13型压电纤维复合材料薄壁梁

1、school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa1-3型压电纤维复合材料主动薄壁型压电纤维复合材料主动薄壁梁理论及其力学特性分析梁理论及其力学特性分析赵寿根赵寿根航空科学与工程学院航空科学与工程学院school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaaq 薄壁梁是指横剖面的厚度尺寸远比

2、宽度和高度小得多的薄壁梁是指横剖面的厚度尺寸远比宽度和高度小得多的梁结构。按结构剖面形状分，薄壁梁分为开口薄壁梁梁结构。按结构剖面形状分，薄壁梁分为开口薄壁梁(如如工字梁等工字梁等)和闭口薄壁梁和闭口薄壁梁(如盒形梁等如盒形梁等)，其中闭口薄壁梁，其中闭口薄壁梁又分为单闭室梁和多闭室梁。又分为单闭室梁和多闭室梁。q 由于薄壁结构可以减轻结构自重，合理利用材料，并且由于薄壁结构可以减轻结构自重，合理利用材料，并且使得结构外形美观，所以工程中大量采用薄壁构件作为使得结构外形美观，所以工程中大量采用薄壁构件作为承力部件。承力部件。q 其典型的应用领域有航空航天其典型的应用领域有航空航天(机翼和直升机

3、的旋翼是典机翼和直升机的旋翼是典型的薄壁结构型的薄壁结构)、船舶、车辆、起重机和高层建筑等。薄、船舶、车辆、起重机和高层建筑等。薄壁梁在工程中的使用，不可避免的会遇到振动、噪声和壁梁在工程中的使用，不可避免的会遇到振动、噪声和结构优化等问题，由此也就引出了薄壁结构的振动和形结构优化等问题，由此也就引出了薄壁结构的振动和形状控制等问题，特别是薄壁结构的扭转振动和扭转形状状控制等问题，特别是薄壁结构的扭转振动和扭转形状控制。控制。q 如固定翼飞机在进行巡航飞行时，适时改变机翼的扭曲分布可以如固定翼飞机在进行巡航飞行时，适时改变机翼的扭曲分布可以提供最小的诱导阻力，在大攻角飞行时，较小的扭转角可以使

4、得提供最小的诱导阻力，在大攻角飞行时，较小的扭转角可以使得飞机保持良好的滚动性能；飞机在突风中飞行时，不时的变化机飞机保持良好的滚动性能；飞机在突风中飞行时，不时的变化机翼的扭曲分布，可以延长机翼的使用寿命。旋翼型飞机，通过增翼的扭曲分布，可以延长机翼的使用寿命。旋翼型飞机，通过增加扭转变形达到抵消诱导弯曲曲率的目的，从而使得其振动情况加扭转变形达到抵消诱导弯曲曲率的目的，从而使得其振动情况得到大大改善。得到大大改善。q 以前在解决这类问题时基本上是通过控制薄壁梁的材料构成、铺以前在解决这类问题时基本上是通过控制薄壁梁的材料构成、铺层形式、几何截面形状和添加附加配件等被动的方法得以实现或层形式

5、、几何截面形状和添加附加配件等被动的方法得以实现或勉强实现，这样解决引出的问题有勉强实现，这样解决引出的问题有(1)结构的机构越来越复杂，结构的机构越来越复杂，(2)效果较为有限。随着材料科学的发展，薄壁梁在工程使用中改变效果较为有限。随着材料科学的发展，薄壁梁在工程使用中改变这种局限性成为可能，同时也出现了一些这方面的研究这种局限性成为可能，同时也出现了一些这方面的研究q 美国美国nasa langley 研究中心有一个新的为期研究中心有一个新的为期6年的研究计划，称年的研究计划，称之为飞机形态之为飞机形态(morphing)研究计划，在飞机机翼和机身内集成各研究计划，在飞机机翼和机身内集成

6、各种智能材料，以便最大限度地改善飞机的操作性能。种智能材料，以便最大限度地改善飞机的操作性能。lazarus k b等提出了采用应变驱动来控制机翼变形的方案。等提出了采用应变驱动来控制机翼变形的方案。n s khot等提出等提出了在有副翼的条件下通过在机翼内部引入控制力控制机翼的变形了在有副翼的条件下通过在机翼内部引入控制力控制机翼的变形得到合适的反对称弯曲和扭转变形的方法。得到合适的反对称弯曲和扭转变形的方法。barrett采用分布式压采用分布式压电陶瓷片使得薄壁梁产生扭转变形，以达到提高升力的目的；电陶瓷片使得薄壁梁产生扭转变形，以达到提高升力的目的；chen等在薄壁桨叶模型上下表面年贴的

