高三数学二轮专题复习教案极限导数和复数

1、高三数学二轮专题复习教案：极限导数和复数一、本章学问结构：复数与复数分类复数的概念复数相等的充要条件共轭复数复数的模复数复数的运算复数的加法法就复数的减法法就复数的乘法法就复数的除法法就（a bi ）（ c di）（ a c）（ b d）i复数加法的几何意义（a bi ）（ c di）（ a c）（ b d）i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d z1z2（a bi ）（ c di）（ ac bd）（ ad bc） i a bi ac bd bc abi二、重点学问回忆（一）极限c dic2 d2c2 d21、数学归纳法是一种用递归方法来证明与正整数有关命题的重要方法，它是完全归纳法中的一

2、种；论证问题分为两步：证明当 n 取第一个值n0 时结论正确；假设当 n=kk n * 且 k n0 时结论正确，证明当n=k+1 时结论也正确；由（ 1）、（ 2）肯定命题对于从2、数列极限的定义n0 开头的一切正整数都成立；设 an 是一个无穷数列，a是一个常数，假如对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数 n，使得只要正整数n n，就有 | an -a| ，那么就说数列an 以 a 为极限（或lima 是数列的极限） ，记作 n3、数列极限的运算法就an =a ；lim alim b假如 nn =a ， nn =b，那么limlimlim(1) n an ± bn = nan

3、± nbn =a ±b；limablim alim b(2) nn ·n = nn · nn =a ·banlimnbn（3）l im annl im bnnab0 blimalim a（4） n（ c·n ） = c· nn =ca （ c 为常数）极限运算法就中的各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情形，不能推广到无限个； 在商的运算法就中， 要留意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限；4、特殊数列的极限lim（1） nc=c （ c 为常数）（2）0（|a|1）nlimna=1（a=l1lim(3) n

4、n(4)不存在（ |a| 1 或 a=-1）=0 0 的常数 a0b0 （当 k= l 时）limkk 1a0 xa1xaknb xlb xl 1b01l=0（当 k l 时不存在（当 k l 时）说明：欲求极限的式子中，含有项数与n 有关的“和式”或“积式” ，应先求和或积；5、常见的数列极限的类型和求法0（1）“ 0 ”型，分子、分母分别求和再转化；（2）“”型，分子、分母先求和，再化简，转化为有极限；（3）“”型，将其看作分母为1 的分式，转化求极限；limf xlimlim6、 xx0与 xx0f x 和 xx0f x 之间的关系limf xlimlimxx0=axx0f x = xx

5、0f x =a；假如 f x 在点x 0 处左、右极限都存在并且等值，就f x 在点x 0 处的极限也存在，并且与左、右极限值相同；假如f x在 x0 处的左、右极限至少有一个不存在，或者左、右 极 限都 存在 但不 等值 ， 就函 数f x 在 点 x0处 没有 极 限， 这种 关系 也反 映出f x gx0且lim gx0f x连续；g x 、f xg x 、f xg x 、gxxx0也都在x 0 处（二）导数1.有关概念平均变化率：yf x xxf x xf / x limf x0xf x0 函数在某一点的导数：/0limx0ylimxf xxf x函数的导数f x y x0xx0x2.

6、 导数的几何意义：x 是曲线 yf x 上点（x0 ,f x0 ）处的切线的斜率/说明： .导数的几何意义可以简记为“k=/率”f0”,强化这一句话“斜率导数，导数斜 .曲线 yf x在点（x0 ,f x0 ）处的切线方程为yf x0 fx0 xx0 3.导数的物理意义：s=st是物体运动的位移函数，物体在t= t0 时刻的瞬时速度是s t0 说明：.物理意义在教材上只是以引例形式显现，教学大纲对它的要求不高，知道即可；.物理意义可以简记为vt = s t 004、几种常见函数的导数公式c0 （c为常数）（xn）nxn1 （nq）（sin x）cosx，（ cosx）sin x（ln x）1

7、x，（log a x）1 loge xa（ex）ex， （a x）ax ln a5、求导法就'uu' v2uv'uv'u 'v' ， uv'u 'vuv' ，vv（v0）6、复合函数求导y' x y' uu'x（三）复数1复数及分类形如 abi （a， br）的数叫复数，其中a 为实部， b 为虚部， ii 是虚数单位，且满意ii2 1.复数 z abi （ a， br）实数（ b0）虚数（ b0）纯虚数（ a 0） 非纯虚数（ a0）2复数相等的充要条件abii cdiia c， bd（ a， b

