求该书屮一个句子单词数均值=的瑕人似然估计.解：因 Z = lnXNO. q?),1 w 1 w 1则“的股人似然估计 /z = 5 = - Y = - V ln.x, = On52 + hi24 + +11130) = 3.09 , nn20b?的最人似然估计A 1 h 1y2 = C =-(

31、-1-r)2 = (ln52-3.09)2 + (ln24-3.09)2+ - +0n30-3.09)2=0.51,7.解:故由最大似然估计的不变性知E(X)=严呛的最大似然估计E(X)=严"=e3094051/2 = 28.31.总体XUg8),其中&> 0是未知参数，又如，&为取口该总体的样本，壬为样本均值. 证明0 = X是参数&的无偏估计和相介估计；求&的最人似然佔计，它是无偏估计吗？是相合佔计吗？因XU(&,28),有 =滋(*)=(笃"=涉,a 2_223八 2故E= =即 =土卩是参数&的无偏估计：333

32、23a 4_44 1aa因Vai(<?) = -Vai(Al = VarW =一L=,limE(0) = 0 , limVai() = 0, 99n9n 1227“故0 = Lx是参数8的相合佔计：J(1)(2)(1)13#w 1 1I大I L(&) =耳才&<2 =莎宀显然&越小，丄7越人，但只有&VX1,X2,-txn<26时，才有Z(&)>0, 0i|J= ymaxx1 ,x2, ,时，L® 达到最大，A11故&的最人似然估计为护=一*5)= 一皿XX”X2,*小22I人IX的密度函数为p(x)9分布凶数为

33、F(x) = X <0;0 <x <10x>10.pi(x-0)T则Xg的密度函数几(x) = nF(x)p(x) = 召0 <x v20;其他.因 £(%-&) =(_&)讼/严 dx =务(X - 0严缶0,有E34且可他_歼寸(一歼坐尹L毎讣M+1n + 2则 Vai(Z(M)八W(X(”) 0)=宀沪一77 + Z6> 刀+ 1丿(n + 1)2(h + 2)因期)=|E(S =册如°，(旳=扣他)=4(“+仇+ /， 故亦= *(”)不是参数&的无偏估计，应该修偏为0 =才是8的无偏估计,M lim EJ

34、 = lim 2n + 1 0 = 0 , limVai(*) = Um殳毋=0 ,p»2(n + l)i8«°4(并 + 1).(并 + 2) 1故&的最人似然估计 g 专忑)是参数&的相合估计.8.设X、,X,是来自密度函数为pg&) = eF, x >6的样本.(1)求&的最人似然佔计冰 它是否是相介佔计？是否是无偏佔计？(2)求&的矩估计玄它是否是相介估计？是否是无偏估计?解：(1)并工却卄8似然函数厶(0)=匸c"Y)I和K “ 打,析2 1=1显然&越人，c" 越人，但只右xi.

35、X2.时，才有Z(&)>0,即&=ming,X2, .,x”时，Z(&)达到最大,故&的址人似然估计& = X=nunXx，兀，,XJ ：因X的密度函数与分布函数分别为,x>0x<0.F(x)七宀0.x>0x<0.则X(1)的密度函数为H.-gY) Y、QP (x)=巾 - F(x)f p(x) = '0,x<0.可紂X(1)- 6服从抬数分布Expg15I大I E(X(D 丄 Var(1) -0) = 9 niTA11则 E(q)= E(X(1) = 0 + 扌 h 0 , Var() = Var(X(1)

36、=-0)=寺，故6=X“不是&的无偏估计；因 lim E) = lim 0 += 0 , limVar() = lim 2=0,n-coy )»->«n->» yT故6=Xq、是8的相介估计：(2)因总体X的密度函数为p(X,&) = ef Vx", AX- 6服从指数分布E“(l),则EQ- &)=EQC)n 即e=EQO- 1.故&的矩佔计必=乂-1;因 E(X) =1, Var(Y) = Var(Z- 6) = .A_A_1则 E0) = E(X) 一 1 = E(X) 一 1 = 0 , Var(&am