7、压电陶瓷使得结构产生扭等在薄壁桨叶模型上下表面年贴的压电陶瓷使得结构产生扭转变形。但他们的研究结果显示采用纯压电陶瓷片使得结构产生转变形。但他们的研究结果显示采用纯压电陶瓷片使得结构产生扭转的效果微乎其微，很难以达到理想的效果。扭转的效果微乎其微，很难以达到理想的效果。 智能结构集成示意图 采用虚拟操作面技术的飞机示意图 1-3型压电纤维复合材料的出现使得这些研究工作进入了一个新的阶段，它良好的连续铺层和本体结构相容的性能，提供了一个智能结构集成的概念，它拉压，弯曲和潜在的扭转控制性能使得飞行器无副翼和无舵机的虚拟操作面技术成为可能，从而使得飞行器的机构大大减少，提高了它的可操作性，同时方便了

8、维护。 school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa 薄壁梁的薄壁梁的研究进展 为了设计所需性能的含为了设计所需性能的含1-3型压电纤维复合材料的主动薄壁梁，就需要一型压电纤维复合材料的主动薄壁梁，就需要一个可靠的，精度较高的和易于操作的主动梁分析模型。个可靠的，精度较高的和易于操作的主动梁分析模型。 vasilan等研究了各向异性材料的薄壁梁自由扭转问题，其模型的主要特等研究了各向异性材料的薄壁梁自由扭转问题，其模型的主要特点是假

9、设结构受载时，剖面在固有平面内不变形，轴向应力和曲度为零；点是假设结构受载时，剖面在固有平面内不变形，轴向应力和曲度为零； gjelsvik a等结合圣维南原理假设闭室薄壁梁结构中面剪切变形的分布与等结合圣维南原理假设闭室薄壁梁结构中面剪切变形的分布与圣维南分布一致，建立了与开口剖面形式一致的闭室薄壁结构扭转综合圣维南分布一致，建立了与开口剖面形式一致的闭室薄壁结构扭转综合理论；理论； relifield等从能量原理推出了一个单闭室盒式薄壁梁模型，考虑了横向剪等从能量原理推出了一个单闭室盒式薄壁梁模型，考虑了横向剪切和约束扭转翘曲的影响；切和约束扭转翘曲的影响； 邓采用高次翘曲理论对复合材料薄

10、壁结构的限制扭转力学特性进行了分析邓采用高次翘曲理论对复合材料薄壁结构的限制扭转力学特性进行了分析和研究。和研究。 本次课讲授研究内容本次课讲授研究内容 目标：为了设计所需性能的含为了设计所需性能的含1-3型压电纤维复合材料层主动型压电纤维复合材料层主动薄壁梁，需要一个可靠的，精度较高的和易于操作的主动梁薄壁梁，需要一个可靠的，精度较高的和易于操作的主动梁分析模型。分析模型。 内容：(1) 在考虑扭转翘曲影响的情况下，推导含在考虑扭转翘曲影响的情况下，推导含1-3型压电纤型压电纤维复合材料层的薄壁梁的几何方程、本构方程和静力学控制维复合材料层的薄壁梁的几何方程、本构方程和静力学控制方程。方程。

11、 (2) 分析采用四种典型铺层情况下的主动薄壁梁在控制电压作分析采用四种典型铺层情况下的主动薄壁梁在控制电压作用下产生的主动力和变形模式。用下产生的主动力和变形模式。 (3) 分析矩形截面主动薄壁梁的翘曲参数对它的扭转特性的影分析矩形截面主动薄壁梁的翘曲参数对它的扭转特性的影响程度，为主动薄壁梁结构和几何构成的优化提供了参考和响程度，为主动薄壁梁结构和几何构成的优化提供了参考和依据。依据。 school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, bua

12、a 2.1 考虑扭转翘曲影响的主动薄壁梁的几何方程考虑扭转翘曲影响的主动薄壁梁的几何方程ba如下图所示薄壁结构，其坐标系如图所示，x-y-z为固定的整体坐标系，x平行于梁的轴线。x-s-n为梁剖面中线上的流动坐标系，其中x平行于梁的轴线，s为切线方向，顺时针为正，n为法线方向，从内指向外为正。 q 由于闭口截面相对抗扭刚度较大，当薄壁结构受载时，一般由于闭口截面相对抗扭刚度较大，当薄壁结构受载时，一般来说薄壁结构横剖面形状在剖面固有平面内不变形，因而在来说薄壁结构横剖面形状在剖面固有平面内不变形，因而在推导主薄壁梁的基本方程时，可以假设薄壁结构横剖面形状推导主薄壁梁的基本方程时，可以假设薄壁结

