圆锥曲线基础知识

1、圆锥曲线1 .圆锥曲线的两个定义：(1)第二足X.一户婴里理:莅号，电的阻则箜件:椭圆中，与两个定点 F1, 52的距离的 和等于常数2a,且此常数2a 一定要大于F1F2 ,当常数等于 F1 F2时，轨迹是线段 F1F2,当常数小于F1 F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1 , 52的距离的差的绝对值等于常数 2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与 2av|F1F2|不可忽视。若2a =|F 1F21 ,则轨迹是以F1, F2为端点的两条射线，若 2a > |F 1F21 ,则轨迹不存在。若去掉定 义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。期0)已知定点F1( 3

2、,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A. PF1 PF24 B . PF1 PF26-_22、一c. PF1PF210D. PF1 PF212 (答：C);.工2、方程J(x 6)2 y2 J(x 6)2 y2 8表示的曲线是 (答：双曲线的左支)(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率 e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此 点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点Q(2/2,0)2X及抛物线y 一上一动点P (X,y ),则y+|PQ|的最小值

3、是 (答：2)42.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)：(1)椭圆：焦点在X轴上时中为参数)，焦点在y轴上时2 x -2 a2y2a2 y b22 x b21 (a b 0)x acos y bsin(参数方程，其2=1 ( a b 0 )。万程 AxBy2C表示椭圆的2 2充要条件是什么(ABO 0,且A, B, C同号，Aw B)。如(1)已知方程-x- -y 1表示3 k 2 k1122椭圆，则k的取值范围为 (答：(3, )U( ,2)； (2)若x, y R,且3x 2y 6, 22则x y的最大值是 , x2 y2的最小值是(答：

4、J5,2)2222(2)双曲线：焦点在x轴上：xy匕=1 ,焦点在y轴上：4x2 =1 (a 0,b 0)。a ba bB异号)。如(1)双曲线方程Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是什么( ABO 0,且A,的离心率等于 交，且与椭圆 y- 1有公共焦点，则该双曲线的方程2942x 2一 y 1)； (2)设中心在坐标原点 O,焦点F1、F2在坐标轴上，离心率 e 4C过点P(4, 画,则C的方程为 (答：x2 y2 6)(3)抛物线：开口向右时y2 2px( p 0),开口向左时y22 px( p2 2时 x 2py(p 0),开口 向下时 x 2 py( p 0)。3 .圆锥曲线焦点

5、位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：(1)椭圆：由x 2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。22的双曲线0),开口向上如已知方程3、,1)(1,2)2 一1表示焦点在y轴上的椭圆，则 m的取值范围是(答：(1 2 m（2）双曲线：由x 2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F1, 52的位置， 是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型， 而方程中的两个参数 a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲

6、线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a2b2c2,在双曲线中，c最大，c2a2b2。4.圆锥曲线的几何性质：22（1）椭圆（以2 -yy 1 （ a b 0）为例）：范围：a x a, b y b ；a b焦点：两个焦点（c,0）；对称性：两条对称轴 x 0, y 0, 一个对称中心（0,0）,四个顶2点（a,0）,（0, b）,其中长轴长为2 a,短轴长为2b；准线：两条准线 x ；离心c22» cx y率：e ，椭圆 0 e 1,e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆 1a5 m25m的值是 （答：3或）；（2）以椭圆上一点和

7、椭圆两焦点为顶点的3三角形的面积最大值为 1时，则椭圆长轴的最小值为 _ （答：2J2）x2 y2.一一（2）双曲线（以二2T 1 （a 0,b 0）为例）：范围：x a或x a,y R； a2 b2焦点：两个焦点（c,0）;对称性：两条对称轴 x 0, y 0, 一个对称中心（0,0）,两个顶点（a,0）,其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线,双曲线其方程可设为x2 y2e 1,等轴双曲线2a-ck, k 0 ；准线：两条准线x 一 ；离心率：e 一,cae V2 , e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐b近线：y 2x。如（1）双曲线的渐近线

8、方程是 3x 2y 0,则该双曲线的离心率等于 a（答： 晅或近3）； （2）双曲线ax2 by2 1的离心率为 石，则a:b =23生 一15 X2（答：4或1）; （3）设双曲线4a22、 1 (a>0,b>0)中，离心率 e V2 ,2, b2则两条渐近线夹角0的取值范围是 （答： ,）;3 2 抛物线（以y2 2px（p 0）为例）：范围：x 0, y其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴R;焦点：一个焦点（-,0）,2y 0,没有对称中心，只有一设a个顶点（0,0）;准线：一条准线 x 2；220,a R,则抛物线y 4ax的焦点坐标为225、点P（%,

