第七节偏导数的几何应用

1、第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学第七节第七节 偏导数的几何应用偏导数的几何应用 理学院数学系 主讲教师：付一平1. 设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面m.),(0000tttzzyyxxm 对应于对应于;),(0000ttzyxm 对应于对应于设设m 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxmm ,000zzzyyyxxx 的方程为的方程为割线割线，因此，因此的方向向

2、量为的方向向量为割线割线mmzyxmm ,0,时时即即当当 tmm曲线在曲线在m处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttt ,)(,)(,)(000dzdydxdttdttdttdtt 或或法平面：过法平面：过m点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，

3、时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即2. 空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy )(),(, 1, 1,),(00),(00000 xxdxdzdxdytzyxmyx 切切向向量量为为处处在在,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为例例2.),(200022处的切线及法平面方程处的切

4、线及法平面方程上一点上一点，求在曲线求在曲线zyxxmzmxy 3.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxgzyxf1方方法法线线方方程程种种情情形形的的结结论论，即即得得切切再再由由第第，、方方程程组组中中求求出出可可由由隐隐函函数数求求导导法法，从从2)()(xzxy ,)()(100000 xzzzxyyyxx 和和法法平平面面方方程程. 0)()()(00000 zzxzyyxyxx也可直接用求导公式：也可直接用求导公式：的求导公式为的求导公式为确定的函数确定的函数方程方程)(),(0),(0),(xzzxyyzyxgzyxf ,),(),(),(),(zyzyzxzx

5、ggffggffzygfzxgfdxdy .),(),(),(),(zyzyxyxyggffggffzygfxygfdxdz 的切向量可取的切向量可取因此曲线在因此曲线在),(0000zyxm切线方程为切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyggffzzggffyyggffxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000000 zzggffyyggffxxggffyxyxxzxzzyzy0,myxyxxzxzzyzyggffggffggfft 方法方法2求微分，得求微分，得对方程对方程 0),(0),(zyxgzyxf 00dzgdygdxgdzfdyfdxfzyxzyx,21z

6、yxzyxgggnfffn ，记记,dzdydxt 切向量切向量,0021 tntn则上面方程即为则上面方程即为21/nnt 故可取切向量故可取切向量解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 t所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz 00222dzdydx

7、zdzydyxdx 00242)1 , 2, 1(dzdydxdzdydx处，有处，有在点在点，取切向量取切向量21/nnt 而而60611124221， kjinn,1, 0, 1 t所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx1. 设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxf二、曲面的切平面与法线.00的切线同在一个平面上的切线同在一个平面上处处的所有光滑曲线在的所有光滑曲线在上过点上过点曲面曲面mm 引理引理),(),(),(000tttt 曲线在曲线在m0处的切向量处的切向量证证 设设m0 (x0,y0,z0)为为曲

8、面上一定点，在曲曲面上一定点，在曲面上任取一条通过点面上任取一条通过点m0的曲线的曲线,)()()(: tztytx ntm曲曲面面方方程程，即即有有满满足足上上，所所以以曲曲线线上上的的点点要要在在曲曲面面由由于于曲曲线线 即有即有. 0)(),(),( tttf . 0|)(),(),(00 tttttfdtdtt 求导，得求导，得处关于处关于对上式两边在对上式两边在0)(),()(),()(),(000000000000 tzyxftzyxftzyxfzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 引进向量即有引进向量即有 tn则有则有)(),()(),(0

9、0000000tzyxftzyxfyx )(),(0000tzyxfz 0 可见可见,tn 法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 由前面的讨论可知曲面在由前面的讨论可知曲面在m处的法向量即处的法向量即所以切平面方程为所以切平面方程为)(,()(,(00000000yyzyxfxxzyxfyx 0)(,(0000 zzzyxfz例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解, 32),(

10、xyezzyxfz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yfx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xfy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzef令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx2. 空间曲面方程为空间曲面方程为),(yxfz 曲面在曲面在m处的切平面方程为处的切平面方程为, 0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在m处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxf 令令,1cos22y

11、xxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx

12、因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 121320202020 xzyx所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)曲面的夹角曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在度，则称这两个曲面在该点正交

13、。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。面为正交曲面。例例 7 证明对任意常数证明对任意常数 ，球面，球面 与锥与锥面面 是正交的。是正交的。2222zyx,2222tgzyx即即证明证明球面球面 的法线方向数为的法线方向数为0),(2222zyxzyxfzyx2,2,2zyx,锥面锥面 的法线方向数为的法线方向数为0tg),(2222zyxzyxg2tg,zyx22020202000000tg)tg,(),(zyxzyxzyx在两曲面交线上的任一点在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积处，两法向量的内积),(000zyx因因 在曲面上，上式右端等于在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面