蒙特卡罗法用于分析测试不确定度评定

1、蒙特卡洛模拟法在分析方法不确定度评定中的应用北京市劳动保护科学研究所朱佐刚TelEmail：2015.10 北京内容结构一、蒙特卡洛模拟法介绍 1、什么是蒙特卡洛模拟法 2、蒙特卡洛模拟法两个例子 蒙特卡洛法计算圆周率 蒙特卡洛法计算定积分二、蒙特卡洛法用于分析方法不确定度评定 1、什么是不确定度以及评定的目的 2、与不确定度评定相关的计量学名词 3、不确定度评定的方法 GUM法-存在的缺点 MCM法-如何克服GUM法的缺点 4、蒙特卡洛模拟法评定不确定度的原理 5、蒙特卡罗法模拟法评定一个简单方法的不确定度 6、蒙特卡洛模拟法评定车内空气中甲苯检测的不确定度评定 1

2、、蒙特卡洛模拟法介绍 蒙特卡罗方法（Monte Carlo method,MCM）， 通过生成随机数来解决问题的方法。待解决的问题先要经过综合分析，形成一定的算法，然后通过生成随机数来模拟结果，再对模拟结果从合理性等方面进行解析。a)蒙特卡洛模拟法计算圆周率 利用单位圆与边长为1的正方形面积之比来计算的近似值。具体思想如下: 如图所示,单位圆的1/4为一个扇形,它是边长为1的正方形的一部分。考虑扇形面积在正方形面积中所占的比例k,得出其结果为/4,然后乘以4就可以得到的值。 另一方面，假设生成符合均匀分布（U（0,1）)的随机数对（x，y），共生成n个，落入扇形的区域的数有m个，那么： 4se

3、ctorsquaresksmkn两式结合：算法： 0、计数器置0，m=0；设置总模拟次数n 1、生成均匀分布的随机数对（x，y） 2、判断（x，y）是否落在扇形内，如果落在扇形内 m=m+1 3、判断模拟次数是否为n：小于或者等于n，回到1，继续 ；大于n，终止，计算4*m/n，输出结果 4mn模拟结果开始模拟输入中模拟次数100000落入扇形的点数78451圆周率模拟值3.13804b)蒙特卡洛模拟计算定积分 蒙特卡洛模拟计算定积分是依据：定积分是曲线在一定区间内和x轴围成的面积可以通过蒙塔卡洛模拟估计出来；尤其对那些没有原函数的函数定积分计算尤为适应。举例：计算定积分：该定积分精确解是：7

4、.243240( )(cos2)F xxdx 解题思想：生成随机数对，判断是否落入阴影区域，阴影区域面积和正方形的面积比，等于落入阴影内的数的个数和总数的比值，据此能得到阴影部分的面积，也就是就算出上述定积分的值。算法：0、计数器置0，m=0；设置模拟次数n；1、生成随机数对（x，y），x符合U（0,4）的均匀分布，y符合U（0,3）的均匀分布；2、判断随机数对（x，y）是否落入阴影部分，如果落入m=m+1；3、判断模拟次数n，n小于定于设定值，继续1；n大于设定值终止。4、计算定积分的值：12*m/n开始模拟输入模拟次数1000模拟结果7.74二、蒙特卡洛法用于分析方法不确定度评定1、什么是

5、不确定度以及评定的目的 a）分析过程是一个随机过程，分析结果是一个随机变量。 满足随机变量的两个因素：可能的结果区间已知，但是 某次实验的结果实验前不知道。 b）分析结果是随机变量，不确定度评定就是依据分析过程 各分量的特性，对分析结果进行的区间估计。 c）不确定度评定的结果，是反应分析结果离散程度的一个 参数。不确定度越大，表明分析结果的离散程度高，不 确定度并不反映分析结果的准确性。d）什么是区间估计 区间估计就是通过从总体样本中抽样或者其他方式，对随机变量总体分布的参数进行估计的一种数学方法。通常以置信水平（概率）和区间的形式给出。例如：标样证书上，标称量值就是以区间估计的形式给出： 该

6、物质的真值落入区间（188,212） 的可能性为95%。/g mL区间估计还可以通过抽样符合的分布，来构造一定置信水平下的置信区间来完成。关于这部分内容如有疑问，可参考概率论与数理统计(浙大四版)二、与不确定度评定相关的计量学名词a)直接测量量那些能直接从测量仪表的读数获取被测量量值的量b)间接测量量通过测量与被测量有函数关系的其他量，然后经过计算得到的量。c)测量函数（测量模型）把间接测量量表示为直接测量量的关系式d)真值 是一个变量本身所具有的真实值，它是一个理想的概念，一般是无法得到的。所以在计算误差时，一般用约定真值或相对真值来代替。e)最佳估计值 对多次测量的结果求平均值得到的结果。

