解析几何新题型的解题技巧总结

1、-精品 word 文档值得下载值得拥有 -第七讲 解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】 解析几何例 命题趋势：1. 注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考2. 考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现3. 考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题分值一般在17-22分之间，题型一般为1 个选择题，1 个填空题，1 个解答题.【考点透视】一直线和圆的方程1理解直线的斜率的

2、概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系3了解二元一次不等式表示平面区域4了解线性规划的意义，并会简单的应用5了解解析几何的基本思想，了解坐标法6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程二圆锥曲线方程1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4了解圆锥曲线的初步应用【例题解析】考点 1.求参数的值求

3、参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之 .例 1（ 2006 年安徽卷）若抛物线 y22 px 的焦点与椭圆x2y21的右焦点重合，则p 的值为（）62A 2B 2C 4D 4考查意图 : 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆 x2y 21的右焦点为 (2,0) ，所以抛物线 y22px 的焦点为 (2,0)，则 p4 ，故选 D.6 2考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手 ,找出点的坐标 ,利用距离公式解之 .例 2（ 2007 年四川卷文 )已知抛物线 y-x 2+3

4、上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A 、B ，则 |AB| 等于A.3B. 4C.32D.4 2考查意图 :本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线AB 的方程为 yx b，由yx23x2x b3 0 x1x2 1 ，进而可求出AB 的中点yx b-精品 word 文档 值得下载值得拥有-精品 word 文档值得下载值得拥有 -M (1 ,1b) ，又由 M ( 1 ,1b) 在直线 xy0 上可求出 b1，2222 x2x20 ，由弦长公式可求出AB112124(2) 32 故选 C例 3（ 2006 年四川卷）如图，把椭圆22xy1的长轴AB 分成 8 等份，

5、过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1 , P2, P3, P4 , P5, P6, P7七个点， F 是椭圆的一个焦点，则PF PF PF P4F PF PF PF_.123567考查意图 : 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.222解答过程：由椭圆xya 5.251的方程知 a 25,16PFP FPFPF PFP FP F72a7 a 7 5 35.12345672故填 35.考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(1)椭圆的 离心率 e c (0,1) ( e 越大则椭圆越扁);a(2) 双曲线的 离心率 e c (1, )

6、 (e 越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题 .a例 4（ 2007年全国卷）文（4）理（ 4）已知双曲线的离心率为2，焦点是 (4,0)， (4,0) ，则双曲线方程为A x2y21B x 2y 21C x2y21D x 2y 21412124106610考查意图 :本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程：ec2,c4,所以a2,b 212. 故选 (A).a小结 :对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例 5（ 2006年广东卷）已知双曲线3x2y29 ,

7、则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（）A.2B.2 3C. 2D.43考查意图 : 本题主要考查双曲线的性质和离心率 e c (1, )的有关知识的应用能力 .a解答过程：依题意可知a3,ca 2b23 9 23 考点 4.求最大 (小 )值求最大 (小 )值 , 是高考题中的热点题型之一 .其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大 (小 ) 值 :特别是 ,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答 .-精品 word 文档值得下载值得拥有 -精品 word 文档值得下载值得拥有 -例 6(2006 年山东卷 )已知抛物线2的直线与抛物线相交于A(x1,y1)

8、,B(x2,y2)两点，则22的最小值y=4x,过点 P(4,0)y1+y2是.考查意图 :本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小 )值的方法 .解 :设过点P(4,0) 的直线为 yk x4,k 2 x28x 164x,k2 x28k 24 x16k20,y 2y 24x1x2 48k 24162132.12k2k 2故填 32.考点 5圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心 .例 7（ 2007 年广东卷文）在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知圆心在第二象 限、半径为

9、 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点O.椭圆 x2y 2 =1 与圆 Ca 29的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（ 1）求圆 C 的方程；（ 2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点Q，使 Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段 OF 的长 .若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .考查目的 本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解答过程 (1)设圆 C的圆心为 (m, n)则 mn,解得 m2,n22 2,n2.所求的圆的方程为( x2)2( y2)28(2) 由已知可得2a1 0，a5 椭圆的方程

