均值不等式常考题型教程文件

1、学习资料均值不等式及其应用一.均值不等式221 .(1)若 a,b R,则 a2 b22ab (2)若 a,b R ,则 ab a一-(当且仅当 a b 时取“二”)22 . (1)若 a,b R,则，b Tab (2) 若 a,b R,则 a b 2 Jab (当且仅当 a b 时取“=”) 22(3)若a,b R*,则ab %上 (当且仅当a b时取“=”)21 一 13.若x 0,则x 2 （当且仅当x 1时取“=”）；若x 0,则x 2 （当且仅当xxx若x 0iUx 11 . .2即x 1 2或x 1 -2 （当且仅当a b时取“二”）xxx2 （当且仅当ab时取“二”）各种学习资料

2、，仅供学习与交流若ab 0,则a b 2即a b b a b aa b2或a b -2 (当且仅当a b时取"=”) b a4.若 a,bR,则（圣）2222a一b_ （当且仅当a b时取"二”）2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一：求最值例1 :求下列函数的值域11 y=3x 2+27 y=x+ x解：（1） y=3x 2 +

3、17 >2、，3x 2 T-2 =乖 ，值域为m,+00） 2x2x 一1(2)当 x>0 时，y=x + ； > x彳=2;x ，当 x<0 时， y=x+； = （ x x ） W 2yx1 = 2，值域为（一00, 2 U 2 , +8）解题技巧：技巧一：凑项一 一， 5例1 ：已知x ,求函数y 4x 2 的取大值。44x 5解：因4x 5 0,所以首先要“调整”符号，又（4x 2）1不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项, 4x 5115x 一, 5 4x 0， y 4x 2 5 4x 32 3 1144x 55 4x一，1当且仅当5 4x 一，即x 1时，上

4、式等号成立，故当x 1时，ymax 1。5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当U . x £4时，求y x(8 2x)的最大值。解析：由口工.4知，X- 2工 口，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。(12初£；产+；-23 ,8当2x= 8-2其，即x=2时取等号 当x=2时，y x(8 2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求

5、最大值。3变式：设0 x -,求函数y 4x(3 2x)的最大值。2-32x 3 2x 9解：0 x - - - 3 2x 0/. y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2 - ,一 33当且仅当2x 3 2x,即x 30,3时等号成立。42技巧三：分离,x1 因t 0,t - 1 ,但t -解得ttt 7x 10例3.求y -一-0(x1)的值域。x 1x+1)的项，再将其分离。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(了十五十10 _ Q十1尸十5任十1)十4工十1当天，即工-12 口时,9 (当且仅当x=1时取“=”号)。t=x + 1 ,化简原式在分离求最值。技

6、巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4 , 4y = t -ttt当天-1 ,即 t=|x + 1 1 0 时，y 2 Jt - 559 (当t=2即x=1时取“=”号)。然后运用均值不等式来求最值。a f (x) x 的单倜性。x评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A值。即化为y mg(x) B( A 0,B 0) , g(x)恒正或恒负的形式,g(x)技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数例：求函数yx2 4t(t 2),则 yx2 5

7、xr41不在区间2,故等号不成立，考虑单调性。1.因为y t ：在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故 y ?。2 5所以，所求函数的值域为5,2练习.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.X2 3x 1-1 八 y ,(x 0) y 2x -，x 3 y12sin x ,x (0,) sin x2,已知0x 1,求函数y Jx(1 x)的最大值.；3. 0 x 2,求函数y Jx(2 3x)的最大值.31条件求最值1.若实数满足a b 2,则3a3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a和3b都是

8、正数，3a 3b> 2V3a 3b 2V3a b 6当3a 3b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6.变式：若 log 4 x log 4 y1一的取小值.并求x,y的值y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192：已知x 0, y 0,且一 一 1,求x y的最小值。 x y错解：x 0, y 0 ,且1 1 , x y2牌历 12 故 x y min 12。错因：解法中两次连用均值不等式，在x y min16 。.一 ,y 9x当且仅当 工 时，上式等号成立，又1 9 ,一 ， 一1

9、,可得 x 4, y 12 时,变式：(1)若x,y R且2x y 1,求12的最小值x y（2）已知a,b,x,y R且a b 1,求x y的最小值x y技巧七、已知x, y为正实数，且x 2 + y2- =1,求x4l + y 2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab<a 2+b 2同时还应化简I +y 2中y2前面的系数为2 ,x.1 + y 2 = x yj2-2y- =J2 x -下面将x, /1+，分别看成两个因式：2 y 21x .+ '2即 x*7 1 + y 2 =72x +万+232=41技巧八：已知 a, b为正头数，2b+ab+a=3

10、0,求函数y= 的最小值. ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值,一是通过消元，转化为一元函数问题二是直接用基本 不等式，对本题来说，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式,再用单调因已知条的途径进行。注302b法一：a=,b+ 1302bab= , , ., b =b+ 1-2 b2+30bb+ 1由 a>0得，0vbv15法二:点评:令 t= b+1,ab< 18由已知得：令 u= , ab1vtv16, ab =2t 2+ 34t311.底历30ab=a

11、 +2b.本题考查不等式(7+2季ab< 18,c ,16 、 c16c 16c2 (t+y ) +34-t + -j7 >2 t =8当且仅当t=4,即b=3, a= 6时，等号成立。a + 2b>2/2ab30 ab>2/2-abu-30<0, -5/2WuW3 m1 y y 18.ab (a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式ab a 2b 30（a,b R）出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式a_b Tab （a,b R ）,这样将已知条件转换为含 ab的不等式，进而解得 ab的范围.2变式：1.已知a

12、>0, b>0, ab （a + b）=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y=10,求函数 W = *x +烟 的最值.a b a 2b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，号 wa-2,本题很简单V3x2y < V2 7 （倔）2+ （弧）2 = V2 13x+ 2y =275解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。W>0, W2=3x+ 2y+ 2>J3x 2y =10 + 23x j2y &

13、lt;10 + Gj3x )2 - (2y )2 =10+ (3x+ 2y) = 20 W<20 =2平变式：求函数y75-2x(1 x 5)的最大值。,22解析：注意到2x 1与5 2x的和为定值。y2 晨2n . 52x)2 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8又y 0,所以0 y 2展3当且仅当2x 1=5 2x ,即x 时取等号。故ymax 272。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等"，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用均值不等式

14、。应用二：利用均值不等式证明不等式1,已知a,b,c为两两不相等的实数，求证： a2 b2 c2 ab bc ca1)正数 a, b, c 满足 a+b+c=1,求证：(1 a)(1 b)(1 c)> 8abc例6:已知a、b、c R一 .,1,1,1,一且 a b c 1。求证：一1 1 18a b c分析：不等式右边数字8 ,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个2”连乘，又解:一 a、b、b c 2 bc,可由此变形入手。-1同理一 b1 / 2.ab一 1 。c c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得2 bc2.ab8。当且仅当1 , 一一时取等号。3应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且一 一 1,求使不等式x y m恒成立的实数 m的取值范围。 x y19( xy9x9y(10 y 9x(解：令 x y k, x 0, y 0, - - 1,