第三讲_等边三角形[1]

1、 课程开发模板·文理科等边三角形 一、知识梳理/提炼1. 等边三角形的定义：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.2. 等边三角形的性质：（1）等三线合一边三角形的内角都相等，且均为60°。 （2） 等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） （3） 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。 （4）等边三角形重心、内心 、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）3.等边三角形的判定（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义） （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形 （

2、3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 二、课堂精讲例题例题1题目：有两个角等于60°；有一个角等于60°的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有（ ） A B C D- 解题思路：等边三角形是特殊的等腰三角形，故它具备了等腰三角形的一切性质。但又因为等边三角形是特殊的等腰三角形，故等边三角形所拥有的一些性质是等腰三角形所不具有的。 解法与答案：D题目：若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一定为（ ）A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D

3、钝角三角形- 解析：这道题考查了等边三角形的判定。 答案：A例题2题目：如图，D、E、F分别是等边ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则DEF的形状是（ ） A等边三角形 B腰和底边不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等边三角形- - 选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定。- 解题思路：根据题意证得以ADFBEDCFE即可求证- 解法与答案：n 解：ABC为等边三角形，且AD=BE=CF AF=BD=CE- 又A=B=C=60° ADFBEDCFE- DF=ED=EF DEF是一个等边三角形 故选A题目：如图所示，在等边ABC中，AD=BE=CF,D,

4、E,F不是中点，连结AE,BF,CD.构成一些全等三角形，如果将三个全等三角形组成一组，那么图中全等三角形的组数是（ ）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 - 解析：这题是例2的变形，考查的知识点仍然是等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定。 答案：C例题3题目：如图，BD为等边ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若AB=6cm，则CE= cm - 选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；直角三角形的性质- 解题思路：求CE的长，题中给出DB=DE，由角相等可求出CD=CE，所以CE为边长AC的一半- 解法与答案：BD为等边ABC的边AC上的中线， BDAC，-

5、 DB=DE， DBC=E=30° ACB=E+CDE=60°- CDE=30° CDE=E， 即CE=CD= 1/2AC=3cm 故填3- 点评：本题考查了等边三角形的性质；要熟练掌握等边三角形的性质，得到CDE=30°是正确解答本题的关键题目：如图：已知等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DMBC，垂足为M，求证：M是BE的中点 - 解析：要证M是BE的中点，根据题意可知，证明BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证- 答案：解：在等边ABC，且D是AC的中点，- 连接BD，且CE=CD，DMBC；

6、所以DBC=E=30°，- 则BD=ED，又DMBC， M是BE的中点例题4题目：在等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由（2）若等边ABC的边长为6cm，求BDE的面积 - 选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；三角形的面积；三角形的外角性质；直角三角形的性质- 解题思路：- （1）根据等边三角形三线合一的性质可得BD是ABC的角平分线，即可得CBD=30°，根据三角形外角性质即可得DCE=120°，根据CD=CE，可得CDE=CED=30°，即可得CED=CBD=30°，即DB=D

7、E- （2）过A作AGBC，过D作DFBC，则DF= AG，根据直角三角形的性质可以求得BE的长，根据BE、DF的长即可计算BDE的面积- 解法与答案：- 解：（1）D是等边ABC的边AC的中点，- BD是ABC的角平分线，CBD=30°，- DCE=120°，且CD=CE，- CDE=CED=30°， CBD=CED， DB=DE- （2）过A作AGBC，过D作DFBC- D为AC中点， CE=CD=3cm， BE=3cm+6cm=6cm，- AG= AB=cm，- DFBC，AGBC， DF= AG= cm，- = BEDF= ×9× =c

8、m²- 点评：本题考查了等边三角形边长与高线长的关系，考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形三线合一的性质，本题中正确计算DF的值是解题的关键题目：如图，等边ABC的边长为8，点P是边AB的中点，F为BC延长线上一点，CF= 1/2BC，过P作PEAC于E，连PF交AC边于D，求DE的长 - 解析：本题主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，灵活运用等边三角形的性质和判定进行证明是解此题的关键，题型较好，有一点难度- 答案：解：过P点作PGBC，交AC于G点- 等边ABC的边长为8，- 点P是边AB的中点，CF= 1/2BC

9、，- AP=CF， PGCF， APG是等边三角形- PEAC， EG= 1/2AG， APG是等边三角形，AP=CF，- PG=CF PGCF， PFD=DCQ，FPD=Q，- PG=CF， PDGFDC， DG=CD， DG= 1/2CQ，- DE=EG+DG= 1/2AG+ 1/2CQ= 1/2AC， ED=5- 答：DE的长是5例题5题目：如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边ACD和等边BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N给出以下三个结论：AE=BD CN=CM MNAB其中正确结论的个数是（） - 选题意图（对应知识点

