242等比数列的基础性质及其应用

1、2.4.2等比数列的基本性质及其应用这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习屮提供的问题作为基木材料，认 识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用來解决一 些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重耍的数学思想方法如类比思想、归纳思想、 数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学牛的学习积极性.教学重点1.探究等比数列更多的性质；2解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点渗透重要的数学思想.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1. 了解等比数列更多的性质；2. 能将学过

2、的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的 实际问题的解决中；3. 能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用冇关的知识解决相应的实 际问题.二、过程与方法1. 继续采丿ij观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教v；2. 对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题 的解决方法，经历解决问题的全过程；3. 当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生 对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学牛的类比、归纳的能力；2.通过生活实际中冇关问题

3、的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多 地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师教材中第59贝练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的 探究结果展示一下.生由学习小组汇报探究结果.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：将数列禺的前£项去掉，剩余的数列为叭+i，似+2,.令伤=如,片1,2,.,则数列。知1,如2,.，可视为枷血，.b n因为且=_±l = g （）,所以，九是等比数列,即az 如2,是等比数列.=qior+1°10r-9仙中每隔10项取出一项组成的数列是&#

4、169;0321，则()所以数列是以为首项，外为公比的等比数列.猜想：在数列a沖每隔加伽是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以© 为首项、/为公比的等比数列.木题口j以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的了数列也构成等比数列，可以讣学 牛再探究儿种由原等比数列构成的新等比数列的方法.第4题解答：(1) 设s“的公比是如则2 /4、22 8心=wq ) =qi q ,而 aai=aq'aq=aq,所以 a=ciya-.同理,05"9(2) 用上面的方法不难证明a=a “.s+1s>1)由此得出,冷是和+的等比中项，同理 可证 an2=a n-k

5、'n+k(n>k>0).an 是 如和 an+k 的等比中项(n>k>0).师和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作 进一步的探究.推进新课合作探究师出示投影胶片1例题1 (教材p61b组第3题)就任一等差数列an,计算aa心血+伽和cio+a 40»20+30» 你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数z间的联 系的角度来分析这个问题.在等比数列屮会有怎样的类似结论？师注意题目中“就任一等差数列仙八 你打算用一个什么样的等差数列来计算？生用等差数列1, 2, 3,.师很好

6、，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？生 在等差数列禺屮，若k+s=p+q(k,s,p,q丘n ),则ak+as=ap+air师题目要我们“从等差数列与函数z间的联系的角度來分析这个问题”，如何做？ 生思考、讨论、交流.师出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.教师精讲a” z zz/ /5/ z偽 a$0k p q s n师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等芜数列外的图彖，可以看根据等式的性质，有坐竺=土竺=1. 竹+qq p + q所以 a-as=ap+aq.师在等比数列中会有怎样的类似结论？生猜想对于等比数列仏，类似的性质为：k+s=p+kk,s，mw

7、n,贝u师 让学生给出上述猜想的证明. 证明：设等比数列给公比为如 贝i有ak-as=aqk'10才"=打.严2,/?-1/-i2p+f-2aarchq' gq =ci 勺因为 k+s=p+t, 所以有 aaal>'al.师指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.即等比数歹!j砌中,若k+尸p+t(k,s,pj已n、,则冇ak-as=ap at.师下面有两个结论：(1) 与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2) 与某一项距离相等的两项z积等于这一项的平方.你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？生 思考、列式、合作交流，

8、得到：结论就是上述性质中1 +几=(1 +/)+(/? j)时的情形；结论就是上述性质中伙+/)+伙/)时的情形.师引导学生思考，得出上述联系，并给了肯定的评价.师上述性质有着广泛的应用.师出示投影胶片2：例题2例题2(1) 在等比数列為中，已知di=5,ag io=1oo,求° 18；(2) 在等比数列%屮，加=3,求该数列前七项之积；(3) 在等比数列an中,a2=-2,a5=549求 a8.例题2三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到 一起的思维过程.解答：(1) 在等比数列為中,己知a 1=5, 310=100,求a 18.血a9aw 100

9、“ax 5(2) 在等比数列%中，加=3,求该数列前七项之积.解：方b2b3b4b5b6b1=(<b 1 如)(仇/?6)(/?3加)方4 1处=加切=1讪6=1/5,前七项之®(32)3x3=37=2 187.(3) 在等比数列d“中，a2=-2,殆=54,求恋解：.偽是与佻的等比中项，a542=a8x(-2).g8二1 458.a54另解：a=asc,=as' = 54x=-1 458.a2-2合作探究师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.例题3：已知他%是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从屮你能得 出什么结

10、论？证明你的结论.a”bncln'bn判断佃饥是否是等比数列例23穿-5x2/,_1a-10x（y），?-1是h选1自选2师 请同学们口己完成上而的表.师根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生 得到：如果©、血是两个项数相同的等比数列,那么讥也是等比数列.证明如下：设数列仏的公比是w公比是g,那么数列仏仇的第项与笫川+1项分别为仰叫w 与apbq因为鑫+1 仇+| _j ”_i > pq anbn ap sq它是一个与h无关的常数，所以”仇是一个以pq为公比的等比数列.教师精讲除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：证法二设数列仏的公比是p，血公比是

11、q,那么数列仏仇的第项、第小 项与笫川+1项 > 1 ,rj wn *)分别为 cip nabqn' cipn'bq'2 与因为(abn)2=(a ” 山 b 厂)2=(° i 枷尸仞)2(n' °,(a “一 1 仇_ i )(a 时 | 仇+1)=(« 严 b | q'a pb i q)=(a i b )2(j)q)2(n'0,即有(anbn)2=(an.'bn.)(a 卄】仇+js> 1/wn *),所以如加是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：证法三：设数列佃的公比是”，仇公比是g,那么数列禺仇的