37、p;) = Var() = -Var =,nn故0,=X-1是&的无偏估计：AA因 lim EJ = 0 * limVar() = lim=0 »n->oo >i-HO m-HO n故6a是&的相介估计.9.设总体XExpQ®, Xi,，心是样本，&的矩估计和最人似然估计都是壬，它也是8的相合估计和无偏估il，试证明在均方谋差准则卜育在优壬的toil(捉示：占思瓦=辽，找均方決左垠小者).证：因X旳(1/&),有Eg=8. Var(X) = 2>且X的密度肉数为1-00.r, o o> <- X X故*底。即&a

38、mp;的矩估计为6 = 乂;因似然函数*)=号；J厂亍g Igw1 w3xi,X2, ,xn> 0 时，lnZ(0) = -M1110& i=i 令警专+寺冷得"谑L, 故&的最人似然估计也为b=x-.1fpW E(X) = E(X) = 0. Vai() = -Vai() = -,nn故X是&的无偏估计：因 limE(X) = 0 , limVar(X) = lim= 0 ,n->con->cort->oo故片是&的相介估计：_ _ _ 22设 0a=aX .E(0a) = aE(X)=a0 . Var() = cT N(X)

39、=-,n$则 MSE() = Var(片)+ E(X) - 6>2 = _+,nnArere2.(a2,、rMSE(2 ) = Var() + E©)-0=+ (a 0 _ 0)= +a 2a+ 1nn丿故当"时，Oa= X的均方谋差MSE)= 小J； X的均方谋差MSE&) = n + lm+1n + 1n17#10. 为了估计湖中有多少条他，从中捞出1000条，标上记号后放冋湖屮，然后再捞出150条角，发现其中有10条負符记号.问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率址人？解：设湖中冇N条鱼，冇湖中每条鱼带记号的概率为p =,N150

40、看作总体X服从两点分布b(l,p),从中抽取容最为150的样本址蚣350，仃工x, =10,1=4 »FtZ 叼( n i-lk !«1令如型£和丄+* I-l P似然换数厶二口”“一卩卢丐=卩"Q-P)z ，有lnZ(p) = xf lnp+ln(l-p), =o,得x,=x,即p的最人似然估计为p=x t lp怡因N =,由最人似然估计的不变性知力二嚳，PXa1000故湖中£N= :=15000条他时.才能使150条角中出现10条带记号的角的概率最人.xlO15011证明：对正态分布叫卉 若只冇一个观测值，则的最人似然估计不存在.£

41、;吁证：若只有一个观测值，似然旳数厶亏,yjlna对J：任一固定的6当“ =X时，£«)取得最大值/ 1，V27TCF但显然O越小，越人，且7可任意接近0,即不存在最人值, yjlTial2na,故“，b?的最大似然估计不存在.1.习题6.4役总体概率函数是pn，如，恳是其样本，是&的充分统计瓦 则对g(&)的任一佔计g，令g =证明：MSE)WMSE).这说明，在均方谋旁准则卜，人们只需要考虑基于充分估计量的估计.解：因 = ET),由 Rao-Blackwell 定理知 E) = E(g), Var() < Var(g),故MSE(g) = Var

42、) + E(g) -g(0)F S Var) + 口g)g(0)F = MSE).2. 设石，D分别是&i, &2的UMVUE，证明：对任意的(菲零)常数a, b,al + bT2 ni a6x + b62的UMVUE. 证：因Ti,72分别是&1,內的UMVUE,有 £(Ti) = 6 , 5(72)= &2，且对任意的满足 E® = 0 的卩都有 Cov ，<p) = Cov(7b, <p) = 0,则 E(aT + bT2)= aE(Ti) + bE(T2)=a3i + b&2 L Cov (aTi + bT?, c

43、p) =a Cov (7i，初 + b Cov (T2, ©) = 0, 故 aTi + bD 是 a61 + b62 的 UMVUE.3. 设 T是g(&)的 UMVUE, g 是g(&)的无偏佔计，证明，若 Var(g)v+s,则 Cov(T,) >0 .证；因g和T都是g(&)的无偏估计，冇E(g) - E(T) - g(0),即T)0,乂囲 T 是 g 9)的 UMVUE,有 Cov(T, g - T) = 0 ,即 Cov(T, g) - Cov(T, T) = 0,故 Cov(T,g) = Cov(T,T) 04. 设总体X,Xn为样本，证明