10、）：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质- 解题思路：- 由ACD和BCE是等边三角形，根据SAS易证得ACEDCB，即可得正确；由ACEDCB，可得EAC=NDC，又由ACD=MCN=60°，利用ASA，可证得ACMDCN，即可得正确；又可证得CMN是等边三角形，即可证得正确- 解法与答案：- ACD和BCE是等边三角形，- ACD=BCE=60°，AC=BC，EC=BC，- ACD+DCE=DCE+ECB- 即ACE=DCB， ACEDCB（SAS）， AE=BD，故正确；- EAC=NDC， ACD=BCE=60°， DCE=60&#

11、176;， ACD=MCN=60°，- AC=DC， ACMDCN（ASA）， CM=CN，故正确；- CMN是等边三角形， NMC=ACD=60°， MNAB，故正确- 故选D- 方法归纳：这个基本图形的特点是两个等边三角形有一个公共点，绕着公共顶点，图形可以进行旋转变换。但无论图形怎样旋转，ACEDCB的结论都是成立的但其他的不一定会相等。题目：如图所示,已知线段BD上一点C,分别以BC和CD为边作等边ABC和等边CDE,连结AD和BE，在AD和BE上截取AG=BF.连结CF，FC，CG。证明CFG是正三角形 - 解析：本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的

12、性质和判定等知识点，灵活运用等边三角形的性质和判定进行证明是解此题的关键，题型很典型，是在基本图形上变化出来的图形，我们可以通过基本图形的结论来得出新的结论- 答案：- ABC和CDE是等边三角形，- ACB=DCE=60°，AC=BC，CD=CE，- ACB+ACE=DCE+ACE，- 即BCE=ACD，- BCEACD，- DAC=EBC，- 又AC=BC，AG=BF- BFCAGC，- CG=FC,FCB=GCA，- FCB+ACF=GCA+ACF,即ACB=GCF=60°- CFG是等边三角形，例题6：题目：如图，点O是等边ABC内一点，AOB=100°，

13、BOC=将BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADC，连接OD当= 时，AOD是等腰三角形 - 选题意图（对应知识点）：三角形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的判定- 解题思路：要使AOD为等腰三角形，应有OA=OD，或OD=DA或OA=AD，只要相关角相等由已知条件利用等边三角形的性质即可结论- 解法与答案：- BOC绕点C按逆时针方向旋转60°得ADC，- COD为一等边三角形，- COD=60°- 假设OD=OA，则+100°+60°+AOD=360°，AOD=180°-2（-60°），解得=100

14、76;；- 当OD=AD时，+100°+60°+AOD=360°，AOD= 180°-(-60°)2，解得=160°；- 当OA=AD时，+100°+60°+AOD=360°，AOD=-60°，解得，=130°题目：如图，设E是正ABC内的一点，EB=3，EC=4，EA=5，,求BEC的度数。 - 解析：本题三个ABE、AEC、BEC都可以旋转，通过旋转可以构造等边三角形，在利用等边三角形的性质解决问题。- 答案：150° 例题7：题目：如图所示，等边ABC的边长为2，BDC

15、是顶角BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个AMN，则AMN的周长为 - 难度分级：B类- 试题来源：课时训练- 选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质;全等三角形；截长补短法；数形结合思想- 解题思路：- 这道题目设计到了线段的和，AMN的周长=AM+AN+MN,故我们也可以考虑截长补短法。由于BDM+CDN=60°，MDN=60°，BD=CD，在NDN内是可以作出DE=BD=CD，且ECN=CDN，且EDM=BDM的，解题的关键是证明点E在线段MN上，根据DEN=DCN=90

16、°，DEM=DBM=90°，DEM+DEN=180°，从而证明点E在线段MN上，于是再利用EN=NC，EM=MB证得AMN的周长=AB+AC=4- 解法与答案：- 截长补短法- 解：MDN=60°，BDC=120°，- BDM+CDN=60°，- BD=CD，- DCB=DBC= （180°-120°）/2=30°，- ABC=ACB=60°，ABD=ACD=90°，- 又BD=CD，DM=DN，- RtMBDNCD（HL），- BDM=CDN= BDC-MDN2= (120°

17、;-60°)/2=30°，- 过D作DEMN，又三角形MDN为等边三角形，- DE为MDN的平分线，即MDN=30°，- MDB=EDM=30°，MBD=DEM=90°，且MD=MD，- DEMDBM，ME=BM，- 同理EDNCDN，EN=CN，- AMN的周长=AN+AM+MN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=2+2=4- 故填4题目：（1）用旋转变换处理例题7（2）在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系如