8、， c，dr） .特殊地 abii 0ab 0（ a， br） .3i 的幂i4n 1， i4n+1 i ，i4n+2 1， i4n+3 i （ nz） . 4复数的加法和减法（a bi ）±（ c di）（ a±c）（ b± d） i（ a， b， c，d r） .5复数的乘法和除法复数的乘法按多项式相乘进行，即（a bi ）（ cdi ） acadi bci bdi2（ acbd）（ ad bc）i.复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化. 6共轭复数zabi 与 z a bi 互为共轭复数；7复数的模设 z a bi ，就复数的模：z ra2 b2 8复

9、数与点的轨迹复数 zabi与复平面上的点z a,b是一一对应的；两点间的距离公式：d z1 z2；圆的方程： z p r（以点 p 为圆心， r 为半径）； 三、考点剖析考点一：数学归纳法【内容解读】数学归纳法的表述严格而且规范，两个步骤缺一不行；第一步是命题递推的基础； 其次步是递推的依据，是论证过程的关键；在论证时，第一步验算n= n0 中的 n不肯定为 1，依据题目的要求，有时可为2， 3 等；其次步证明n=k+1 时命题也成立的过程中，归纳假设p（k）起着“已知条件”的作用，必需利用归纳假设p（ k），恰当的通过推理和运算推出p（k+1 ），否就就不是数学归纳法；其次步证明的关键是“一

10、凑假设，二凑结论” ；数学归纳法的两步分别是数学归纳法的两个必要条件，两者缺一不行，两步均予以证明才具备了充分性，也就是完成了这两步的证明才能肯定命题的正确性；【命题规律】数学归纳法一般显现在解答题中，与数列、函数等内容结合，难度属中等偏难；例 1、（ 2007 全国 1 理 22）已知数列an中 a12 ，an121 an2 ，n1，2，3， （）求an的通项公式；b3bn42b（）如数列bnn 1中 1，2bn3 ， n1，2，3， ，证明：2 bn a4n 3 ，n1，2，3， 解：（）由题设：an 121 an221 an2212221an22 ， an1221an2 an所以，数列2

11、是首项为 22 ，公比为21 的等比数列，nan2221 ，aan221n1即n 的通项公式为， n1，2，3， （）用数学归纳法证明（）当 n1 时，因22 ， b1a12 ，所以2b1 a1 ，结论成立（）假设当nk 时，结论成立，即2bk a4k 3 ，也即 0bk2 a4k 33 当 nk1 时，bk 123bk42322bk432322 bk202bk32bk32bk3，11322又 2bk3223，所以kbk 12 322bkb2k3 2 322 2b 224k314 a2a4 k12 也就是说，当nk1 时，结论成立依据（）和（）知2bn a4n3 ， n1，2，3， 2点评：此

12、题考查数学归纳法的证明，与数列、不等式等结合，属中等偏难的试题；例 2、（2021 浙江）已知数列an， an 0， a10 ， an 1an 11a 2 nn* nt111saaan1a1a 1a 1a 1a 1a 记：n12n ，11212n求证：当nn * 时，（） anan 1 ；（） snn2 ；（） tn3（）证明：用数学归纳法证明当 n1 时，由于a2 是方程 x2x10 的正根，所以a1a2 *22假设当nkkn 时，akak 1 ，a22由于 ak 1kak 2ak 21) ak 1ak 11 ak 2ak 1 ak 2ak 11，所以 ak 1ak 2 即当 nk1 时，

13、anan 1 也成立依据和，可知anan 1 对任何nn *都成立22（）证明：由ak 1ak 11ak， k1，2， ，n1 （ n 2 ），a2aaa n1a2得n23n1 a0sn1a2由于1，所以nn aaa1a22a21a1sn2由nn 1 及n 1nn 1得n，所以na2a1a 2 2a（）证明：由k 1k 1kk ，得1 ak1 k2，3， ，n1 ， n 31ak 12 ak1ana 31a 1a 1a 2 n 2 a所以341n2an，an1 n 31a1a 1a 2n2 a 2a 2 n 22n 2于是23tn22，11113n故当 n 3 时，22n 2，又由于 t1t2

14、t3 ，所以 tn3 点评：此题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、 不等式证明等基础学问和基本技能，同时考查规律推理才能考点二：极限的求解【内容解读】极限主要包括数列极限和函数极限，把握几个重要极限的求法，极限的四就运算等内容； 懂得函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限【命题规律】 极限在高中数学和高等数学中起着桥梁作用，是中学数学与高校数学的连接点，是高中数学的新增内容，是高考的热点之一；一般以挑选题、填空题或解答题的形式显现，难度适中；lim例 3、（2021 陕西卷 13） n11a n1 naa12，就 a 1limn解：1an

