正弦定理概念教学设计

1、正弦定理概念教学设计 正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”。我与大家分享正弦定理的教学设计，欢迎参考！ 一、教学内容分析本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书·数学必修5（北师大版）第二章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及

2、特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察实验猜想证明应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。二、学情分析布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩

3、证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。三、设计思想：正弦定理一课教学模式和策略设计就是想让素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究。旨在通过学生自己的思维活动获取数学知识，提高学生基础性学力(基础能力)，培养学生发展性学力(培养终身学习能力)，诱发学生创造性学力(提高应用能力)，最终达到素质教育目的。为此，我在设计这节课时，采用问题开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略。通过设置开放性问题，问题的层次性推进和教师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学能力，达到上述三种学力的提高、培养和诱发。以学生参与

4、为主，教师启发、点拨教学策略是体现以学生发展为本的现代教育观，在开放式讨论过程中，提高学生的数学基础能力，发展学生的各种数学需要，使其获得终身受用的数学基础能力和创造才能。建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，

5、教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。为此我们根据“问题教学”模式，沿着“设置情境-提出问题-解决问题-反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为主线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境-问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：1、创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；2、启发、引导学生提

6、出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？3、为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后引导学生对猜想进行验证。四、教学目标：1让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探

7、索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。2通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。3通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。4培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量

8、积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。五、教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。六教学过程1、设置情境利用投影展示：一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1 km的码头C处。已知船在静水中的速度vl= 5 kmh，水流速度v2=3 kmh。2、提出问题师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组(前后4人为一小组)汇总整理后交给我。待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸通过投影

9、向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：(l)船应开往B处还是C处？(2)船从A开到B、C分别需要多少时间？(3)船从A到B、C的距离分别是多少？(4)船从A到B、C时的速度大小分别是多少？(5)船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？大家经过讨论达成如下共识：要回答问题(l)，需要解决问题(2)，要解决问题(2)，需要先解决问题(3)和(4)，问题(3)用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题(4)，问题(4)与问题(5)是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题(4)和(5)。师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题

10、对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。生：船从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小v及vl与v2的夹角：生：船从A开往C的情况如图3，AD=v1= 5，DE=AF=v2=3，易求得AED =EAF = 450，还需求及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？生：在已知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这4个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一

11、边的对角。生：如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出。只要能知道三角形中两条边与其对角这4个元素的数量关系，则第三边也可求出。生：在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这4个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。师：同学们的设想很好，只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则两个问题都能够顺利解决。下面我们先来解答问题：三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？3、解决问题师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三

12、角形中试探一下。师：请各小组研究在RtABC中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？多数小组很快得出结论：asinA = bsinB = csinC。师：asinA = bsinB = csinC在非RtABc中是否成立？众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论；若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非RtABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失

13、误的原因后指出：此关系式在任意ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1、三角形的面积不变；2、三角形同一边上的高不变；3、三角形外接圆直径不变。师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。生：要想办法将向量关系转化成数量关系。生：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。生：还要想办法将有三个项的关

14、系式转化成两个项的关系式。生：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑选一个与三个向量中的一个向量(如向量AC)垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积。师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。4.运用定理，解决例题师生活动：教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如 ；如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如 。师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，

15、让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。例1：在 中，已知 ， ， ，解三角形。分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为 求出第三个角C，再由正弦定理求其他两边。例2：在 中，已知 ， ， ，解三角形。例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流5. 反馈练习（教科书第5页的练习）6.尝试小结：教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。学生：思考交流，归纳总结。师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（ ）及其证明思想方法。（2）正弦定理的应用范围：已知三角形中两角及一边，求其他元

16、素；已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。（3）分类讨论的数学思想。7.作业设计作业：第10页习题1.1A组第1、2题。七.教学反思在本课的教学中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。创设数学情境是这种教学模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。这种教学模式主张以问题为连线组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，因此，如何引导学生提出问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出数学问题，不