18、图，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式_；此时=_如图，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_(用x，L表示)- 解析：（1）由DM=DN，MDN=60°，可证得MDN是等边三角形，又由ABC是等边三角形，CD=BD，易证得RtBDMRtCDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN，此时 Q/L=2/3；- （2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1可证DBMDCM1，即可

19、得DM=DM1，易证得CDN=MDN=60°，则可证得MDNM1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；- （3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证DBMDCM1，即可得DM=DM1，然后证得CDN=MDN=60°，易证得MDNM1DN，则可得NC-BM=MN例题8题目：如图，已知ABC中，AB=AC，D是ABC外一点且ABD=60°，ADB=90°- 1/2BDC求证：AC=BD+CD.- 选题意图（对应知识点）：轴对称的性质；等边三角形的判定与性质 - 解题思路：以AD为轴作ABD的对称ABD，后证明C、D、B在一条直线上，及A

20、CB是等边三角形，继而得出答案 - 解法与答案：- 证明：以AD为轴作ABD的对称ABD（如图），则有BD=BD，AB=AB=AC，B=ABD=60°，ADB=ADB=90°- 12BDC，所以ADB+ADB+BDC=180°-BDC+BDC=180°，所以C、D、B在一条直线上，所以ACB是等边三角形，所以CA=CB=CD+DB=CD+BD 题目：如图，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE求证：EC=ED - 解析：首先延长BD至F，使DF=BC，得出BEF为等边三角形，进而求出EBCEDF，从而得出EC

21、=DE - 答案：证明：延长BD至F，使DF=BC，AE=BD，ABC为等边三角形，BE=BF，B=60°，BEF为等边三角形，F=60度，BE=EF，B=F=60°，BC=DF，EBCEDF，EC=ED 例题9题目：已知，ABC是边长3cm的等边三角形动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t= （s）时，PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发设运动时间为t（s），那么t为何值时，PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从

22、点C出发，沿射线BC方向运动连接PQ交AC于D如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发设运动时间为t（s），那么t为何值时，DCQ是等腰三角形?（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动连接PQ交AC于D，连接PC如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发请你猜想：在点P、Q的运动过程中，PCD和QCD的面积有什么关系？并说明理由- 难度分级：C类- 试题来源：课时训练- 选题意图（对应知识点）：勾股定理的应用；三角形的面积；等腰三角形的判定 - 解题思路：- （1）当PBC是直角三角形时，B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；（2）因为B=60°

23、;，可选取BPQ=90°或BQP=90°，然后根据勾股定理计算出BP长，即可算出t的大小；（3）因为DCQ=120°，当DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值；（4）面积相等可通过同底等高验证 - 解法与答案：- 解：（1）当PBC是直角三角形时，B=60°，BPC=90°，所以BP=1.5cm，所以t= 3/2（2）当BPQ=90°时，BP=0.5BQ，3-t=0.5t，所以t=2；当BQP=90°时，BP=2BQ，3-t=2t，所以t=1；所以t=1或2（s）（3）因为DC

24、Q=120°，当DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，所以PDA=CDQ=CQD=30°，又因为A=60°，所以AD=2AP，2t+t=3，解得t=1（s）；（4）相等，如图所示：作PE垂直AD，QF垂直AD延长线，因为AP=QF，F=AEP，QCF=A，所以EAPFCQ，所以PE=QF，所以，PCD和QCD同底等高，所以面积相等 - 搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）题目：如图，在等边ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动P、Q两点同时出发，

25、它们移动的时间为t秒钟.（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来（2）请问几秒钟后，PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按逆时针方向沿ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？ - 解析：- （1）由三角形ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到AB=BC=9cm，由P的速度和时间t表示出P走过的路程CP的长，然后用边长BC减去CP即可表示出BP；由Q的速度及时间t，即可表示出Q走过的路程BQ；（2）若PBQ为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有PB=BQ，由（1）表示出的代数式代入即可列出关于t的方程，求出

26、方程的解即可得到满足题意的t的值；（3）同时出发，要相遇其实是一个追击问题，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追击上P，题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程-P运动的路程=18列出关于t的方程，求出方程的解即可求出满足题意的t的值，然后由求出t的值计算出P运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置 - 答案：- 解：（1）等边ABC，BC=AB=9cm，点P的速度为2cm/s，时间为ts，CP=2t，则PB=BC-CP=（9-2t）cm；点Q的速度为5cm/s，时间为ts，BQ=5t；

27、（2）若PBQ为等边三角形，则有BQ=BP，即9-2t=5t，解得t= 9/7，所以当t= 9/7s时，PBQ为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得：5t-2t=18，解得t=6，则6s时，两点第一次相遇当t=6s时，P走过得路程为2×6=12cm，而91218，即此时P在AB边上，则两点在AB上第一次相遇 例题10题目：附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q求证：BQM=60度（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许