13、构横剖面形状在剖面固有平面内不变形。同时由于在剖面固有平面内不变形。同时由于n方向的正应力远小于方向的正应力远小于其它两个方向的正应力，因而可将其忽略不计。综合上面的其它两个方向的正应力，因而可将其忽略不计。综合上面的假设和化简其力学表达式可以表示为假设和化简其力学表达式可以表示为 0000 xnsnns同时注意另外两个应变同时注意另外两个应变 xxs不为0。 (1)xdsdynzxvsxv)(),(000 xdsdznyxwsxw)(),(000zydsdznydsdynzxusxu)(),(00000)()(xfs(1) 薄壁梁上任意一点位移表达式的推导 设a为薄壁梁截面中线上任意的一点，

14、它在整体坐标系中坐标为(x0,y0,z0)，在a点处有以改点为原点的流动笛卡尔坐标系x-s-n，则薄壁梁截面上的任意一点b可以用流动坐标系唯一确定，它在流动坐标系下的坐标为(x0,s,n)。由以上可以推导出薄壁梁上任意点b的在整体坐标系下的位移(u,v,w)与中面平动位移u0(x)、v0(x)和w0(x)及其转角x， y和z的关系为: (2)q s和和n坐标下切线位移：坐标下切线位移： 202000000000)()(),(dsdzndsdyndsdzyxwdsdyzxvdsdzwdsdyvsxuxxxxt(4)式2中 )()(xfs项为翘曲项对u的贡献项，其中 )(s为剖面周线翘曲形函数，f

15、(x)为x轴翘曲函数。只考虑扭转翘曲的情况下，忽略二次剪应力对扭转变形的影响，翘曲函数f(x)，可以取： xxxf,)(3)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaaq 简化：当简化：当nz0,y0时，式时，式2简化为：简化为：)()()(),(000 xfsyzxusxuzyxzxvsxv00)(),(xyxwsxw00)(),( 4式化简为： dsdzyxwdsdyzxvsxuxxt000000)()(),(5)(6)(2)

16、薄壁梁扭转翘曲形函数的求取薄壁梁扭转翘曲形函数的求取 非圆截面杆件或梁扭转时，其横截面将由平面变成曲非圆截面杆件或梁扭转时，其横截面将由平面变成曲面，即产生翘曲现象。为了得到了薄壁梁上任意点的面，即产生翘曲现象。为了得到了薄壁梁上任意点的位移函数首先需确定其剖面周线翘曲形函数位移函数首先需确定其剖面周线翘曲形函数(s)(s)，由由vlasov的剖面刚性假设可得周线剪切变形为的剖面刚性假设可得周线剪切变形为0，以，以此可推导出剖面的翘曲形函数。此可推导出剖面的翘曲形函数。 单位长度上的剪力称为剪流，其表达式如下式所示：单位长度上的剪力称为剪流，其表达式如下式所示： tgtqxs由前面的推导可得薄

17、壁梁面内剪应力为：由前面的推导可得薄壁梁面内剪应力为： xsxussxutxs),(),(代入式代入式7中有：中有： (7)(8)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaatyzzygtnyzzygtnyzzygtdsdywdsdzvgtxusugqxxssxxsxxssxxsxxxxssxxsxxxxss, 00, 00, 00, 00, 00, 00,0,0,)()()()(等式两边对薄壁梁周线求积分有： dsyzzydsyz

18、zydsgtqssssxxsxxssxxss0, 00, 00,0, 00, 00,0)()(又有：0,dssxxssxxdsyzzy, 00, 00,2)从而有：xxsssxxdsyzzydsgtq, 00, 00,2)(9)(10)(11)(12)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa得： 2,dsgtqxx其中为截面封闭区域的面积。代入上式10中有： (13)ssssdsyzzydsdsgtgts0, 00, 000)(

19、12)(14)即为所求的扭转翘曲形函数，其中为薄壁梁周线总长。如果薄壁梁各层各自的材料参数g和和几何参数 t沿周线为常数时，则： 11dsgtgt(15)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa上式上式14化为：化为： sssdsyzzyss0, 00, 00)(2)(16)(3)薄壁梁的几何方程薄壁梁的几何方程(推导应变和位移的关系推导应变和位移的关系) 由应变与位移的关系有：由应变与位移的关系有： xxzxyxxxxfsds

