高一数学精品教案等差数列

1、学习必备欢迎下载高一数学精品教案（二）等差数列一、学问点提要：1等差数列定义： an+1 an=d（常数），即从第 2 项起， 每一项与它前一项的差等于同一常数， 叫等差数列，此常数用d 表示，称为公差.当 d=0 时，数列为常数列.2通项公式： an=a1+n 1d3前 n 项的和： snn a12an na1n n21d d0snna1（ d=0 ）4等差中项：如a， a ， b 成等差数列，就a 叫 a,b 的等差中项，且5等差数列的性质：（ 1）数列 a n 成等差数列，就 an=am+n mdm,n n*如 m+n=p+q ，就 am+an=ap +aqm,n,p,q n*特殊地：如

2、2t=p+q，就 2at=ap +aq（ 2）证明数列 a n 成等差数列的方法： 定义法： an+1 an=d（常数）中项法： 2an+1=an+an+2.二、重点难点突破：aab 21由等差数列的通项公式an=a1+n 1d 可知an 是 n 的一次函数，所以a n 成等差数列ananb .2由等差数列的前n 项的和公式snna1n n21 可知 a n成等差数列san 2bn.n3等差数列的前n 项的和 sn 仍有如下特点：（ 1）前 m 项的和记为s1，次 m 项的和记为s2，再 m 项的和记为s3就数列 s n 也成等n差数列 .（ 2）如 n 为奇数，就sn三、热点考题导析na n

3、 12；n 为偶数就 nn a 22a n ； s偶s奇121 nd .2例 1在等差数列中，a6+a9+a12+a15=20，求 s20.思路一：比较s20 与已知条件 .解法一： a6+a9+a12+a15=20， 4a1+5+8+11+14d=20 ， 2a1+19d=10 ，又s2020 2a1219 d , s20=100.思路二：利用等差数列的性质. a6+a15=a9+a12=a1+a20，又由 a6+a9+a12+a15=20， a1+a20=10 ，s2020 a12a20 100 .老师点评：在公式snna1nn21 d中有 4 个字母已知其中三个就以求出另一个.已知两个条

4、件也可以列出方程组解.由于 snn a12an 假如求到1+an，也可以免去求a1 和 d.本例中就无法确定a1 和 d 的值 .有时仍可以设出sn=an2+bn ，利用已知条件确定两个系数a 和 b.再学习必备欢迎下载看例 2四个数成等差数列，把它们分别加上 4， 3，3， 5 后又依次成等比数列，求这四个数 . 分析：四个数成等差数列，可依次设为 a 3d、 a d、a+d、a+3d，然后列出 a、d 的方程组求解 .解：设此四个数依次为 a 3d、ad、a+d、a+3d，依题意，得adad3 232a3dad4 ad33 a3d54d 24d 2ad302a2d60或a0ad1d03（不

5、合舍去）此四个数为3， 1， 1， 3.老师点评： 这里使用了对称设元法，类似地，如三个数成等差数列，就可设三数为ad，a,a+d， 这种对称设元法可以简化运算.例 3设等差数列 a n 的前 n 项和为 sn，已知 a3=12 ， s12>0， s13<0.（ 1）求公差d 的取值范畴 .（ 2）指出 s1， s2，s3， s12 中那个值最大，并说明理由.解：（ 1）依题意，有s12012 a11211d022a111d0s13013a11312 d02a16 d0将 a3=a1+2d=12 代入得：24d3 7（ 2）由 s12=6 （ a6+a7） >0 ， s13=

6、13a7 <0. 即 a6+a7>0， a7<0，故 a6 >0， s6 最大 .老师点评：等差数列的结构是：单调递增，单调递减或常数列.如递减且a1>0,就前 n 项的和sn 存在最大值，前多少项和最大，就是数列中前如干个正项的个数，因此这种题型就是要找出数列中的正、负的分界线处.类似地如a1<0 且递增，就sn 存在最小值 .同学演板（ 1） a n 为等差数列，且an>0n n*s 3=s11，问此数列的前多少项的和最大？（n=7 ）（ 2）已知等差数列a 中， s =s m n，求 samn1 d0, s0nmnm n1m n2例 4两个等差数

7、列a n ， b n 它们的前n 项和之比为5n2n3 求这个两个数列第9 项之比 .1分析：可直把sn 代入，把分子、分母变成通项的形式.sna1nnn21n1add12n1解：（法一）snnb1n n21) n1bdd12令8 n=172 s17s17a9s1751738a9821713b93而5173821713b9s17a9（法二）b9a1a17b1b1717a117b1a17 / 2 b17 / 2s17 s17老师点评：解法二较一奇妙，主要是敏捷地运用了等差数列的性质2从而沟通了an 与 s2n1的关系 .此题其实求任何的ak bk 都可以 .2s2例 5已知数列 a n 中， a

