86多元函数微分学的几何应用24330

1、空间曲线的方程：空间曲线的方程：)()()(tztytxozyx设上式中的三个函数均可导设上式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面m.),(0000tttzzyyxxm 对对应应于于;),(0000ttzyxm对对应应于于m 问题：研究问题：研究 m 点的切线？点的切线？割线割线mm 极限位置极限位置切线切线zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxmm 割线割线 的方程为的方程为mm ,000zzzyyyxxx mm 的方向向量是什么？),(zyxt (1),0,时时即即当当 tmm曲线在曲线在m处的切线方程：处的切

2、线方程：.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttt 法平面：过法平面：过m点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt (1)式分母是什么？)(),(),(000ttt分分母母为为：例例 1：求求曲曲线线 : tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在 0 t处处的的切切线线和和法法平平面面. 解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x,

3、 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxm,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为特殊情况分析：特殊情况分析：切线方程为切线方程为切向量是什么？)(),(, 100 xxt)()(xzxyxx切向量为切向量为例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程. 1dxd

4、zdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 t所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz小小结结求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxf),(),(),(000tttt 曲线在曲线在m处的切向量处的切向量假设：在曲面上任取一假设：在曲面上任取一条通过点条通过点 m 的曲线的曲线,)()()(: tztytx 二、

5、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线ntm),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 令令则则,tn 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx讨论：为什么？是切平面的法向量是切平面的法向量n 通过点通过点),(000zyxm而垂直于切平面的直线而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的称为曲面在该点的法线法线. 法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 曲面在

6、曲面在m处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量法向量.特殊情况特殊情况：空间曲面方程形为：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在m处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxf 令令讨论：法向量是什么？ 若若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z轴的

7、正向所成的角轴的正向所成的角 是锐角，则法向量的是锐角，则法向量的方方向余弦向余弦为（单位法向量分量）为（单位法向量分量） ,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中单位法向量单位法向量如果法向量向下呢？例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4 , 1 , 2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624

8、 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解, 32),( xyezzyxfz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yfx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xfy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzef令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.解解设设 为曲面上的切点

9、为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 法向量是什么？)6 ,4 ,2(000zyx因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)讨论：为什么？小小

10、结结求曲面的切平面与法线关键是求曲面的法向量121)2 ( 3)2 ( 20202020 xxxx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在m处的切平面方程为处的切平面方程为),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在点在点),(000zyx处的处的切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量.三、全微分的几何意义三、全微分的几何意义空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲

11、面的切平面与法线求空间曲线的切线与法平面关键是求求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量切向量当空间曲线方程为一般式时，求切向量常常采当空间曲线方程为一般式时，求切向量常常采用用推导法推导法求法向量的方向余弦时注意求法向量的方向余弦时注意符号符号三、小结三、小结求曲面的切平面与法线关键是求曲面的法向量求曲面的切平面与法线关键是求曲面的法向量全微分的几何意义全微分的几何意义 思考题思考题 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求 .思考题解答思考题解答,2,2,6000zyxn 设切点设切点),(000zyx依题意知切向量为依题意知切向量为3, 3 3

12、2236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 一、填空题一、填空题 1 1、 曲线曲线2,1,1tzttyttx 在对应于在对应于1 t处的处的 切线方程为切线方程为_； 法平面方程为法平面方程为_._. 2 2、 曲面曲面3 xyzez在点在点)0 , 1 , 2(处的处的 切平面方程为切平面方程为_； 法线方程为法线方程为_._. 二、 求出曲线二、 求出曲线 32,tztytx 上的点上的点, ,使在该点的使在该点的切线平切线平行于平面行于平面42 zyx. . 练练 习习 题题三、球面三、球面6222 zyx与抛物面与抛物面22yxz 的交线在的交线在 )2 , 1 , 1( 处的切线方程处的切线方程 . . 四、求椭球面四、求椭球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程. . 五、试证曲面五、试证曲面)0(