20、dznydsdynzxuxu,00,00, 0)()()(xxxyydsdynzxvxv,00, 0)(xxyzxxyxzxxtsxsdsyddszdndsdzwzdsdyvuu,202202,0,00,2)()(17)由铁木辛柯梁理论有：由铁木辛柯梁理论有： )(,zxxyv)(,yxxzw 从而：从而： xxyzxxxzxyxsdsyddszdndsdzdsdy,202202,002简化：当简化：当n为小量和薄壁梁各层材料参数及为小量和薄壁梁各层材料参数及t为常数时，上式简化为常数时，上式简化为：为： xxzxyxxxxfsyzxuxu,0,0, 0)()()(xxxyyzxvxv,0,

21、0)(xxxzxyxxxzxyxxyxzxxtsxsdsdzdsdydsdzdsdydsdzwzdsdyvuu,00,00,0,00,222)()(18)(19)(20) 2.2 主动薄壁梁的本构方程主动薄壁梁的本构方程(1) x-s-n坐标系下主动叠层板的内力应变方程 在x-s-n坐标系下，1-3型压电纤维复合材料的非主轴平面应力问题的本构方程化为： jxsssxxxsssxxnjplanejjxsssxxxsssxxeeeeqqqqqqqqqeeqeeetqrtrt662616262212161211211110(21)school of aeronautical science and

22、engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaaq为面内刚度矩阵， e的表达式为： 2221sincosplanejplanejxxeee2221cossinplanejplanejsseeecossin)(21planejplanejxseee同理可得含1-3型压电纤维复合材料的叠层板在x-s-n坐标系下的内力应变方程化为： axsassaxxaxsassaxxxsssxxxsssxxxsssxxxsssxxmmmnnnkkkdbbammmnnn000(22)(23)school of aeronaut

23、ical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa其中： mikkkkkkkkkkkkjaxxassaxxaxsassaxxnnnnnnnnnnnneemmmnnn1212212212111,),(式中： 1iiinnt为第i层的厚度 )(211iiinnn为第i层中面层的n坐标值 k为主动壳共有k层，其中主动层为m层 上标a为active的简写，这些相应的参数为主动层的参数。 对于薄壁梁，根据刚性剖面假设可得： 0ssn0ssk0 xsk(2) 含1-3型压电复合材料的闭

24、剖面薄壁梁及其内力应变方程 (a) 主动薄壁梁的内力 从而23式的内力-应变方程可简化为： (24)axxaxsaxxxxxsxxxxxsxxmnnkaaaaaaaaamnn00332313232212131211(25)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa用矩阵形式表示为： anan0式中：222121111aaaa2226121612aaaaa2212121113ababa222266622aaaa2212261623a

25、baba222121133abdamiiijissiijixxassaxxmiiaxxaxxteeaateenaannn1)()(2212)()(22121)(miiijissiijixsassaxsmiiaxsaxsteeaateenaannn1)()(2226)()(22261)(miiijissiiijixxassaxxmiiaxxaxxteeabnteenabmmm1)()(2212)()(22121)(26)(2) 主动薄壁梁的内力应变方程 结合主动梁的几何方程、局部坐标系下的内力-应变方程和式25有： dsndssadsdsdzayadsyazadsaadszadsyaudsads

26、ndsdsdzdsdyadsadsdzdsdyadszyuadsndskadsadsadsnnaxxxxxzxysxxzsxysxaxxxzxyxxzxyxxxyxzxaxxxxxsxxxxx,11,013011, 013011,12, 012, 012,110,0,13,0012,0,0,11131211)()()(2)()2()(school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaadsyndsysadszyayyadsyayzadsya

27、azyayaudsyadsyndsyzyadsyazyadsyzyuadsdsdyndsdsdykadsdsdyadsdsdyadsdsdynqsaxsxxsxzsssxyssxsxzssxysxssaxsssxzsxysxsxzsxysxxxyxzxaxsxxxsxxxsy, 0, 012, 0, 023, 0012,2, 023, 0012, 022, 0, 0222, 022, 012, 0, 0, 0, 0,23, 0, 0, 022, 0,1200230220120)()()(2)()()2()(school of aeronautical science and engineeri