10、为x2y2右焦点为F(4,0);251 ,9假设存在 Q 点222 cos ,222sin使 QFOF ,22 2 cos222 2sin24 4整理得si n3 c o s，代入sin221 22cos2122 cos70,cos1228122221 得 :10cos1010因此不存在符合题意的Q 点 .例 8（ 2007 年安徽卷理）如图 ,曲线 G 的方程为 y22 x( y0) .以原点为圆心，以 t(t0)为半径的圆分别与曲线G 和 y 轴的正半轴相交于A与点B.直线AB 与 x 轴相交于点 C.-精品 word 文档 值得下载值得拥有 -精品 word 文档值得下载值得拥有 -（）

11、求点（）设曲线A 的横坐标G上点Da 与点 C 的横坐标为的横坐标 c 的关系式；a2 ,求证：直线CD 的斜率为定值.考查目的 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.解答过程 （I ）由题意知，A(a,2a ).因为 |OA | t, 所以 a22a t 2.由于 t 0,故有ta22a.（ 1）由点 B（ 0， t）， C（ c， 0）的坐标知，直线BC 的方程为 xy1.ct又因点 A 在直线 BC 上，故有 a2a1,ct将（ 1）代入上式，得a2a1, 解得

12、 c a 2 2(a2).c a(a 2)（ II ）因为 D (a 2 2(a 2) ，所以直线 CD 的斜率为kCD2(a2)2(a2)2(a2)1 ，a2ca 2( a22(a2) )2(a2)所以直线 CD 的斜率为定值 .22例 9已知椭圆 E : x 2y21(ab0) ，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦 AB 的中点，若以点 M(2,1) 为焦点，椭圆 Eab的右准线为相应准线的双曲线C 和直线 AB 交于点 N(4,1)，若椭圆离心率e 和双曲线离心率 e1 之间满足 ee11，求：（ 1）椭圆 E 的离心率；（ 2）双曲线 C 的方程 .解答过程：（ 1）设 A 、 B

13、坐标分别为 A(x 1 , y1),B(x 2 , y2 ) ，则 x 12y 121 ， x 22y 221 ，二式相减得：a2b 2a2b2ky1y 2(x 1x )b222b21(1)1，ABx1x2(y1y2 )a 2a2k MN2 4222222，则 e c2 ；所以 a2b2(ac ) ，a2ca21a2(2c)2（ 2）椭圆 E 的右准线为x2c，双曲线的离心率e12 ，cce设 P(x, y) 是双曲线上任一点，则：|PM |(x2)2(y1)22 ，| x 2c | x 2c |两端平方且将N(4,1)代入得： c1 或 c3 ，-精品 word 文档值得下载值得拥有 -精品

14、 word 文档值得下载值得拥有 -当 c1 时，双曲线方程为：(x2(y20 ，不合题意，舍去；2)1)当 c3 时，双曲线方程为：(x10)2(y1)232，即为所求 .小结：（ 1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（ 2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.考点 6利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.典型例题：例 10 (2006 年山东卷）双曲线C 与椭圆 x2y21有相同的焦点，直线y= 3x为 C 的一条渐近线 .84(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点P(0,4)的直线 l ，交双曲线C

15、于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（ Q 点与 C 的顶点不重合） .当 PQ1QA 2 QB，且128 时，求 Q 点的坐标 .3考查意图 :本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力 .解答过程：（）设双曲线方程为x2y21,a2b2由椭圆 x2y21,求得两焦点为 (2,0),(2,0)，84对于双曲线 C : c2 ，又 y3x为双曲线 C 的一条渐近线b3解得 a21,b23，a双曲线 C 的方程为 x2y 213（）解法一：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 .设 l 的方程： ykx4,A( x

16、 , y )， B (x2 , y2) ,则Q (4.11,0)kPQ1QA, (41 ( x14, 4), y1 ) .kk44x144( x)k 1k1k1k441y1y11A(x1, y1 ) 在双曲线 C 上，162(11 )21610.k111632 116 1216 k 2k 220.(16k 2 )1232116 16 k 20.33-精品 word文档 值得下载 值得拥有 -精品 word 文档值得下载值得拥有 -同理有： (16k2 )223221616 k 20.3若 16k20, 则直线 l过顶点，不合题意 . 16k 20,1,2 是二次方程 (16k 2 ) x232