28、多问题，如：若将题中“BM=CN”与“BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到BQM=60°？若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到BQM=60°？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”： ； ； 并对，的判断，选择一个给出证明. - 难度分级：C类- 试题来源：中考试题汇编- 选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质 - 解题思路：（1）在ABM和BCN中，根据 BM=NC

29、ABM=BCNAB=BC判定ABMBCN，所以BAM=CBN，则BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60度（2）同样还是根据条件判定ACMBAN，得到AMC=BNA，所以NQA=NBC+BMQ=NBC+BNA=180°-60°=120°，即BQM=60°；同上，证明RtABMRtBCN，得到AMB=BNC，所以，QBM+QMB=90°，BQM=90°，即BQM60° - 解法与答案：证明：（1）在ABM和BCN中，ABMBCN，BAM=CBN，BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60°（2）是；是；否的证明

30、：如图，在ACM和BAN中，ACMBAN，AMC=BNA，NQA=NBC+BMQ=NBC+BNA=180°-60°=120°，BQM=60°的证明：如图，在RtABM和RtBCN中， ，RtABMRtBCN，AMB=BNC又NBM+BNC=90°，QBM+QMB=90°，BQM=90°，即BQM60° 搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）题目：例题10第（3）问四、巩固练习基础训练题（A类）1、 如图，等边ABC的三条角平分线相交于点O，ODAB交BC于D，OEAC交BC于点E，那

31、么这个图形中的等腰三角形共有（） A、5个 B、6个 C、7个 D、8个 2、 如图，ABC是等边三角形，D为AB的中点，DEAC垂足为点E，EFAB，AE=1，则EFC的周长= 。3、如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=CE，BE与CD交于点F，则EFC的度数等于 。 4、 如图所示，ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DEAB，AEBC，DE与AE交于点E，点G是AE的中点，GFDE，EFAC，EF交GF于点F，若AB=4cm，则图形ABCDEFG的外围的周长是多少？ 5、已知：如图，E是四边形ABCD的边AD上一点，且ABC和CDE都是等边三角形求证：BE=

32、AD 提高训练（B类）6、如图，已知O是等边三角形ABC内一点，AOB、BOC、AOC的度数之比为6：5：4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数是 7、P是等边ABC内部一点，APB、BPC、CPA的大小之比是5：6：7，所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是 。8、如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且EDBC，则CE的长是 。 9、如图,ABC中,AB=AC,D为ABC外一点，且ABD=ACD =60°，求证：CD=AB-BD。 10、如图，已知ABC是等边

33、三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形 11、如图1，等边ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且AD=BE=CF（1）DEF是 三角形；（2）如图2，M为线段BC上一点，连接FM，在FM的右侧作等边FMN，连接DM、EN求证：DM=EN;（3）如图3，将上题中“M为线段BC上一点”改为“点M为CB延长线上一点”，其余条件不变，求证：DM=EN综合迁移（C类）12、如图，ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P和动点Q分别从点B和点C同时出发，沿着ABC逆时针运动，已知动点P的速度为

34、1（cm/s），动点Q的速度为2（cm/s）设动点P、动点Q的运动时间为t（s）（1）当t为何值时，两个动点第一次相遇（2）从出发到第一次相遇这一过程中，当t为何值时，点P、Q、C为顶点的三角形的面积为 cm2 （友情提示：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半） 13、已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作ACD和BCE，且CA=CD，CB=CE，ACD=BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若ACD=60°，则AFB= ；如图2，若ACD=90°，则AFB= ；如图3，若ACD=120°，则AFB= ；（2）如图4，若A

35、CD=，则AFB= （用含的式子表示）；（3）将图4中的ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若ACD=，则AFB与的有何数量关系？并给予证明。答案：基础训练题（A类）1、答案：选C 2、答案：EFC的周长=3+3+3=9 3、答案：60°4、答案：图形ABCDEFG的外围的周长为：AB+BC+CD+DE+EF+FG+GA=4+4+2+2+1+1+1=15（cm） 5、 证明：ABC和CDE都是等边三角形，BC=AC，CE=CD，ACB=ECD=60°ACB+ACE=ECD+ACE即得BCE=ACD在BCE和ACD中，

36、 BCEACD（SAS），BE=AD提高训练（B类）6、答案：36°或60°或84° 7、答案：2：3：4 8、答案：9、 在AB上取点E，使BE=BD， 在AC上取点F，使CF=CD 得BDE与CDF均为等边三角形，只需证ADFAED10、 证明：ABC是等边三角形，CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，又ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE，AD=BE，AM=BN；又AMCBNC，CM=CN，ACM=BCN；又NCM=BCN-BCM，ACB=ACM-BCM，NCM=ACB=60°，CMN是等边三角形 11、证明：（1）ABC是等边三角形，AB=BC=AC，A=B=C=6