44、，* =S2=另分别为n 1=1«-l ,=1的 UMVUE.证：因XNQi,y),有壬是“的无偏估计，S，是c/2的无偏估计，R样本Xi,X”的联合密度函数为对W = 0两端关J：“求偏导数，得3“口"士備-叨)"甬皿如俎= 4-/M =二曲®-/ESU AE(X<p),(TG(X则 E(X( = 0 , Cov(X © = E(X( - E(X) E(© = 0 ,故X =工疋是“的UMVUE：X4 E(X< = 0两端再关J：“求偏导数.得警為mm耗 匸第吨=花士££9 士備w)y壮"&

45、quot;I九=二可(牙-“)牙奶=-4£(X>) - HE(X=二E賦妨,则 E(X2(p) = 0 点叫.俎对(伍6忆() = 0两端关J：/求偏导数，得=C £> 舟(g X： - 2 庇“+ 眩(y/ln(r)n2a4(伍卅xf-2 叩 Eg +=(厉？ ”X；，EX；-nX2 ,有 E(S切=i-l)-nE(X2( =0,19#则 Cov(s(p) = EQ)(p) - E(S2) E® = 0,1 n_故 S?=y (V - X)2 是/的 UMVUE. 1筒5-设总体的概率两数为於Q，满足定义65条件，若二阶导数缶用M-切的存在,*黑证明

46、费希尔信息®7() = -£证:因却吓十寻,知吓嶋故囚Xrllipde-匕荻十2dx#6.(1)(2)解:(1)似然函数l(o)=n时 w=on(杯 人严也. y当 0 vxxa v 1 时，lnZ(&) = nln&+ (8- 1)In令彎么才Sf,得"宀，即亠 de 61吩心盖)为hgD必* 1«1故g(8)=l/&的址人似然佔计为g = l/=-丄f h必：(2)因 £(lnX) = Inx 0xfildx = f lnx d(x&) = x"lnxj一fx" *dx = -十'

47、£0n A)3 = f Qnx)2 加dx = f (lnx)3(x<，) = x*(lnx) - f= -£(lnJf) = -4X则 VarQn X) = EQn X)2- £(ln X)f1 M1可得 E) =-一工 E(lnXJ = - n w i-ini1 w=_ =、即g =-工h】/是g(&)的无偏估计,&n i-i1 n 1 1 1且 Vai )=庐£ Vai (ln)二庐 n 歹二帝，Wp(y, 0)= 6xe11o<a< i» 当 0 vx v 1 时，InpX &) = ln&am

48、p;+(l)lnr , 则Inp(x;) = + lnx . -rlnp(x;) = -ir,即 1(8) = -dO0d0"lg;0)洛可得g(8)= 1/8无偏估计方差的C-R卜界为【了F -nI(O)0 丿 _ 吕r = Var(g), n0(&)+J=-/w.设总体密度函数为p(X&) = &x1,OVXV 1, 8>0, Xi,，竝是样本. 求g(e)= i/e的最人似然估计； 求g(&)的有效估计.7.7.1 m故g = _丄工山尤是g(8)=i/&的有效估计. n i=i设总体密度两数为p(x;&) 吕c 7,x&g

49、t;0. &>0,求8的费希尔信息吊"(&)xIQn解:因p(x;0) = jc T»o ,当x>0 时，lnp(x;&) = ln2 + ln&-31nx57.则令吓(询专J,知吓(诃"存故 1(0) =-E 务np(x；&)Ou1= F-#8.设总体密度函数为pg &) = 6cex】).x >° c > 0已知，6> 0.求&的费希尔信息最心). 解：因 p(xt 6)= 6cex'e Ix>c» 当 x> c 时，lnpg, &am

50、p;) = h&+&lnc -(8+l)lnx ,贝|J111P(X； ) = i + 111 C - 111X , 爲由卩阳)“土，故 I®=-a-#9.解:可得W)=-兽 np(X;0) OU1X_2F 歼丿=歹+(i_g)f 心_2，设总体分布列为PX=x=幺- 1) &"I 一 =兀=：3,o v &v 1,求&的费希尔信息杲/(&) 因pg &) = (r 1) &'(I -右lnpX &) = ln(r 1)+21n&+(x2)ln(l - &),则滸吓3)今莒,嘉吹