28、ng, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaadszndszyyadszazyadszszyuadsdsdzndsdsdzkadsdsdzadsdsdzadsdsdznqsaxsssxzsxysxsxzsxysxxxyxzxaxsxxxsxxxsz,0,0,0,0,23,0,0,022,0,0,0,01200230220120)2()(dsanayyadsaazyadsaszyuadsanakadsaadsaadsanmaxssxzsxyxsxzsxyxxxyxzxaxsxxxsxxxsx22)(2)2(2)(22222

29、, 0, 0,23, 0, 022,0,0, 012232212school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaadszndsdsdykadsdsdyadsdsdyadszndszkadszadszadsdsdymznmaxxxxxsxxaxxxxxsxxxxxxy0033023013001301201100dsyndszkadszadszadsyndsykadsyadsyadsdsdzmynmaxxsxxsxssxxaxxxxxsxxx

30、xxxz0, 033, 023, 013001301201100即整体坐标系下的内力-应变方程为： ： awazayaxazayaxxxxzxyxxxzxyxwzyxzymmmmqqnukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkmmmmqqn,77675747372717676656463626165756554535251547464544342414373635343323132726252423221217161514131211(27)简化：当薄壁梁截面正交坐标轴过截面的主惯性轴(无拉弯耦合)，且截面形状相对于正交轴对称时(无耦合

31、翘曲)，上式可简化为以下形式： awazayaxazayaxxxxzxyxxxzxyxwzyxzymmmmqqnukkkkkkkkkkkkkmmmmqqn,77663655254414363325221411000000000000000000000000000000000000dsnnaxxadsynqsaxsay,0dsznqsaxsay, 0dsnmaxsax2dsznmaxxay0dsynmaxxaz0dssnmaxxaw)(28)式中1111ak12142ak/422244akdssyaks2, 02222)(dsszsyaks)()(0, 01225dsszaks2, 02233)

32、(dsszak201155)(dssyak201166)(dssyszaks)()(0, 01236dssak21177)(dsnnaxxadsynqsaxsay, 0dsznqsaxsay, 0dsnmaxsax2dsznmaxxay0dsynmaxxaz0dssnmaxxaw)(school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa2.3 主动薄壁梁的静力学控制方程主动薄壁梁的静力学控制方程(1) 主动薄壁复合材料梁的总势能泛函为： wu

33、 式中u为为应变能： lxxwxzzxyyxxxzzxyyxxlsxzsxyxxlxsyzsxyxslxxxyxzxxxlxxxxxsxsxxxxmmmmqqundsdxzymdsdxzyndsdxszyundsdxkmnnu0,0, 0, 0,0, 0, 00,0,0,02)(29)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaaw为外力功： )()()()()()()(,*0,lmlmlmlmlwqlvqlundxmmmmwqvqu

34、nwxwzzyyxxzylxwzzyyxxzyx式中： (2) 主动薄壁梁的结构控制方程由最小势能原理有： 0)()(|)()(|)()(|)(|)()(|)()(|)()(|)()()()()()()()()(00,*00,*00,*0,00,*00,*00,*00,*0,*0,0,lzzzxzzzlzzlyyyxyyylyylxxwxxwxxxxwlxxwlxwlxxwxxlxxlzxzzlzlyxyylylxxlxwzzyyxxzylxwzzyyxxzyxlxxwxzzxyyxxzxzyxyxxdxmqmlmmdxmqmlmmdxmmmmlmmmmlmmdxqqlwqwqvdxqqlvq

35、vqudxnnlununlmlmlmlmlwqlvqlundxmmmmwqvqundxmmmmwqvqunwu(30)根据主动薄壁梁的位移边界条件： 0)0(u0)0(v0)0(w0)0(x0) 0(y0)0(z0)0(,xx则可以得到主动梁的平衡方程为： 0,xxxnn0,yxyqq0,zxzqq0,xwxxwxxxmmmm0,zyxyqmm0,yzxzqmm(31)(32)力的边界条件为： 0)(* nln0)(*yyqlq0)(*zzqlq0)()()(,lmlmmlmxwxwxx0)(*yymlm0)(*zzmlm0)(*wwmlm (33)school of aeronautical

36、 science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa简化：当无外力作用，只考虑内部主动力作用时，简化的控制方程为： axxxxxxnkuk,14,11axyxxyxxyqkk,25,22axzxxzxxzqkk,26,33axwaxxxxxxxxxxxxmmkkuk,77,4414,axyxxyxxzmkk,55,25axzxxzxxzmkk,66,36(34)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of

