二重积分的计算法80863

1、第二节 二重积分的计算法,df x y d一一 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分 利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。ddxdy面积元素面积元素xy积分区域积分区域bax0 12yxdyxybax0 xydxy21y 12:,dxyxaxbx-型区域1( )xy2( )xyyxoddccd1( )xy2( )xyxoyd 12:,dyxycydy-型区域bax0 12yxdyxycd1( )xy2( )xyxoydcd1( )xy2( )xyxoyd1( )xy2( )xyyxoddc1( )xy2( )xyyxoddc(

2、 , )zf x y2( )yx1( )yxxyzab0 x0()a xo21( )( )( , )( , )bxaxdf x y dxdydxf x y dy 12,xyxaxb设d（x型）：201000,xxa xf xy dy00,:xa ba x取，则有曲边梯形积分后先对xy 210,babxaxxxva x dxf x y dy dx 将 换成 ，得利用平行截面面积已知利用平行截面面积已知,求立体体积的方法求立体体积的方法: 若d为（y型）： 12,yxycyd21( )( )( , )( , )dycydf x y dxdydyf x y dx则积分后先对yx求二重积分的方法：求二

3、重积分的方法： 将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算21( )( )( , )( , )()bxaxdf x y dxdydxf x y dyyx则先 后 积分 12,xyxaxb若d（x型）： 若d不是x型（或y型），则将d分为几个区域，使它们为x型（或y型），几个区域上的积分之和就是所给二重积分的值。1212,dddf x y df x y df x y dddd1d2d 例例1 计算 ，其中d是由直线y=1,x=2,及y=x所围区域。dxyd解法解法 1 把d看成x型域，则21123221114221()2229848xdxxydxydy

4、dxyxxxdxdxxx dxyoyx1y x12:1,12,dyxx解法 2 把d看成y型域，则221222132142212(2)2988yyxydx dyxydyyydyyy dxyddoyx12y2x xy例例2 计算 ，其中d是由抛物线 及直线 所围成的区域 。dxyd2=yx解解 把d看作y型域y122xy2xyd2yx2:2, 12,d yxyy (4,2)yox(1, 1)则dxyd22222221122514632212(2)1422436558yyyyxxydx dyydyy yydyyyyy2221yydyxydx把d看作x型域 由于在0，1和1，4上下边界的表达式不同，

5、所以要用直线x=1将d分成两个区域 和 2d1d2:2,dxyx14x01x1:,dxyxyox12ddx1(1, 1)(4,2)yx yx42yxx14012xxxxxydy dxxydy dx dxyd12ddxydxyd它们分别用以下不等式表示：例例3 求221,:,1,1diyxy dd yx xy 所围.112213122211112133xidxyxy dyxydxx 若y型: 1, 11dxyy 122111yidyyxy dxd1110yx:1, 11d xyx 解解 x型则积分较繁。yxy先 后 积分，解型:0,01dxyy22221100001120011122yyyyyy

6、idye dxex dyye dye dye11yx0d2,:,1,0ydie dd yx yx例例4 求 所围成。2110yxidxe dyyx分析 若先 后 积分，则 无法积分。例例5 交换二次积分的顺序1220010( , )( , )xxdxf x y dydxf x y dy分析 要将按x型域确定积分限改为按y型域确定积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域d，然后再按y型域重新确立积分限，得到二次积分。1220010120( , )( , )( , )xxyydxf x y dydxf x y dydyf x y dx解解 将所给积分限还原成d的图形，由12

7、ddd2012dd11xy知d是由y=x，y=2x，y=0三条直线所围成，:2,01d yxyy于是按y型域定限1:0,01dyxx ，2:02,12dyxx其中例例6 交换二次积分的顺序 1110001,;2,xyydxf x y dydyf x y dx故d是由 所围成的， 于是0,1,0,1xxyyx y:01,01,dxyy 型11110000,xydxf x y dydyf x y dxx110y1xy 1:01,01,dyxx 由二次积分限，有x型解解2:,01,d xyxx21100,yxyxdyf x y dxdxf x y dyx11,10y2yxyx0,1,yyxy xy故

8、d是由 所围成的， 于是:,01,d yxyyy型 102,yydyf x y dx由的积分限，有000( )() ( )cycdyf x dxcx f x dx 0,7f xc 设在上连例续，证明证证 由等式左边，得:0,0dxyyc改变积分顺序，得:,0d xycxc左边 右边00( )() ( )cccxdxf x dycx f x dx所以，左边 右边00( )() ( )cccxdxf x dycx f x dx所以，二二 极坐标计算二重积分极坐标计算二重积分 极坐标是由极点极点和极轴极轴组成，坐标 ，其中r为点p到极点o的距离， 为or到op的夹角。 r =常数；（从o出发的同心圆

9、） =常数；（射线）or( , )p r, r0,02r cossinxryr直角坐标与极坐标的关系为：面积元素为（矩形）( , )( , )ddf x y df rrdrd由直角坐标和极坐标的对应关系，得到二重积分在极坐标下的形式,cos, sinf rf rr其中,df x y ddrd dr底高rd弧长于是得到极坐标下，二重积分化为二次积分的公式：21( )( )( , )( , )df rrdrdf rrdr d 12( )( ),r ao1( )r 2( )r daod2( )r 1( )r 若积分区域 d：21( )( )( , )( , )df rrdrddf rrdr 或写作若

10、极点在d的内部则d可以用不等式 ， 表示，这时有0210( )r 2( )00( , )( , )df rrdrddf rrdr aod( )r 解解 利用 把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：2,:11,081df x y ddxyxx 将 化为极坐标例下的二次积分.cossinxryr11,sincosrr圆：直线：1210sincos1:1,0sincos2,cos , sinddrf x y ddf rrrdr1r 1sincosrxy11于是例例9 计算 ，其中d是以原点为圆心，半径为 的圆域。dxdyedyx22解解 d可以表示成0,02ra222222222000020121(1

11、)(1)2xyrddarraaaedxdyerdrdderdrededea 问题 本题为何不用直角坐标计算？ 如何计算广义积分20?xedx解解 用极坐标，222222sin,:1,00014dxyddxyxyxy 计例算 :12,2dr2122122sinsin21rdrdrrdrdrd 原积分0 x21y 例例11 计算 其中d为 和x轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义。 2224daxy dxdy，222(0)xyaxy 解解 将 化为 ，可见d是一个半圆域。222()xaya222xyaxx02 cosrayad2a02 cos2ra ，0所以d可表示为2 cosra圆的方程表示成极坐标形式：于是，利用极坐标得：222222 cos2220033320444882(1 sin)3323ddaaxy dxdyar rdrddar rdrada（ ）几何意义几何意义是球面 ,圆柱面2224zaxy22, 0yaxxx zxoy面及面所围成的立体的体积。dy0 xz2a练习练习1dyxy由和围成.22222.:3.dxy dxdyd xy求，2111.,.xxdxf x y dy改换积分顺序23.( 2cos)dxyx y dxdy求，2330012.232 33idr rdr21212211122211121.,xxyydxf x y dydyf x