9、y0）和椭圆与彳 1 （ a b a b22x0yo，一 ，-y 21 ; （2）点 P（x0,y0）在椭圆上a bc离心率：e 一 ,抛物线 e 1。如 a1、 （答：（0,）；16a0）的关系：（1）点P（x0,y0）在椭圆外22x°y° 二=1; （3）点 P（x0,y°）在椭圆内a b22xo yo /-T 1a b6.直线与圆锥曲线的位置关系（1）相交： 0直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0 直线与抛物线相交

10、， 但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则 k的取值范围是 （答：15221恒有公共点，则m的取值范围是 (-,-1) );(2)直线 ykx 1=0与椭圆-y-22x y（答：1 , 5） U （5, +8）；（3）过双曲线 J 1的右焦点直线交双曲线于 A、B两点,12若1 AB| = 4,则这样的直线有 条（答：3）;（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与

11、椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与22抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过双曲线三 匕=1外一点a bP（x0, y°）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐

12、近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点（2,4）作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有 （答：2）； （2）过点（0,2）与双x2244 5曲线x_ X 1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 （答：4, 03 ）；9 16332（3）过双曲线x2 -y- 1的右焦点作直线l交双曲线于 A、B两点，若|AB 4,则满足条件的直线l有 条（答：3）; （4）对于抛物线C: y2 4x ,我们称满足y02 4x0的

13、点M（&, y°）在抛物线的内部，若点 M（x0,y。）在抛物线的内部，则直线l： y0y 2（x x0）与抛物线 C的 位置关系是 （答：相离）；（5）过抛物线y24x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q.22两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q,则2 1 （答：1）;（6）设双曲线工 二一1p q169的右焦点为F ,右准线为l ,设某直线m交其左支、右支和右准线分别于 P,Q,R,则 PFR和 QFR的大小关系为 （填大于、小于或等于 ）（答：等于）；（7）求椭圆_ 227x2 4y281328上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离（答： ）；（8）直线y ax 1与

14、13双曲线3x2 y2 1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上当a为何值时，以ab为直径的圆过坐标原点（答：J3,，3 ；a 1）；7、焦半径（圆锥曲线上的点 P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离， 即焦半径r ed,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。 如（1） 22已知椭圆 土 匕 1上一点P到椭圆左焦点的距离为 3,则点P到右准线的距离为 （答： 25 16一）；（2）已知抛物线方程为y2 8x,若抛物线上一点到 y轴的距离等于 5,则它到抛物线 3的焦点的距离等于 ; （3）若该抛物线上的点 M到焦点的距离是4,则点M的坐标为

15、22（答：7,（2, 4）; （4）点P在椭圆 上 y- 1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的25925两倍，则点P的横坐标为 （答： ）；（5）抛物线y2 2x上的两点A、B到焦点的距1222离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为 （答：2）; （6）椭圆土 .y- 1内有一43点P（1, 1） , F为右焦点，在椭圆上有一点M使MP 2MF 之值最小，则点 M的坐标为1）；问题：常利用第一定8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P（Xo, y0）到两焦点Fi,F2的距离分别为1,2,焦点 F1PF2的面积为r1 r2

16、即P为短轴端点时，|y0| b即P为短轴端点时，一 一.一 x2y2，S,则在椭圆T 七 1中， a b.22b c 最大为m ax = arccos2aSmax的最大值为bc；对于双曲线; S b2 tan c| y0 |,当22与 4 1的焦点三角形有： a b2, 2b2小q1arccos 1 ； S r1r2 sin122b2 cot 。如（1）短轴长为55 ,离心率e 2 23的椭圆的两焦点为 F1、F2 ,过F1作直线交椭圆于 A B两点，则 庆852的周长为 （答：6）; （2）设P是等轴双曲线x2 y2 a2（a 0）右支上一点，F、F2是左右焦点，若PF2 F1F2 0, |

17、PF1|=6,则该双曲线的方程为 （答：x2 y2 4）; （3）椭圆22 1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点，当PF2 - PF1 <0时，点P的横坐标的取值94范围是3.5 3.5（答：（ ,）;（4）双曲线的虚轴长为55一 ». 64,离心率e=,2Fi、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于 A、B两点，且AB是AF2与BF2 等差中项，则 AB = （答：8应）;（5）已知双曲线的离心率为 2, F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且F1PF2 60 , S PFF22x y1）;12<3 .求该双曲线的标准方程（答:4 129、抛物线中

18、与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则/ AMF= / BMF （3）设AB为焦点弦,A B在准线上的射影分别为 A1, B1,若P为A1B1的中点，则PAL PB; (4)若AO的延长线交 准线于C,则BC平行于x轴，反之，若过 B点平行于x轴的直线交准线于 C点，则A, O, C 三点共线。10、弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点 A B,且x1,x2分别为A、B的 横坐标，则AB = J1 k2 x1 x2 ,若y1, y2分别为A、B的纵坐标，则AB =卜 J|yi y2| ,若弦AB所在直

