第五讲 矩阵的初等变换和矩阵的秩

1、12l一、3定义定义1下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换: ）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 4定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型

2、相同型相同 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或5等价关系的性质：等价关系的性质：；反身性反身性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对称性对称性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传递性）传递性（等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价二、等价矩阵6

3、特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；00000340003012042131（2）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元三、矩阵的标准形三、矩阵的标准形定义定义2.3.3:若对于矩阵的任一非零行，从该行的第一若对于矩阵的任一非零行，从该行的第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为0,则称这样的矩阵为则称这样的矩阵为行

4、阶梯形矩阵行阶梯形矩阵7定义定义2.3.4:一般地,称满足下列条件的行阶梯形矩阵为行最简形矩阵行最简形矩阵:(1) 各非零行的第一个非零元素都是1;(2) 非零元素所在列的其余元素都是0;例如例如:.0000010000100001,210010101001,100010001为最简形矩阵为最简形矩阵 8nmrOOOE定义定义2.3.5:一般地,具有下列形式矩阵称为 标准形矩阵标准形矩阵。9定理定理2.3.1 对于任何矩阵对于任何矩阵A，总可经过有限次初等，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形和行最简形矩阵。行变换把它变为行阶梯形和行最简形矩阵。标准形：初等变换化为总可经过有限次矩阵任何定

5、理 2 . 3 . 2Anm102.3.3 初等矩阵 l一、初等矩阵的概念l二、初等矩阵的应用l三、小结11定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵. .E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛.一、初等矩阵的概念 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 30. 2. 112对调两行或两列对调两行或两列、1

6、1101111011),(jiE行行第第 i行行第第 j，得两行，即中第对调)(,jirrjiE初等对换矩阵初等对换矩阵13，得，得左乘左乘阶初等矩阵阶初等矩阵用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行第一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵14，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111

7、),().( jiccjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵15 02乘某行或某列乘某行或某列、以数、以数 k，得行乘单位矩阵的第以数)(0 kriki 1111)(kkiE行行第第 i初等倍乘矩阵初等倍乘矩阵16；行行的第的第乘乘相当于以数相当于以数)(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第 i类类似似地地，左乘矩阵左乘矩阵以以AkiEm)( ).( )(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以17上去上去列

8、列加到另一行加到另一行列列乘某行乘某行、以数、以数)()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行第第j初等倍加矩阵初等倍加矩阵18，左左乘乘矩矩阵阵以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把19 ).()(ijnkccjkiAAkijE 列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第把把，其结果相当于，其结果相当

9、于右乘矩阵右乘矩阵类似地，以类似地，以1111112122221( ( )nijinijinmmimjmimnAE ij kaaakaaaaakaaaaakaa20 ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换. )()()(1kijEkijErkrkrrjiji 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。211 1 、定理、定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初

10、等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA二、初等矩阵的应用22 定理定理2 2 设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵.,2121llPPPAPPP 使使证证 , EA使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵存在存在的充分必要条件是

11、的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论,AE 经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变故故23241.利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：，有，有时，由时，由当当lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对）（初等行变换初等行变换1,),( AEEA252. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是: ;1 EAEA或或构造矩

12、阵构造矩阵 112,(,).A EAEAEAEAEEA 对对施施行行初初等等行行变变换换 将将 化化为为单单位位矩矩阵阵后后 右右边边 对对应应部部分分即即为为或或对对施施行行初初等等列列变变换换 将将 划划为为单单位位阵阵 后后对对应应部部分分即即为为,1EAA又1AEEA初初等等列列变变换换即，即，11121111121(),();llA PPPEE PPPA 26. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 27 11110001252001120121rr

13、23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r281. 求逆时求逆时,若用初等行变换必须坚持始若用初等行变换必须坚持始 终终,不能夹杂不能夹杂任何列变换任何列变换.2. 若作初等行变换时若作初等行变换时,出现出现全行为全行为0，则矩阵的行列式则矩阵的行列式等于等于0。结论：。结论：矩阵不可逆矩阵不可逆!注：注：29 . , 1BAXBAX 矩阵方程矩阵方程的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆

14、阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换30.1 CAY即可得即可得 , 1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果要求如果要求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换1,YAC YCA 矩阵方程矩阵方程31例例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若 343431312252321)(BA32 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr 33， 311

15、003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr 342.3.4 矩阵的秩l一、矩阵秩的概念l二、矩阵秩的求法l三、小结 思考题35. , 数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA 阶行列式，称为中所处所处置次序而在不改变改变元素个列交叉处交些行 ）,列（行中任取矩阵在kA,knkm,kkkAnm 2与与则位于这则位于这与与 一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩定义定义2.3.6: 矩阵矩

16、阵A的的k阶阶子式子式36. )(010等于零等于零并规定零矩阵的秩并规定零矩阵的秩的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数称为矩阵称为矩阵，那末，那末于于）全等）全等阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于设在矩阵设在矩阵ARArADrDrA .)( 子式的最高阶数子式的最高阶数中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩阵矩阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有. 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 定义定义2.3.7:37例例1.174532321的秩的秩

17、求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR38例例2.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一个行阶梯形矩阵，是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR39., 梯形梯形等行变换把他变为行阶等行变换把他变为行阶总可经过有限次初总可经过有限次初因为对于任何矩阵因为对于任何矩阵nmA 问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？ . ,1 BRARBA 则则若若定理定理二、矩阵

18、秩的求法40初等变换求矩阵秩的方法初等变换求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例43205032361 ,2015316414AA 设设求求矩矩阵阵的的秩秩阶阶梯梯形形矩矩阵阵：作作初初等等行行变变换换，变变成成行行对对A解解41 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 42 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 43 1281216011

19、791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 44 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr 45，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故.为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵46例例5 5 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bABB 的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为设设分析：分析：的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是