8、1=1， annnsn12) 求这个数列的前n 项的和 sn.22sn学习必备欢迎下载解：当 n 2 时，ansn1snsn 1 ，n 2s 22 sn1 snsn 1 2 s 22sn sn 1snsn1 ， 2sn sn 1sn 1sn ，n即112, 数列 1 是首项为111 公差为 2 的等差数列，snsn 1sns1a111sns1n122n1，故 sn12n1老师点评：（ 1）n 2 时， an=sn sn 1 反映通项与前n 项的和的联系；（ 2）留意 1 sn是等差数列利用性质求出sn .例 6是否存在常数k 和等差数列 a n ，使 ka2 1=s2n sn+1，其中s2n，

9、 sn+1 分别是等差数n列a n 的前 2n 项，前 n+1 项的和 .如存在，试求出常数k 和a n 的通项 an；如不存在，请说明理由 .解：这是一个探干脆问题，一般先假设存在k.n假设存在 .设 an=pn+qp,q 为常数 ，就 ka2 1=kp2n2+2kpqn+kq 2 1,sn1 pn n12qn, s2nsn 13 pn2 q 2p n 2 pq,就 kp2 n 22 kpqnkq 213 pn 2qp n pq , 故有kp23 p2p222kpqqpkq212q33由得 p=0 或 kp当 p=0 时，由得 q=0 ，而 p=q=0 不适合， 故 p 0 把 kp代入，得

10、 qp ; 把 q 42p代入，又kp43 , 得p232 从而 q278 , k27281故存在常数64n= 81 及等差数列a 64328n2727满意题意四、课堂练习（ 1）在等差数列 a n 中， a3+a7 a10=8,a11 a4=4. 记 sn=a1+a2+an，求 s13（ 156）（ 2）数列 a n 的前 n 项和是 sn，假如 sn=3+2a nnn* ，就这个数列肯定是（）a 等比数列b等差数列c除去第一项后是等比数列d除去第一项后是等差数列（ a ）（ 3）设等差数列 an 前 n 项的和为sn3，已知1s3 与1s4 的等比中项为1s5 ，1 s 与 1 s 的等3

11、4差中项为1，求数列的通项公式.5344a（n1或an12 n532 ）5五、高考试题（ 1）（2000 年春季北京、安徽，13）已知等差数列a n 满意 a1+a2+a101=0 ，就有（）a a1+a101>0b a2+a100<0c a3+a99=0d a51=51答案：选c分析：a1a2a1011010即 a32a99 0,a3a90.学习必备欢迎下载（ 2）（ 20xx 年全国理， 3）设数列 a n 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，就它的首项是（）a 1b 2c 4d 6答案：选bs3分析：前三项的和为12， a1+a2+a3=12 ，a23a1a2

12、a3=48 ， a2=4， a1a3 =12，a1+a3=8，把 a1,a3 作为方程的两根且a1<a3， x2 8x+12=0 ， x1=6， x 2=2 ， a1 =2， a3=6.（ 3）（ 2000 年全国文， 18）设 a n 为等差数列， sn 为数列 a n 的前 n 项的和，已知 s7=7，s15=75 ，tn 为数列 sn n的前 n 项的和，求t n.s解：设等差数列a n 的公差为d，就nna11 nn21d,s77, s1575,7a121d7即 a13d1解得a2,d1.sna1 n1d15a1105d75a17d51n1221 n21.sn 1sn1n1n2t

13、1 n2n49 n.4评注：此题主要考查等差数列的基础学问和基本技能；运算才能.六、考点检测（ 1）一个等差数列的前12 项的和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项的和之比为差 d=a 3b 4c 5d 632 ，就公27（ 2）等差数列 a n 的前 m 项的和为30，前 2m 项的和为100，就它的前 3m 项的和为 （）a 130b 170c 210d 260（ 3） 100 与 200 之间全部是7 的倍数但不是2 的倍数的自然数之和为.（ 4）二数列 a n ， b n 满意 an+am=am+n， bnbm=b n+m,m,n n* 、如 a1=1，就 an=.如b1=2,就 bn=.（ 5）数列 a n 的通项为an=33 2n；证明数列 a n 为等差数列；求 |a1|+|a2|+|a40|.n（ 6）已知等差数列a n 的前 n 项的和为sn, b1 且 a b1 , ss21,s2求 b n 的通项公式；求证： b1+b 2+bn<2.3 33