15、1nalimnn1a2a11an点评：数列极限是高考热点题型之一，把握几种类型的求解方法；2x3当x0时）例 4、（ 2021 重庆卷）已知函数fx=a当x0时），点在x=0处连续，就liman2122xa nn.lim2 x3lim 2 x33f 0a解： x0x0又点在 x=0 处连续，limf xf 0lim3n213122所以 x0即 a3故 x3 nn93limf xf x0点评： f x 在点x0 处的极限值等于这点的函数值，即 xx0；函数f x 在 x0处连续，反映在图像上是f x 的图像在点x= x0 处是不间断的；p111qlimnn111例 5、（2007 湖北理） 已知

16、 p 和 q 是两个不相等的正整数， 且 q 2 ，就n（）a 0b1cp p1q d q1解：方法一特殊值法，由题意取p1, q2 ，p111qlimnn11limnn12limnn1p12n2q112就nnn，可见应选c方法二211x1xm1x m 111x11xm1x1x12m 1x 11x1x1x令n ， m分别取 p 和 q ，就原式化为2pp 111111lim111111nlimnnnn2q 1qn 1n 1111111111nnnnnlim11nn21,lim11nnp 11,lim111,nn111所以原式 = 111pq （分子、分母1 的个数分别为p 个、 q 个）点评：

17、此题考察数列的极限和运算法就，可用特殊值探究结论，即同时考察同学思维的敏捷性；当不能直接运用极限运算法就时，第一化简变形，后用法就即可；此题也表达了等比数列求和公式的逆用；考点三：导数的相关问题【内容解读】 1、明白导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；2、通过函数图象直观地懂得导数的几何意义；3、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四 就运算法就求简洁函数的导数，能求简洁的复合函数的导数；4、明白函数的单调性与导数的关系， 能利用导数争论函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；5、明白函数在某取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、微小值， 以及闭区间上

18、函数的最大值和最小值；体会导数方法在争论函数性质中的一般性有效 性； 5、会用导数的性质解决一些实际问题，如生活中的最优化问题等；【命题规律】考查导数的概念、切线方程、导数的运算等内容，在高考中常常以填空题或挑选题为主要题型，难度不大；考查单调性、极值、最值等问题及应用问题，以中档题为主，题型以解答题为主；例 6、2021 福建 假如函数（）yf x 的图像如右图 ,那么导函数,yf x的图像可能是解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情形依次是正 负 正 负,只有答案a满意 .x点评：深刻懂得函数的导数与函数单调性的关系是解答此题的关键；例 7、2021 广东文 设 ar ，如函数 yea

19、x ， xr 有大于零的极值点，就（a ）a a1b. a1xa1c. ea1d. eyex , ya解：依题意，有 ea0 有大于 0 的实根 ,数形结合令12,就两曲线交点在第一象限 ,结合图像易得a1a1,选 a.点评：画出两个函数的图象，利用数形结合法求解，表达了数形结合的思想；例 8、2021 湖北理 如 fx=1 x22b ln x2在-1,+上是减函数，就b 的取值范围是（）a.-1 ，+ b. （-1，+ ） c.（ -， -1）d.（ -， -1）解：由题意可知'f xxb0x2，在 x1,上恒成立，即 bx x2) 在 x1, 上恒成立，由于x1 ，所以 b1 ，故

20、为正确答案点评：函数的导数小于零，就函数在该区间上是减函数，反之也成立；假如在某区间上函数的导数大于零，就函数在该区间上是增函数；例 9、2021 全国卷文 曲线y x32x4 在点 1，3 处的切线的倾斜角为（）a 30°b 45°c60°d 120°解： y'3x22 ，在点（ 1,3）处切线的斜率为：k 3×12 2 1，所以倾斜角为45°，选（ b）；点评：此题考查导数的几何意义，在某点处的切线的斜率问题；f xa x33 x2a1x1,其中 a例 10、（ 2021 安徽文）设函数32为实数；（）已知函数f x 在

21、x1 处取得极值，求a 的值；（）已知不等式f ' xx2xa1对任意 a0,都成立，求实数 x 的取值范畴；解: 1f ' xax23x a1 ，由于函数f x 在 x1 时取得极值， 所以f ' 10即a3a10, a12 方法一：由题设知：ax23xa1x2xa1 对任意 a0, 都成立2即 a x2x22x0 对任意 a0,都成立设g aa x22x22xar,就 对 任 意 xr ，g a为 单 调 递 增 函 数 ar所以对任意 a0, ，g a 0 恒成立的充分必要条件是g00即x22 x0 ， 2x0于是 x 的取值范畴是x |2x0方法二：由题设知：a