51、g “存講'#-K©Ko-k© j2j2因陀9 = 2?.仇一1)毋(1一0严=0迟务(1一刎=俨 为Q-即jt=2z dBatf Q 一好'"呼f2+J1_Q_&Ldo-冷丿22 1故如尹而儿2沪(1 一 &)#10.2nvaTV如洛弓知肖,则-lll /2(X；兄)=号X ,务lnp(xM) = 一手,即 Z(A)=-£a?hip(XM)=牙'设Xx.-.Xn是來自Ga(d刃的样本，a>0 dilh试证明，戈/a是g=1/兄的有效佔计，从而也 是 UhfZUE.证：因总体XGaa 小有 E(X) = j

52、, Var(A3 = y,则/| =丄£(¥) =丄E(X)二丄冬二丄= g(2)，即兰是gX) =丄的无偏估计, aQT c"41Ia>0 t 当x>0 时，lnp(r. A) = alnA- lnT(a) + (a- l)lnx Ax,可得g(4)=l/4无偏估计方差的C-R下界为0- I启1x a Yicui宀,aJV1故仝是g(A) = ±的有效估计，从而也是UMVUE aA11. 设X1,X丄d N(a,/),彳，yj.i.d N0, 2/),求d 和P的 UMVUE. 解：根据充分性原则，UKIVUE必为充分统计駅，先求参数(a,

53、 <72)的充分统计帚因样本Xi,X林X ,，Yn的联合密度怖数为m _(*：)'”一®)'pg,话力,儿;“)=耳屈c 3 耳伍 屁""1(近严(后严并噹珂沙HF(VI严(后严mj nm >1 w2 >-li-12 帀 丿23#r15»)a3则p(x】m,，儿;a,b)=(血严 丽旷j c q2无关,r1Q-2afi-KnHOj5n）aIUg（»2；a,b）=（迈）z（扁），士 ° "，力（xi,，心”，,）= 1 与参数久mI nmi nm + 0.5nmX+O.SnY nt + 0.5

54、n 丿可得(£,=工H+t工乡，工打+t工罗是参数Qj)的允分统计钦 l*T2 jT *T2 7-1 yw1 w因 Eg =工 EQG + 牛工 Eg） = （m + Q.5n）a ,有 E1-1/ J1耐.mX+0.5nY 门只畑 -r/z+u则a =厂一是参数Q的无偏估计，m + 0.5n对任总:的满足 E(p) = 0 的统计'il.vCvi,x”i,yi, ,”!)，"E=(后)十工 £炉°穴"f 京40""此心”如如=0 .则K/ c即轴改Mi如=o,两端关丁中求偏导数，得f 匸°.-dxy =

55、0 ,即£/L/i0c “此俎如殂=0.#则 Eg) = 5 何 =£(7<0 = 0 即 Cov(a, (f) = E(a(f) - E(a)E(f) = 0 >m + 0.5nt&a =加F+OP)n + 0.5n是参数a的 ULIVUE：#mi nnti n因 E(g)=工 E(X；) + -Y 览疔)=(/ + a2) +(2, + a2) = (m + n)a2 + (m + 0.5n)a2 ,i=i2 J=ii=i2 ；=i乩 E(7；') = F(G +忆(GF = f Var(&) + +£ Vary)+(加+ 0.5n)aimq=(?» + 0.5 刃)cr2 + (m + 0.5n)2a2,则#_k m + 0.5ny=(?n + w-l)a2 加 + n -1m + 0.5n#可知p是参数/的无偏估计，因0 丄0°2- - - dxmd） - - - d） = 0 .两端关9?求偏导数，得 - c-(t2-lati)dxl-dxmdy1 -dyn = 0 ,即0"1"2-2靖）卩7亦八旳缶叽咖九则E-力门）切=0,直E©-SE© = 0,可得E（鸟%） = 0, 又因匚匸2旳心詞）分” =0 ,两端关于Q求偏导数，得c好“宀&