随机过程习题

1、随机过程复习一、 回答：1 、什么是宽平稳随机过程？2 、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3 、窄带随机过程的相位听从什么分布？包络听从什么分布？4 、什么是白噪声？性质？二、运算：1 、随机过程x ta cost + b sint ，其中是常数， a 、b是相互独立统计的高斯变量， 并且 ea=eb=0，ea2 =eb 2 =2 ；求： x t的数学期望和自相关函数？2 、判定随机过程x t a cost 是否平稳？其中是常数， a 、 分别为匀称分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立；1f02；2f a aaea2 22a03 、求随机相位正弦函数x ta cos0 t 的功率谱密度，

2、 其中 a 、 0是常数，为0,2内匀称分布的随机变量；4 、求用x t 自相关函数及功率谱表示的y t x t cos0 t 的自相关函数及谱密度； 其中，为0,2内匀称分布的随机变量，x t 是与相互独立的随机过程；5 、设随机过程 x t a cos0ty ,t ，其中0 是常数， a 与 y是相互独立的随机变量， y 听从区间0,2 上的匀称分布， a 听从瑞利分布，其概率密度为f a xx 2e2x2 2x00x0试证明 x t 为宽平稳过程；解：（ 1） mx te a cos0 ty e aecos0ty 2x 22xe 2dx 2costydy0与 t 无关0200x（ 2）2

3、te x 2 t e a cos0ty 2e a 2 ecos 2 ty e a2 e a2 x 223e2x2dx012200t2e2t2dt ，t2te 2|0t2e 2dt0t2022e 2|22x所以2 t e x 2 t （ 3） rx t1,t2 ea cos0t1y a cos0t2y e a 2 ecos0t1y cos0t2y 2212cos020t10t2ycos0 t21t1 2dy2 cos0 t2t1 只与时间间隔有关，所以x t 为宽平稳过程；6 、 设随机过程x t rtc ， t0, ， c 为常数， r 听从 0,1 区间上的匀称分布；（ 1 ）求（ 2 ）求

4、x t 的一维概率密度和一维分布函数；x t 的均值函数、相关函数和协方差函数；【理论基础】（1） ） f xxf t dt ，就f t 为密度函数；1, axb（2） ） x t 为 a ,b 上的匀称分布，概率密度函数f xba，0,其他分布函数f xx b0, xaa , ax a1, xbb ， e xab ， d x 2ba 2；12ex , x0（ 3）参数为的指数分布，概率密度函数f x0, x，分布函0数f x21ex , x0， e x1 ， d x10, x0；（ 4）e x, d x2的 正 态 分 布 ， 概 率 密 度 函 数f x x212e2,x2，分布函数f x

5、t1x e2222dt,x，如0,1 时，其为标准正态分布；【解答】（ 1 ）因 r 为0,1 上的匀称分布， c 为常数，故x t 亦为匀称分布；由r 的取值范畴可知，x t 为 c , ct 上的匀称分布， 因此其一维概率密度 f x1 , ctxct，一维分布函数f x0, xcxc , cxct ；0, 其他t1, xctt（ 2 ）依据相关定义，均值函数mx t ex tc ；2相关函数rx s, te x s x t 1 st3c st 2c 2 ；协方差函数bx s, t ex smx s x t mx t st （当 s12t 时为方差函数）7 设随机过程x t x cos 2

6、t ,t, x 是标准正态分布的随机变量；试求数学期望e x t ，方差d x t ，相关函数rx t1 , t2 ，协方差c x t1 ,t2 ；解 ：由于x tx cos 2t,t, x n 0,1, e x 0, d x e x 2 1 ，（ 1 ）所以e x t e xcos 2tcos 2te x 0,（ 2 ）d x t d xcos 2t cos22td x cos22t ,（ 2 ）rx t1 ,t 2 e x t1 x t2 e xcos 2tx2cos 2t cos2t ,（ 2 ）cxt1 ,t2 rx t1 , t2 et1 e t 2 2rx t1 ,t2 cos 2

7、t.（ 2 ）8 、有随机过程 t ，-< t < 和t ，-< t < ，设 t = a sint + ， t = b sint +,其中 a ，b， ， 为实常数，匀称分布于 0 ， 2 ，试求 r s,t 1 ,021. 解： f20,其它2rs, testa sin0sb sintg 1d221abcosts 40costs2d1 ab2costs,s, t9 、随机过程t = a cost + ，-< t <+，其中 a,是相互统计独立的随机变量， ea =2, d a =4, 是在-5, 5 上匀称分布的随机变量， 是在 - ， 上匀称分布的随机

8、变量； 试分析 t 的平稳性和各态历经性；2 、解：mtet2120e a cost5dcost5ea edcostdef0m ,trt , tette a costa cost2e ae58dcostcoscosttcostd20558d405coscos 2t2d58205cosd4 sin 55defr所以具有平稳性；tlimt1t2tta costdtlimta sin tt cos0m故均值具有各态历经性；ttlimt1t2tta 2tacosta costdtlimt2t2costtcostdtacosrt2故相关函数不具有各态历经性；三、分析求证1、已知随机过程x t a cos

9、t ， 为0,2 内匀称分布的随机变量，a 可能是常数、时间函数或随机变量；a 满意什么条件时，x t 是各态历经过程？2 、某商店顾客的到来听从强度为4 人每小时的 poisson过程，已知商店 9 ：00 开门，试求：（ 1 ）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（ 2 ）如已知开门半小时中无顾客到来，那么在将来半小时中，仍无顾客到来的概率；3 、解：设顾客到来过程为nt,t>=0，依题意nt 是参数为的poisson过程；（ 1 ）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：pn124 10e2e 2（ 2）在开门半小时中无顾客到来可表示为n102，在将来半小时仍无顾客到来可表示为11n1n

10、120，从而所求概率为：pn 1n0 | n022pn 1n10 | n1n00221141 22pn 1n20ee3 、某商场为调查顾客到来的客源情形，考察了男女顾客来商场的人数；假设男女顾客来商场的人数分别独立地听从每分钟2 人与每分钟3 人的泊松过程；（1） ） 试求到某时刻 t 时到达商场的总人数的分布；（2） ） 在已知 t 时刻以有 50 人到达的条件下， 试求其中恰有 30 位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设n t, n1 t, n 2 t 分别为（ 0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数；（1） ） 由已知，n1t 为强度12 的泊松过程，n 2 t 为强度23 的泊松过程；故， n t 为强度125 的泊松过程；于是，p n tk5t kk .e 5 tk0,1,2, l（5 分）（2） ） pn 2t 30n t 50p n 2 t30, n t50 pn t 5030p n 2 t30 p n1 t 203t e3t / 30.2t 20e 2 t/