安徽工业大学数值分析考试知识点总结

1、.安徽工业大学数值分析知识点总结第一章 绪论一、概念1有效数字资料上的定义设是的近似值。如果的误差限是它的某一位的半个单位，那么称准确到这一位，并且从这一位起直到左边第一个非零数字为止的所有数字称为的有效数字。具体来说，就是先将写成规范化形式，其中， 是0到9之间的自然数，为整数。如果的误差限，那么称近似值具有位有效数字。课件上的定义设是的一个近似数，表示为，每个（=1,2，）均为0, 1,2，9中的一个数字，如果，则称近似有位有效数字。2算法的数值稳定性资料上的定义一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，那么称此算法是数值稳定的，否则称此算法为数值不稳定的。课件上的定义一个

2、算法如果原始数据有扰动（即误差），而计算过程舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则，若误差增长则称算法不稳定。二、习题1计算1.41近似有几位有效数字。解：因为， ，所以，得，故近似有3位有效数字。2计算2.718近似有几位有效数字。解：因为， ，所以，得，故近似有4有效数字。3下列各近似值的误差限都是0.005，问各个近似值各有几位有效数字？1） 2） 3）解：1），由于，故，有3位有效数字； 2），由于，故，有2位有效数字； 3），由于，故，没有有效数字。第二章 方程求根的数值解法1证明的牛顿迭代公式为，并用此迭代公式计算，要求精确到10-6。证明与解：令，则它是方程的根 取，则代入

3、牛顿迭代公式得即当时，由于0，0，故选代入迭代公式解得，所以，2设方程的迭代法为 (1)证明对任意初始点，均有，其中为方程的根； (2)取，列出5次迭代值，并给出误差估计； (3)试给出方程求根的另一种迭代格式，并分析其收敛性。解：(1)迭代公式，则迭代函数为因为，是方程的根（即为的不动点）故，满足条件所以，迭代法()局部收敛即对任意初始点，均有，其中为方程的根。(2)迭代法，取，则，误差估计(3)构造迭代公式，则迭代函数为因为，是方程的根（即为的不动点）有，不满足条件故此迭代法()发散。第三章 插值法1已知函数，利用二次插值方法计算，并给出误差估计。解：已知被插函数，给出，则二次Lagran

4、ge插值多项式为 误差估计为所以，代入数据可解得2给定数据表如下，求作一个三次牛顿插值多项式，并计算的近似值。012313927解：利用差商表一阶差商二阶差商三阶差商则有代入数据，得所求三次牛顿插值多项式3设，列出节点上的差商表，并给出牛顿插值函数。解：利用差商表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商则有代入数据，得所求四次牛顿插值多项式整理得 4插值于下表012123110的自然样条函数定义如下：试确定此样条函数。第四章 数值微积分1求积分可得递推公式 给定初始近似值，试计算；问计算到时，其误差是多少？且分析该递推公式的稳定性。解： 则有 即 所以 即计算到时误差，利用此递推公式计算到第8步时，计

5、算误差扩大了390625倍，故该递推公式数值计算不稳定。2递推公式，若，计算到时误差有多大？这个计算公式数值稳定吗？解：即 所以，计算到时，误差即运用此递推公式计算到第10步时，计算误差扩大了9765625倍，显然，此计算公式数值不稳定。3用Romberg积分公式计算的近似值，计算到。解：令， 则， 所以有： 故有4用Romberg算法计算.解：利用Romberg算法及公式 得计算结果见下表00.3397852310.353083870.3575167520.357515200.358992310.3590906830.358726480.359130240.359139430.3591402

6、1与准确值比较，有6位有效数字，而只有3有效数字；与的结果相当，而要计算196个函数值，因此Romberg算法外推加速的效果是十分明显的。5证明求积公式具有三次代数精度，其中。证明：设，则有即当时，当时，即此时所以该求积公式具有三次代数精度。原命题得证。第五章 数据拟合1炼钢脱碳过程中钢液含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，下表是某平炉的生产记录，是含碳量，是出钢所需时间，试确定函数关系。12345165123150123141187126172125148 解：设线性拟合函数为，由，满足的条件 代入数据得解得 所求线性拟合函数为2已知一组实验数据1234544.5688.5权21311观察数据规律并画出散点图，给出最小二乘拟合曲线。第六章 解线性方程组的迭代法1已知线性方程组 (1)讨论用Jacobi和Gauss-Seidel法求解时的收敛性；(2)若(1)中方法收敛，则取为初始点计算到；(3)试写出另一种迭代格式，并分析其收敛性。解：(1)因为原方程组的系数矩阵A=+ =L+D+U所以 BJ=I-D-1A=因为| BJ |，所以解原方程组的Jacobi迭代法收敛。Gauss-Seidel迭代矩阵为 BG=-(D+L)-1U = 因为| BG|，所以解原方程组的Gauss-Seidel迭代法收敛。(2) 解原方程组的Jacobi迭代格式为解原方程组的