高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2

1、2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质目标定位1.证明并掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.1.直线与平面垂直的性质定理自 主 预 习文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言图形语言作用线面垂直线线平行作平行线ab2.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则_垂直于_的直线与另一个平面_符号语言图形语言作用面面垂直_垂直作面的垂线aal一个平面内交线垂直线面即 时 自 测1.判断题(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一

2、条也垂直于这个平面.( )(2)垂直于同一平面的两个平面平行.( )(3)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直 线在第一个平面内.即，a，ab，bb.( )(4)如果平面平面，那么平面内的所有直线都垂直于平面.( )提示(2)垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行.(4)直线与平面位置关系不确定.2.abc所在的平面为，直线lab，lac，直线mbc，mac，则直线l，m的位置关系是()a.相交 b.异面 c.平行 d.不确定解析因为lab，lac，ab，ac且abaca，所以l，同理可证m，所以lm.答案c3.在长方体abcda1b1c1d1的棱ab上任取一点

3、e，作efa1b1于f，则ef与平面a1b1c1d1的关系是()a.平行 b.ef平面a1b1c1d1c.相交但不垂直 d.相交且垂直解析在长方体abcda1b1c1d1中，平面a1abb1平面a1b1c1d1且平面a1abb1平面a1b1c1d1a1b1，又ef面a1abb1，efa1b1，ef平面a1b1c1d1，答案d正确.答案d4.已知a、b为直线，、为平面.在下列四个命题中，正确的命题是_(填序号).若a，b，则ab；若a，b，则ab；若a，a，则；若b，b，则.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知假；由“垂直于同一直线的两平面平行

4、”知真；易知假.答案类型一直线与平面垂直的性质及应用【例1】 如图，正方体abcda1b1c1d1中，ef与异面直线ac、a1d都垂直相交.求证：efbd1. 证明如图所示，连接ab1、b1d1、b1c、bd，dd1平面abcd，ac平面abcd，dd1ac.又acbd，dd1bdd，ac平面bdd1b1，又bd1平面bdd1b1，acbd1.同理可证bd1b1c，又acb1cc，bd1平面ab1c.efa1d，a1db1c，efb1c.又efac，acb1cc，ef平面ab1c，efbd1.规律方法证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证

5、两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.【训练1】 如图，已知平面平面l，ea，垂足为a，eb，垂足为b，直线a，aab.求证：al.证明因为ea，l，即l，所以lea.同理leb，又eaebe，所以l平面eab.因为eb，a，所以eba，又aab，ebabb，所以a平面eab.因此，al.类型二平面与平面垂直的性质及应用【例2】 已知：、是三个不同平面，l为直线，l.求证：l.证明法一设a，b，在内任取一点p，过p在内作直线ma

6、，nb，如图.，m，n，又l，ml，nl，又mnp，l.法二如图，a，b，在内作ma，在内作nb.，m，n，mn.又n，m ，m，又l，m，ml，l.规律方法1.证明或判定线面垂直的常用方法有：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a则b；(a，b为直线，为平面).(4)若a，则a；(a为直线，为平面).2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【训练2】 设平面平面，点p在平面内，过点p作平面的垂线a，试判断直线a与平面的位置关系.解如图，设c，过点p在平面内作直线bc.根据平面与平面垂直的性质定理有

7、b.因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b重合，因此a.类型三线线、线面、面面垂直的综合应用(互动探究)【例3】 如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为a的菱形，且dab60，侧面pad为正三角形，其所在的平面垂直于底面abcd.(1)若g为ad边的中点，求证：bg平面pad；(2)求证：adpb.思路探究探究点一运用面面垂直的性质定理的一般策略是什么？提示运用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线：过其中一个平面内一点作交线的垂线.这样就把面面垂直转化成线面垂直或线线垂直了.探究点二线线、线面、面面垂直关系之间有怎样的转化关系？提示证明(1)在菱形abcd中，d

8、ab60，abd为正三角形，又g为ad的中点，bgad.又平面pad平面abcd，bg平面abcd，平面pad平面abcdad，bg平面pad.(2)连接pg，如图，pad为正三角形，g为ad的中点，pgad.由(1)知bgad，pgbgg，ad平面pgb，pb平面pgb，adpb.规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.【训练3】 如图，已知四棱锥pa

9、bcd的底面是直角梯形，abcbcd90，abbcpbpc2cd，侧面pbc底面abcd.pa与bd是否相互垂直？请证明你的结论.解pa与bd相互垂直.证明如下：如图，取bc的中点o，连接po、ao.pbpc，pobc，又侧面pbc底面abcd，平面pbc平面abcdbc，po底面abcd，又bd平面abcd.pobd，在直角梯形abcd中，易证abo bcd，baocbd，cbdabd90，baoabd90，aobd，又poaoo，bd平面pao，bdpa，即pa与bd相互垂直.课堂小结1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的

10、依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：1.下列说法正确的是()a.垂直于同一条直线的两直线平行b.垂直于同一条直线的两直线垂直c.垂直于同一个平面的两直线平行d.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析由线面垂直的性质定理知c正确.答案c2.设l是直二面角，直线a，直线b，a，b与l都不垂直，那么()a.a与b可能垂直，但不可能平行b.a与b可能垂直，也可能平行c.a与b不可能垂直，但可能平行d.a与b不可能垂直，也不可能平行因为，所以a，又b，ab，b，而l，bl，与b和l不垂直矛盾，所以b错.解析当a，b都与l平行时，则ab，所以a、d错，如图，若ab过a上一点p在内作al，答案c3.如图，在三棱锥pabc内，侧面pac底面abc，且pac90，pa1，ab2，则pb_.