7、 举例： 假设要测一个长方形的面积s，可以通过分别测量长a，宽b，再根据s=a*b计算得到。 a，b可以千分尺直接测得，是直接测量量 s可以由a，b计算得到，是间接测量量。f)真值、测量结果以及不确定度间的关系 在测量过程中虽然不能得到真值，但是通过对计量器具的检定校准，再用正确的测试方法，在稳定的环境中（还有测量者的高素质），检测得到测量结果，同时再考虑到每个直接测量量引入的不确定度合成得到测量结果的不确定度，在一定的置信水平下对测试结果的真值的区间进行估计。 虽然得不到真值，但是通过正确的测量方法，用计量过的测量器具，通过不确定度评定和检测结果去包含真值。这就是不确定评定的意义所在。 例如

8、：用经过计量检定的100mL注射器（检定结果为最大误差1mL），去取液体，读数为100mL，虽然由于很多因素的影响，液体体积的真值不能得到，但是可以有100%的把握认为，液体的真值在（99,101）之间。3、不确定度评定方法不确定度评定方法： JJF 1059.1-2012 测量不确定度评定与表示（GUM） JJF 1059.2-2012 用蒙特卡洛法评定测量不确定度（MCM） GB/T 27411-2012 检测实验室中常用不确定度评定方法与表示 GB/T 27411-2012评定不确定度的方法是：在实验室质控活动中（能力验证或者实验室自行进行的日常质控活动）得到的实验结果，这些实验结果在满

9、足一定偏倚的条件下，依据分析结果的离散性进行不确定度评定。 测量学中偏倚是指一切测量值对真值的偏离。a) GUM法评定不确定度的原理 GUM法评定不确定度时认为：分析结果符合正态分布，依据各个分量通过模型得值来计算得到分析结果；利用方差传播定理和测试模型来计算分析结果的标准差s；通过各分量不确定度和自由度计算分析结果分布的自由度n，然后在给定的置信概率下，确定包含因子K，最后按照要求把评定结果表示出。注释：由于正态分布的方差未知，测试结果（x）和真值（)的关系为： xsn符合自由度为n-1的t分布，所谓的包含因子，就是在一定的置信概率下的自由度为n-1的t双侧分为数，通常置信概率取95%，自由

10、度一般都很大，包含因子k=2b)GUM法不确定度评定的步骤 1、确定测试模型：把间接测量量表示为直接测量量的函数 2、因果图：进行各分量不确定度来源分析 3、各分量不确定度评定：A类和B类 4、各分量自由度确定 5、各分量灵敏度计算（用测试模型对各分量求一阶偏导） 6、依据各分量测试值，计算测试结果x；计算 合成不确定 度U 7、合成自由度计算n 8、在给定的置信概率下，结合自由度n差t分布分位数表， 确定包含因子k 9、评定结果表示：（x-kU，x+kU），同时报告置信概率 c) GUM法存在的缺点 GUM法做出的分析结果符合正态分布的假设，在对某些测试模型的处理中与实际情况偏差较大。有的测

11、试模型明显不符合正态分布。 测试模型函数的分布理论上可以依据各个分量的分布通过卷积计算出来，但是在计算过程中需要用到积分，有的函数“不可积”，因而测试模型函数的分布不能准确获得。 d)多次实验结果的均值和标准差 假设对某个量值稳定均匀的样品进行了n次重复测量，得到的结果分别为： ，那么分析结果的均值和标准差为：这两个公式是蒙特卡洛模拟法的重要理论基础之一12( ,.,)nx xx1212()(1 )niiniixxnxxsnxe) MCM法的原理 MCM法无论测量模型的函数满足何种分布，依据各个分量的分布，生成相应的随机数对分析结果的均值和标准差（不确定度）进行模拟；MCM法克服了GUM法对测

12、量模型函数的分布都满足正态分布这一理论缺陷。f)MCM法的步骤 1、确定测试模型 2、确定各个分量的分布 通过测量工具的检定证书 引用标物的标物证书 根据以往的经验和惯例对某个分量分布的处理 3、依据测试模型进行模拟，模拟次数一般取n106 随机数的生成可以借助matlab等工具软件； 也可以自行编程解决，依托开发工具提供产生的均匀 分布随机数来产生其他分布的随机数。 4、模拟结果升序排列，计算模拟结果的均值和标准偏 差，然后依据给定的概率划定不同的包含区间，以 最短的包含区间为评定结果。 蒙特卡罗模拟法评定不确定度的简单例子假设测试模型为z=x+y，x符合分布标准正态分布x（0,1）；y符合

13、（0,1）之间的均匀分布U（0,1），给出置信概率95%下的z的置信区间和标准差。 1、确定测试函数 2、确定模拟次数 3、按要求生成各分量的随机数，依据测试模型计算模 拟结果 4、计算模拟结果平均值和标准差 5、依据给定的置信概率，划分置信区间，以最短的置 信区间作为评定结果输入模拟次数100均值模拟值.583290359648931Label1.97829047812360695%置信概率下限-1.3451018713392895%置信概率上限2.26206492870962开始模拟标准正态分布N(0,1)和均匀分布U(0,1)之和的均值和标准差的模拟，该分布均值的理论值是0.5，标准差的理论值是1.04。这个模型用GUM法评定的结果为：置信概率95%（k=2）