函数极限00137

1、第二节第二节 函数的极限函数的极限 2.2.1自变量趋于有限值时函数自变量趋于有限值时函数f(x)的极限的极限2.2.2自变量趋于无穷大时函数自变量趋于无穷大时函数f(x)的极限的极限2.2.3极限的基本性质极限的基本性质 本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限. .函数的函数的极限与自变量的变化过程

2、有关极限与自变量的变化过程有关. .自变量的变化过程不自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同同，函数极限的形式就不同. .主要研究两种情形：主要研究两种情形：自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限1、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限仿照数列极限的定义给出仿照数列极限的定义给出 时函数的极限的定时函数的极限的定义义.n数数可可视视为为自自然然数数集集上上的的函函数数列列nx的的推推广广的的极极限限可可视视为为函函数数在在nx.)(, 0, 0axfzxz恒有时使axfx)(lim函数极限的定义

3、函数极限的定义)(xz:定义z数列跳跃趋近数列跳跃趋近函数连续趋近函数连续趋近数列极限的定义数列极限的定义., 0, 0 axnnnn恒有恒有时时使使:定义定义n 函数极限与数列极限也有不同处函数极限与数列极限也有不同处，而函数还可能，而函数还可能数列只能数列只能呢？呢？这时候该如何定义极限这时候该如何定义极限.)(, 0, 0 axfzxz恒有恒有时时使使 axfx)(lim值值后后面面的的值值是是所所有有时时，zz xx值值后后面面的的值值是是所所有有时时，zz xx函数极限的定义函数极限的定义)x(-z:定义定义z .)(,|, 0, 0 axfzxz恒恒有有时时使使 axfx)(lim

4、后后面面有有两两个个方方向向时时，zx 函数极限的定义函数极限的定义)x(的的意意思思是是对对于于函函数数而而言言，xxxzx向向的的所所有有来来表表示示同同时时满满足足两两个个方方我我们们用用 |z-z:定义z.有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数注：注： z例例1 证明证明. 01lim xx因这个不等式相当于因这个不等式相当于 或或 x1.1 x由此可知由此可知,如果取如果取,1 x那么当那么当 时时, 1 xx不等式不等式 01x成立成立,证毕证毕.直线直线 y=0是函数是函数 的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线. xy1 证证 , 0 要证要证, 0 x当当 时时,不等式不等式

5、xx 01x成立成立. 2121lim 33 xxx证明：证明：证证 , 0 , 2121 33 xx要要 , |21 3 x即要即要 , 21 | 3 x即即 , | , 21 3有有时时则当则当故取故取zxz 2121 33 xx 由极限的定义可知由极限的定义可知: :. 2121lim 33 xxx例例2的几何意义 )(limaxfxoxyay ay ayz)(xfy 几何解释几何解释:一般地说一般地说, 如果如果 , 则直线则直线y=c 是函数是函数的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线.cxfx )(lim)(xfy oxyay ay ayzz)(xfy zoxyay ay ayzz)

6、(xfy 现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. . )(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx . arctan lim 不存在不存在证明证明xx 例例222yxyarctanx由图容易看出：由图容易看出： , 2arctanlim xx , 2arctanlim xx . arctan lim 不存在不存在由定理可知：由定理可知：xx 2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a

7、.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .000的过程表示xxxxx0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx :. 1 定义定义定义定义 .)(,0, 0, 00 axfxx恒恒有有时时使使当当oxyay ay ay0 x()(xfy xy(),(u0 xx0 x0 xp的几何解释 )(lim0axfxx) ,u(ay . lim 00 xxxx证明 , | 0 , , 00时则当取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立证明证明:例例3 . 82)4(2lim 22 xxx证明证明 , 0 , )8(2)4(2 2 xx要要

8、 | )2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要只要 , | )2(| 0 , 2 有有时时则当则当故取故取 x , )8(2)4(2 2 xx . 82)4(2lim 22 xxx即即2x证明证明:例例41) 与与 和和x0有关有关, ,即即 = ( , x0). 一般说来一般说来, , 值越小值越小, ,相应的相应的 值也越小值也越小. . 2)3) 函数函数 f (x) 以以a为极限为极限, ,但函数但函数f (x)本身可以本身可以 不取其极限值不取其极限值 a.;)(0是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf . 311lim 31xxx证明 , 0 , 31

9、1 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要？如何处理它证明证明:例例5 这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但又必须设法去掉它. 因为 x 1, 所以, 从某时候开始 x 应充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 14|2|x1 1取结论1 | 1| 0 x分析 . 311lim 31xxx证明 , 0 , 311 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要 , | 1|4| 1|2| 311 3xxxxx于是 , | 1| 0 , 4 , 1 min 有时则当取x . 311 3xx证毕 , ) 1 , 1 (u ,

10、1 , 1 1此时必有时当令xx , 4 |2| x例例7 7证明证明:y = a y = a y = axoyx0 x0 x0 + )(xfy 曲线只能从该矩形的左右两边穿过极限的几何意义函数时 )( , 0 xfxx 考虑两个问题.y = a y = a y = axoyx0 x0 + )(xfy 函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下, 函数有极限吗 ? 如何描述这种情形？想想这种情形下, 函数有极限吗 ?y = a y = a y = axoyx0 x0 )(xfy 函数在 x0 的右边可无定义 如何描述这种情形？2.单侧极限单侧极限:左极限左极限.)(, 0, 000 axfx

11、xx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有时时使当使当000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或记作记作(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.可以找到例子吗？ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一： 111211)( 2xxxxxxf求求)(lim1xfx)(lim1xfxy = f (x)xoy1121在在 x = 1 处的左、右极限处的左、右极

12、限. .1lim21xx0) 1(lim1xx例例7解：解：y = a y = a y = axoyx0 x0 + y = a y = a y = aoyx0 x0 )(xfy 想想：由此我们可以得到什么结论？ axfxx)(lim0axfxfxxxx )(lim)(lim00 利用 | x x0 | x x0 0和和0, 使得当使得当 时时, ,有有f( (x)|)|m. .,)(lim0axfxx 00 xx证证 因为因为,)(lim0axfxx 所以取所以取, 1 则则, 0 当当 时时, ,有有 00 xx 1)(axf, 1)()( aaaxfxf记记, 1 am则定理则定理2获得证

13、明获得证明.3 3 ( (函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性) )如果如果axfxx )(lim0, ,而且而且a0(0(或或a0),0)0（或（或f( (x)0 )00的情形证明的情形证明. ., 0)(lim0 axfxx取取, 02 a 则则, 0 当当 时时, ,有有 00 xx 2)(aaxf. 022)( aaaxf 如果在如果在x0的某一去心邻域内的某一去心邻域内f(x)0（或（或f(x)0），）， 而且而且axfn )(lim，那么，那么a00（或（或a 0 0 ）4 4 ( (函数极限的局部逆保号性函数极限的局部逆保号性) )目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式axnn limaxfx )(limaxfx )(limaxfx )(limaxfxx )(lim0axfxx )(lim0axfxx )(lim00 000000 时时当当 , 0nnn 时当 | , 0xxx时当 , 0xxx时当 , 0xxx时当 |0 , 00 xx时当 0 , 00 xx时当 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf极限定义及定理小结极限定义及定理小结目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式0000000时当 |