37、aeronautical science and engineering, buaa 3.1 采用四种典型铺层的主动薄壁梁在控制电压采用四种典型铺层的主动薄壁梁在控制电压下产生的主动力及变形模式下产生的主动力及变形模式(1) 主动力主动力(2) 变形模式变形模式school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa对称铺层方式对称铺层方式1school of aeronautical science and engineering, buaa

38、school of aeronautical science and engineering, buaa对称铺层方式对称铺层方式2school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa反对称铺层方式反对称铺层方式1school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa反对称铺层方式反对称铺层

39、方式2能使主动梁参生扭转的铺层方式有：对称铺层方式2和反对称铺层方式1。 school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa 3.2 典型横截面主动薄壁梁在控制电压下的静态典型横截面主动薄壁梁在控制电压下的静态变形理论解变形理论解 能使主动梁参生扭转的铺层方式有：对称铺层方式能使主动梁参生扭转的铺层方式有：对称铺层方式2和反和反对称铺层方式对称铺层方式1。(1) 矩形界面矩形界面abtschool of aeronautical scie

40、nce and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa)(2111111baaakabaak12121422)/()(2422222244baabaakbadssyaks222, 022222)(abaadsszsyaks12120, 01225)()(aadsszaks222, 022332)(abbaaadsszak363)(221120115563)(211201166babadssyakabadssyszaks120, 01236)()(baabbaadssak24)(222112117

41、7(35)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa(a) 对称铺层方式2 bateeteedsteedsnnmiiijixxmiiijixxmiiijixxaxxa 1)()(1)()(1)()(2 miiijixsmiiijixsmiiijixsaxsaxteeabteedsteedsnm1)()(1)()(1)()(2222 miiijixxmiiijixxaxxawteebaabdsteedssnm1)()(1)()(2)

42、(0,0,77,4414,14,11axwaxxxxxxxxxxxxaxxxxxxmmkkuknkuk(36)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa将36第一式代入第二式中得： 11,14,77,1121444knkmmkkkkaxaxwaxxxxxxxxxx对37式两边进行积分得： (37)xaxxaxwxaxxxxxxxxxxxxdxknkdxmdxmkdxkkk011,140,0,0,770,1121444/(38)当主

43、动梁一端固支时38式可化为： 1114,77,1121444knkmmkkkkaawaxxxxxxx(39)式39的解由通解和特解构成。 school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa*通解 0,77,1121444xxxxxxkkkk方程40的特征方程为： (40)03771121444rkrkkk式41的三个根分别为： 01r2r3r 其中：(41)771121444/ kkkk(42)school of aeronautical

44、 science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa从而39式的通解为： xxxrxrxrxeeeee3213211321*特解 方程39的特解为： 112144411142/kkkxknkmmaawaxx*方程的解 方程37的解为： 1121444111432121/kkkxknkmmeeaawaxxxxxx(43)(44)(45)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical s

45、cience and engineering, buaa它有三个未知量： 1 、 2 和和3。对于一端固支的主动薄壁梁，其边界条件为： 0)0(x0)0(,xx0)(,lxxx (46)将式45代入边界条件46式中可得： )1 (1/22112144411141llaawaxeekkkknkmm school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa)1 (/22112144411142llaawaxeekkkknkmm)1 (1/21121

46、44411143ekkkknkmmaawax(47)从而得到对称铺层方式2的主动薄壁梁在控制电压下产生的扭转角为： miiijixsmiiijixsmiiijixsaxteeabteedsteem1)()(1)()(1)()(222(48)school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa(b) 反对称铺层方式1 miiijixsmiiijixsmiiijixsaxteeabteedsteem1)()(1)()(1)()(222)1 (1

47、/2)1 (1/22)2(11214441)()(22)2(1121444llxxlmiiijixsllxxlaxxeeeexkkkteeabeeeexkkkm。按照上面对称方式2的主动薄壁梁的求解方式和步骤得到反对称铺层方式1在控制电压下产生的扭转角为： (c) 矩形截面的特例 当a=b时，矩形截面变成方形截面，主动薄壁梁无翘曲现象产生，即： 0awm077k和两者铺层方式的主动薄壁梁在控制电压下产生的扭转角分别简化为： 对称铺层方式2 aaaaxteeaateekkkxknkmmiiijixxmiiijixsaaxx11212221)()(11121)()(1121444111444/school of aeronautical science and engineering, buaaschool of aeronautical science and engineering, buaa反对称铺层方式1 aaaaxteekkkxteeakkkmmiiijixsmiiijixsaxx11212221)()(11214441)()(2112144444/4/(2) 圆形界面圆形界面rt对