22、x23xa1x2xa1 对任意 a0, 都成立即a x22x22xx22 x0 对任意 a0, 都成立x22 xa2于是x2 对任意 a0,都成立，即x2202x0于是 x 的取值范畴是x |2x0点评：函数在某点处取得极值，就在这点处的导数为0，反过来，函数的导数在某点的值为 0，就在函数这点处取得极值；例 11、2021 广东文 某单位用 2160 万元购得一块空地，方案在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房；经测算，假如将楼房建为x（x10）层，就每平方米 的 平均建筑费用为560+48x（单位：元） ；为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？购

23、地总费用（注：平均综合费用=平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用= 建筑总面积）解：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得y56048x21601000056048x10800 x10, xn * 2000xxy48就108002x，令 y480 ，即108002x0，解得 x15当 x15 时， y0 ；当 0x15 时， y0 ，因此，当 x15 时， y 取得最小值，ymin2000 元.答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15 层；点评：此题是导数在实际问题中的应用，求最值问题，常常就是求函数的导数，在极值处取得最值；例 12、2021 湖北理 水库的蓄水

24、量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，依据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为t214t140ex50,0t10,v （t ）=4t103t4150,10t12.（）该水库的蓄求量小于50 的时期称为枯水期.以 i-1 t t 表示第 1 月份（ i=1,2,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7 运算） .1解：（）当0 t10化简得 t2-14t+40>0,44时， vt=-t2+14t-40 e5050,解得 t 4，或 t10，又 0 t10，故 0t 4.当 10 t12 时， v （

25、t） 4（t-10）（ 3t-41） +5050,化简得（ t-10）（ 3t-41） 0,41解得 10 t 3，又 10 t12, 故 10 t12.综合得 0<t<4, 或 10<t12,故知枯水期为1 月， 2 月， 3 月， 4 月， 11 月， 12 月共 6 个月 . 知： vt 的最大值只能在（4， 10）内达到 .1tc 4 由 v （ t） =1 t 243 t4211 c 4t t 42 t8,令 v t=0, 解得 t=8t=-2 舍去 .当 t 变化时， v t与 v t 的变化情形如下表：t4,888,10v t+0-vt极大值由上表， vt 在

26、t 8 时取得最大值v8 8e2+50-108.52亿立方米 .故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32 亿立方米点评：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本学问，考查用导数求最值和综合运用数学学问解决实际问题才能.考点四：复数【内容解读】本章重点是复数的概念及代数形式的运算.难点是复数的向量表示和复数的三角形式及其运算.【命题规律】复数的概念及其运算是高考命题热点，从近几年高考试题来看，主要考查复数的概念及其运算，难度不大；2例 11、2021 福建理 如复数 a3a2a1i 是纯虚数，就实数a 的值为（）a.1b.2c.1 或 2d.-1解：由a 23a2 0 得 a1或2 ,且 a10

27、得a1a2 ；点评：此题主要考查复数的概念，留意纯虚数肯定要使虚部不为0；例 12、2021 江西理 在复平面内，复数zsin 2i cos 2 对应的点位于（）a第一象限b其次象限c第三象限d 第四象限解：因 sin 20,cos 20 所以 zsin 2i cos 2 对应的点在第四象限，选（d ）；点评： 此题考查复数的几何意义及三角函数的学问，每一个复数在复平面内都有一个点与之对应；1 3i例 13、2021 湖南理 复数i等于 a.8b. 8c.8id.8ii132 38i8i解：由iii 4,易知 d 正确 .点评：此题考查复数的运算，把握2i 1；例 14、 2021 上海文 如

28、 z 是实系数方程x22xp0 的一个虚根，且z 2 ，就p解：设 zabi ,就方程的另一个根为zabi , 且 z2a2b22，由韦达定理，得：zz2a2,a1,b23,b3,所以 pz z13i13i4.点评：此题考查一元二次方程根的意义、共轭复数、复数的模等学问；例 15、设复数 z 满意 |z i |z i | = 2，求 |z i 1|的最小值解：由题设知，复数z 在复平面内对应的点集是线段ab ，如图所 1·示，线段 ab 上 b 点到 c 点距离最短|bc |=1， |z i 1|的最小值为1c点评：在分析问题和解决问题时，要留意解析语言的意义及运用， 要把握图形语言、符号语言及文字语言的互化，自觉地由“形” 到“数”与由“形”变“数”地运用数形结合的思维方法四、方法总结与2021 年高考猜测（一）方法总结y a·1ox· 1b1.极限的概念和运算法就是微积分中最重要的工具，