17、x 1616 k 20.的两根 .312328,k24 ，此时0,k2.2163k所求 Q 的坐标为 (2,0) .解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程， ykx4, A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，则 Q (4,0).kPQ1QA，Q分 PA的比为1 .由定比分点坐标公式得411x1x14(1 1)k1k 1041 y1y14111下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程： ykx4, A( x1 , y1), B(x2 , y2) ，则 Q(4,0) .kPQ1QA2QB ，(4,4)1( x1 4 , y

18、1 )2 (x24 , y2) .kkk41 y12 y2 ，14 ， 24 ，y1y2又 128 ，112 ,即 3( y1y2 ) 2 y1y2 .3y1y23将 ykx4 代入 x2y21得 (3k2 ) y224y483k20 .33 k 20 ，否则 l 与渐近线平行 .y1y224, y1 y2483k2.3 k23 k 23242483k 2.k23k 23k2Q(2,0) .解法四：由题意知直线l得斜率 k 存在且不等于零，设l 的方程： ykx 4， A(x , y), B( x , y) ,则Q(41122,0)kPQ1QA, ( 4, 4)1( x14, y1 ).kk-

19、精品 word 文档值得下载值得拥有 -精品 word 文档值得下载值得拥有 -4k4.同理4.114kx14kx24x1k12448 .kx14 kx2 43即2k2 x1x25k( x1x2 )8 0 .（ * ）又ykx4x2y213消去 y 得 (3k 2)x 28kx190 .当 3k 20 时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，3 k 20 .x1 x28k由韦达定理有：k 23x1 x2193k 2代入（ * ）式得k 24,k2 .所求 Q 点的坐标为 ( 2,0).例 11（ 2007 年江西卷理）设动点 P 到点 A( l， 0)和 B(1，0)的距离分别为d1

20、和 d2， APB2 ,且存在常数 (0 1 ,使得 d1d2 sin2 （ 1）证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出C 的方程；（ 2）过点 B 作直线交双曲线C 的右支于 M、 N 两点 ,试确定 的范围 ,使 OM · ON 0,其中点 O 为坐标原点考查目的 本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解答过程 解法 1：（ 1）在 PAB 中， AB2，即 22d12d222d1d2 cos2 ，4 (d1 d2)24d1d2 sin2，即 dd244d dsin22 12 （常数），11 2点 P 的轨

21、迹 C 是以 A， B 为焦点，实轴长2a2 1的双曲线方程为：x2y 21 1（ 2）设 M (x1， y1 ) ， N( x2， y2 )当 MN 垂直于 x 轴时， MN 的方程为 x1 ， M (11)， N(1， 1)在双曲线上即 11121 015，因为01，所以5 1 122当 MN 不垂直于 x 轴时，设 MN 的方程为 yk (x1)x2y21得：0 ，由(1)k 2 x 22(1)k 2 x(1)( k 2)1yk (x1)-精品 word 文档值得下载值得拥有 -精品 word 文档值得下载值得拥有 -由题意知：(1)k 20 ，所以x1x22k 2 (1) ，x1 x2

22、(1 )(k 2) (1)k2(1 ) k2于是： y1 y2k 2 (x11)(x21)k 22(1)k2因为 OM ON0 ，且 M ，N 在双曲线右支上，所以x1x2y1 y20k2(1)(1)2 2151x1 x20211k 223x1x2021 01由知，51 2 23解法 2：（ 1）同解法1（ 2）设 M (x1，y1 ) ， N (x2， y2 ) ， MN 的中点为 E (x0， y0 ) 当 xx1时，22，MB110121因为 01 ，所以51 ；2当 x1x2 时，x12y1211x0 k MNx22y22y0111又 kMNkBEy0所以 (1) y0x0x0 ；22x01MN2MN22由MON22，由第二定义得12) 2a2得 x0y022e( xx2121 x02x01(1 ) 2 x0 11所以 (1) y02x022(1)x0(1)2 于是由(1) y02x02x0 ,得 x0(1) 2(1) y02x022(1)x0(1)2,23.因为 x01，所以 (1)21，又01，23解得：512 由知512 2323考点 7利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系