机械优化设计第八章

1、1第四章第四章 一维优化方法一维优化方法4-3 4-3 二次插值法二次插值法( (近似抛物线法近似抛物线法) )2插值基本原理：插值基本原理： 多项式逼近原理多项式逼近原理 利用目标函数在一些点的函数值等信息来利用目标函数在一些点的函数值等信息来构造一个低次插值多项式，以此多项式的最优构造一个低次插值多项式，以此多项式的最优点作为原函数的最优点的近似解点作为原函数的最优点的近似解3)(fo)(f)(p)(111fp，)(222fp，)(333fp，p*33f11f22f4：一、24)(pp)(fo)(f)(p33f11f22fpf3)(fo)(fp33f11f22fpf12)(fo)(f33f

2、11f22fppf)(fo)(f)(pp33f11f22fpf312：二、24)(p5 坐标轮换法坐标轮换法例题分析例题分析61 1、熟悉无约束优化方法的基本思路及分类、熟悉无约束优化方法的基本思路及分类2 2、掌握坐标轮换法的基本思想及适用范围、掌握坐标轮换法的基本思想及适用范围7一、无约束优化方法)()(min*xffxrxxfn最优解：无约束优化问题无约束优化问题：)(*)(*)()2()1()0()()()()1(xffxxxxxxsxxkkkkkk：直到满足收敛精度为止、后，求得解序列：给定二、无约束优化的基本思想二、无约束优化的基本思想格式：8)(ks1 1、确定一个有利的搜索方向

3、、确定一个有利的搜索方向2 2、确定最优步长、确定最优步长（函数下降量最大）（函数下降量最大）)()()() 1(kkkksxx广义的一维搜索)()(min)(min)()()()()() 1(kkkkkksxfsxfxf关键：构造一个有利的搜索方向s( k)9三、无约束优化方法分类三、无约束优化方法分类1 1、直接法：、直接法： 坐标轮换法；坐标轮换法；powell 法法 适用性广、可靠性高、收敛慢适用性广、可靠性高、收敛慢2 2、间接法：、间接法： 梯度法、牛顿法、变尺度法梯度法、牛顿法、变尺度法 收敛快、目标函数复杂时不能用收敛快、目标函数复杂时不能用 102xo1x)0(x)1(0x)

4、1(1x)1(2)2(0xx)2(2)3(0xx)2(1x*xtxxx,20) 1 (1) 1 (1txxx,2010) 0(txxx,) 1 (2) 1 (1) 1 (2一轮搜索：一轮搜索：二维问题二维问题11 n 始点始点1.1.先将先将（n-1n-1）个变量固定）个变量固定，只对第一个变量，只对第一个变量 进行一维搜索，求得目标函数沿进行一维搜索，求得目标函数沿x1 1方向上的方向上的 最小点最小点2 2、再从、再从 出发，只对第二个变量进行一维出发，只对第二个变量进行一维 搜索，而将其余搜索，而将其余（n-1n-1）个变量固定）个变量固定，求得，求得 目标函数沿目标函数沿x2 2方向上

5、的最小点方向上的最小点3 3、以后依次如上求出：、以后依次如上求出： 每次只此在一个坐标轴方向上改变相应变量每次只此在一个坐标轴方向上改变相应变量 的值，其余的值，其余( (n n -1)-1)个变量不变个变量不变, , 到此完成一到此完成一 轮迭代轮迭代)1(1x)1(1x)1(2x)1(3x)1(4x)1(nx)0(x)1(0x12 n 4 4 、若不满足收敛精度若不满足收敛精度, ,则进行下一轮迭代则进行下一轮迭代: : 仿上进行第二轮搜索，第三仿上进行第二轮搜索，第三轮搜索，直到得到满足收敛精度要求的点轮搜索，直到得到满足收敛精度要求的点为止为止)2(0)1(xxn)(knx思路：思路

6、：多维问题多维问题 一系列一系列“一维问题一维问题”),.,2 , 1()()()(1)(nisxxkikikiki13),.,2 , 1(0,.,1,.,0)(niestiki)(min)()()()(1)()()(1)(kikikikikikisxfsxfxf. 步长因子的确定方法)()()(1)()(kikikixfxf可正、可负，但须：14、任选初始点，作为第一轮的起点，收敛精度任选初始点，作为第一轮的起点，收敛精度为为) 1 (0)0()0(2)0(1)0(,.,xxxxxtn2 2、置搜索方向依次为：、置搜索方向依次为：),.,2 , 1(0,.,1,.,0)(niestiki(

7、)11( )22( )1,.,0,.,00,1,0,.,0.0,.,.0,1ktktktnnsesese153 3、按下式求最优步长并进行迭代计算：、按下式求最优步长并进行迭代计算：)()()(1)()()()(1)()(1)()()(min)(minkikikikikikikikikikisxxsxfsxfxf的最优步长利用一维优化方法求得)(ki一维搜索的序号循环序号（轮号）ik4 4、若、若i = n, ,则进行下一步，反之则进行下一步，反之in,in,则转则转3 3、：、：5 5、终止判别：、终止判别：)(0)(kknxx16若上式成立，则迭代中止，输出：若上式成立，则迭代中止，输出：

8、否则，转否则，转3 3、继续迭代、继续迭代)(*)(*xffxxkn算法参考框图可参见教科书1 1、适于、适于n1010的的小型低维优化问题小型低维优化问题的求解的求解2 2、其效能在很大程度上取决于目标函数的性态、其效能在很大程度上取决于目标函数的性态172xo1x)0(x)(xa 显效显效2xo1x)0(x)(xb 有效有效)0(x2xo1xa)(x c 无效无效脊线18例题分析：数的最优值的坐标轮换法求目标函，用最优步长法精度，设初始点：已知：1 . 0,0060410)()0(21212221txxxxxxxxf解：1 1、做第一轮迭代计算、做第一轮迭代计算0010000:01.111

9、1)1(0)1(1)0()1(0)1(111exxxxsexa进行一维搜索的单位坐标方向沿192122)1(1)1(2)1(1)1(2225100505:10.exxxsexc进行一维搜索的单位坐标方向沿056010)(min.)1(11121)1(11，即：采用一维优化方法求出：按最优步长法确定xxfb205 .455 .4359)(min.)1(22222)1(22，即：采用一维优化方法求出：按最优步长法确定xxfd继续迭代不满足要求：取）（）（检验精度要求：)1(2)2(022)1(0)1(27 .604.50-5.xxxxe2、各、各轮迭代计算见下表：轮迭代计算见下表：21迭代轮数迭代轮数 1 6.7 2 3.09 3 1.16 4 0.26 5 0.08)(0kx)(1kx)(2kx)(0)(2kkxx00055 . 455 . 455 . 425. 7625. 625. 7625. 6313. 8625. 625. 7156. 63