第八节函数的连续性与间断点

1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节第八节函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 第一章第一章 , : 21uuu变变量量1. 增量的定义增量的定义增量可正可负增量可正可负: , 0时时当当 u , 121是增大的是增大的变到变到从从变量变量uuuuu , 0时时当当 u 一、函数连续性的定义一、函数连续性的定义 . 121是减小的是减小的变到变到从从变量变量uuuuu . : 12uuuu 的的增增量量变变量量xy0 , : ),( 00 xxxxxfy 自变量自变量函数函数0 xxx 0)(xfy x y 从几何上观察从几何上观察:).(

2、)(00 xfxxfy , )( )( : 00 xxfxfy 函数值函数值函数增量函数增量: :).()(lim 00 xfxfxx . )( , )( 00连连续续在在点点函函数数那那么么就就称称如如果果有有定定义义的的某某一一个个邻邻域域内内在在点点设设函函数数xxfyxxfy , 0)()(limlim0000 xfxxfyxx2. 连续的定义连续的定义,0 xxx 设设),()( 0 xfxfy 则则yxfxf )()( 0 0lim0 yx定义定义1.定义定义2:)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数.)(

3、0连续连续在在xxf设函数设函数若若xy0f (x)0 x 0 x 0 xaxfxx )(lim0问题问题：函数在点函数在点x0 0连续与连续与存在极限的区别存在极限的区别？1. x = x0必须取到必须取到2. a = f (x0)f (x0)f (x0)+ f (x0) 并且并且 a= f (x0)f (x)在在x0连续连续 )()(lim00 xfxfxx )(0连续连续在在xxf函数函数)(xf在点在点0 x(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx 连续连续,存在存在;有定义有定义,存在存在;必须具备

4、下列条件必须具备下列条件: :说明说明: :. 0 , 0, 0, 0,1sin)( 处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf例例1.证证: , 01sinlim)(lim 00 xxxfxx,0)0( f又又.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim 0fxfx 3. 单侧连续单侧连续(1) 左连续左连续 . )( ),( )(lim)( 0000左连续左连续在在则称函数则称函数如果如果xxfxfxfxfxx (2) 右连续右连续 . )( ),()(lim)( 0000右连续右连续在在则称函数则称函数如果如果xxfxfxfxfxx )()(lim )(000 xfx

5、fxxfxx 处处连连续续在在函函数数)()()( 000 xfxfxf .00, 20, 2)(2的连续性的连续性处处在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf例例2.解解:)2(lim)(lim)0( 00 xxffxx2 )2(lim)(lim)0(200 xxffxx2 .0)(处处连连续续在在点点故故函函数数 xxf)0()0( ff)0(f .00,0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa例例3. .解解:xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0( af )0()0()0(fff 要使要使

6、,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a连续函数与连续区间连续函数与连续区间 在区间上在区间上每一点每一点都连续的函数都连续的函数,叫做在该区间叫做在该区间上的连续函数上的连续函数, 或者说函数在该或者说函数在该区间区间上连续上连续.,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续点点并并且且在在左左端端内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 连续函数的图形连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线是一条连续而不间断的曲线.xy0)(xfy ab ;),(内是连续的内是连续

7、的有理整函数在区间有理整函数在区间例例4. 有关有理函数的讨论有关有理函数的讨论.:)( )( )1(多项式多项式有理整函数有理整函数xf,r0 x ),()(lim 00 xfxfxx 都有都有:)()( )( )2(xqxpxf 有理分式函数有理分式函数 , 0)( 0时时当当 xq ),()(lim 00 xfxfxx 都有都有故有理分式函数在其定义域内每一点连续故有理分式函数在其定义域内每一点连续.例例5.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证:),( xxxxysin)sin( 2sin)2cos(2xxx , 1| )2cos(| xx|2sin|2 | x

8、y )r( | sin . 0lim 0 yx故故.),(sin都都是是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy.),(cos 连续连续对任意对任意函数函数 xxy. |2|2xx 同理同理,在在在在二、函数的间断点二、函数的间断点(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 ,但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点0 x之一之一函数函数 f (x) 在

9、点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;例例6. . 1 11 2处处在在函数函数 xxxy , 11 1 2无定义无定义处函数处函数在在 xxyx 11lim 21xxx但但, 2)1(lim1 xx. 1 为为可可去去间间断断点点故故 xxoy11. 可去间断点可去间断点 (极限存在的间断点极限存在的间断点). 1 是是函函数数的的间间断断点点 x例例7.00, 10, 0, 0, 1)(处处在在函数函数 xxxxxxxf . 0 为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 x2. 跳跃间断点跳跃间断点 (单侧极限存在但不相等的间断

10、点单侧极限存在但不相等的间断点)(lim0 xfx )1(lim0 xx, 1 )(lim0 xfx )1(lim0 xx, 1 )0()0( ffoxy-113. 无穷间断点无穷间断点 (极限为无穷大的间断点极限为无穷大的间断点)例例8. . 2 tan 处处在在正切函数正切函数 xxyxxtanlim 2 , , tan 2 , 的的间间断断点点是是故故函函数数在在此此无无定定义义xx . tan 2 的的无无穷穷间间断断点点是是xx xytan 2 xyo例例9.01sin)(处处在在函数函数 xxxfxy1sin ,0)(处处没没有有定定义义在在 xxf).11(1sinlim0之间来

11、回振荡之间来回振荡和和在在不存在不存在且且 xx.0为为振振荡荡间间断断点点 x4. 振荡间断点振荡间断点间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点: :)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点: :)(0 xf及及)(0 xf中至少有一个不存在中至少有一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 ,称称0 x若其中有一个为若其中有一个为, 为为可去间断点可去间断点;为为跳跃间断点跳跃间断点.为为无穷间断点无穷间断点;为为振荡间断点振荡间断点.,)1(1)( 2并并

12、判判断断其其类类型型间间断断点点找找出出函函数数 xxxxf例例10., 1 , 0)( 处处没没有有定定义义在在 xxf01)1(lim 20 xxxx. 1 , 0 均均为为间间断断点点 x解解: : )1(1 lim 20 xxxx )1(1lim 21xxxxxxx1lim1 , 2 . 1 ,0 为为可可去去间间断断点点为为无无穷穷间间断断点点 xx内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存

13、在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式1. f (x) . e11)( 1的间断点的类型的间断点的类型确定函数确定函数xxxf 1.解解: : . 1 ,0 xx间断点为间断点为)(lim0 xfx因为因为, ; 0为无穷间断点为无穷间断点所以所以 x, , . 1 为跳跃间断点为跳跃间断点所以所以 x xxx1lim 1因为因为, 0)(lim 1 xfx所以所以 xxx1lim 1因为因为, 1)(lim 1 xfx所以所以思考题思考题: . , ),( 1lim)( 2212baxbxaxxxfnnn和和试确定常数试确定常数内连续内连续在在设函数设函数 2解解: : , 1 时时当当 x1lim)(2212 nn