19、线方程设为x ky b,则|AB = Ji k2|y V2。特另U地，焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线 于A (xi, yi), B (x2, y2)两点，若xi+x2=6,那么|AB|等于 (答：8); (2)过抛物线2y2 2x焦点的直线交抛物线于 A、B两点，已知|AB|=10 , O为坐标原点，则A ABCM心的横坐标为 (答：3);11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”22椭圆 冬 1中，以P(x0,yo)为中点的弦所在直线的斜率 a

20、 b22x2 与 1中，以P(x0, y°)为中点的弦所在直线的斜率a b或“点差法”求解。在一 bkk= 12a Vob2x0 .k= 2，a Vo；在双曲线在抛物线y2 2Px(p 0)中，以P(xo,yo)为中点的弦所在直线的斜率k= °如(1)如果椭圆yo22 1弦被点 A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 (答：3692y 1(a b 0)相交于A、B两点，且b22x(答：Y2)；(3)试确2x 2y 8 0)； (2)已知直线y=x+1与椭圆2 a线段AB的中点在直线 L: x 2y=0上，则此椭圆的离心率为22定m的取值范围，使得椭圆 y 1上有不

21、同的两点关于直线y 4x m对称(答:432 13 2 13、,)；1313特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0!12.你了解下列结论吗22220 ；共渐近线)的双曲线方程为1有共同的渐近线，且过点(32回 的(1)双曲线上二1的渐近线方程为或 2,22,2a ba bb22(2)以ybx为渐近线(即与双曲线J yaab2 x2 a222工(为参数，金0)。如与双曲线Lb2(916皿十” 4x2 y2双曲线方程为 (答：竺或1)94(3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2 ny2 1；(4)椭圆、双曲线的通径

22、(过焦点且垂直于对称轴的弦)为2b2竺，焦准距(焦点到相应ab2 (5)(6)c通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;若抛物线y2 2 px(p0)的焦点弦为 AB, A(x yj B(x2, y2),则 | AB|X1X2p ; x1x2经过定点若OA OB是过抛物线(2p,0)2p42y2 px(p0)顶点。的两条互相垂直的弦，则直线AB恒准线的距离)为 b-,抛物线的通径为 2p,焦准距为p；一动圆与两圆。M： x2y21和ON： x22y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为(答：双曲线的一支)；代入转移法：动点 在某已知曲线上，则可先用P(x, y)依赖于另一动点x, y的代

23、数式表示%,Q(xo,y。)的变化而变化，并且 Q(xo,y。)又yo ,再将xo,y。代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线y 2x2 1上任一点,则M的轨迹方程为(答：y 6x2定点为 A(0, 1)，点M分PA所成的比为2,工)；3参数法：当动点 P(x, y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时, 虑将x,y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。是圆。的直径，且|AB|=2 a, M为圆上一动点，作 MNLAB,垂足为 N,在OM上取点可考如(1) ABP,使2|OP | | MN | ,求点P的轨迹。(答：x2y a|y |) ; (2)

24、若点 P(x1,y1)在圆y2 1上运动，则点 Q(xiYi, Xi y1)的轨迹方程是线x2 4y的焦点F作直线l交抛物线于 A(答：x2 2y 2 )；“21、 (答：y 2x 1(|x| 2) ) ； (3)B两点，则弦 AB的中点M的轨迹方程是过抛物13.动点轨迹方程：(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；(2)求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x, y) 0;如已知动点P到定点F(1,0)和直线x 3的距离之和等于 4,求P的轨迹方程.(答： y212(x 4)(3 x 4)或2y 4x(0 x 3)；待定系数法：已知所求曲线的

25、类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程， 再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点 M (m, 0) (m 0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴，过 A、。B三点作抛物线，则此抛物线方程为 (答：y2 2x)；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆x2 y2 1作两条切线PA PB,切点分别为A、B, /APB=60, 则动点P的轨迹方程为 (答：x2 y2 4) ; (2)点M与点F(4,0)(答：y2 16x);的距离比它到直线l: x 5 0的距离小于1,则点M的轨迹方程是2 X 转

26、化。如已知椭圆a注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”24 1(a b 0)的左、右焦点分别是 b2Fi (c, 0)、F2 (c, 0), Q是椭圆外的动点，满足|F1Q| 2a.点P是线段RQ与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT TF2 0,|TF2 | 0. (1)设x为点P的横坐标，证明 c|F1P | a x； (2)求点T的轨迹C的万程；(3)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点 M a使FiMF的面积S=b2.若存在，求/ FiMF的正切值；若不存在，

27、请说明理由 .(答：(1)略；22“、222, b , b (2) x y a ； (3)当 一 a时不存在；当 一 a时存在，此时/ FiMF = 2)cc曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中， 常借助于“平面几何性质”数形结合 (如角平分线的双 重身份一一对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等 如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点 ”，那么可选择应用“斜率或向量”为