高中数学 第二章 推理与证明 2.3.1 数学归纳法课件10 新人教B版选修2-2

1、2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法 对于数列对于数列 , ,已知已知 , ,求通项公式求通项公式. .na), 3 , 2 , 1( ,1, 111 naaaannn111 an时，时，2122 an时，时，3133 an时，时，4144 an时，时，猜想：猜想：nan1 1.了解数学归纳的原理了解数学归纳的原理2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 ( () ) 思考：此游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件？思考：此游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件？1.第一块骨牌倒下第一块骨牌倒下2.任意相邻的两块骨牌，任意相邻的两块骨牌， 前一块倒下一定

2、导致后一块倒下前一块倒下一定导致后一块倒下递推关系：第递推关系：第k块倒下，相邻的第块倒下，相邻的第k+1块也倒下块也倒下1.第一块骨牌倒下第一块骨牌倒下2.任意相邻的两块骨牌，任意相邻的两块骨牌， 前一块倒下一定导致前一块倒下一定导致 后一块倒下后一块倒下（第（第k块倒下，相邻的块倒下，相邻的第第k+1块也倒下）块也倒下）数列数列 , ,已知已知 猜想：猜想：nannnaa,aa 1111nan1 1. 时，时，1 n1111 a2.假设假设 时成立，那么时成立，那么 时猜想也成立，即时猜想也成立，即k kn n 1 1k kn n111 kak多米诺骨牌多米诺骨牌一般地证明一个与正整数 1

3、.1.（归纳奠基（归纳奠基) )证明当证明当 2.2.（归纳递推）假设当（归纳递推）假设当 nn0n*0(,)nk knkn1nk有关的命题，可按下列步骤进行：取第一个值取第一个值 时命题成立；时命题成立；时命题成立，时命题成立，时命题也成立时命题也成立. .证明当证明当证明：（1）当 左边 右边所以等式成立.(2)假设当 2222(1)(21)1236k kkk那么,当 2) 1( + k6) 1(6) 12)(1(2+=kkkk6)672)(1(2+=kkk6) 32)(2)(1(+=kkk6 1) 1(21) 1)(1(+=kkk即当 根据(1)和(2),可知等式对任何 *nn22222

4、123(1)kk6) 12)(1(+=kkk=1n2=1 =1，=1，*()nk kn1nk1nk时，时等式成立,即时等式也成立.都成立.变式练习变式练习1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 2*1 3 5(21)().nn n n 证明证明（1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立，等式成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式对任何正整数），可知等式对任何正整数n都成立都成立（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即21 3 5(21).kk 2221 3 5(21) 2(1) 1(2(1)

5、121(1)kkkkkkk 那么当那么当n=k+1n=k+1时，时， 分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：纠错!（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(nn*)证明证明 ：假设当：假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k n n* *) )那么，当那么，当n=k+1n=k+1时，有时，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k+2（k+1)k+1) =k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1) =(k+1) =(k+1)2 2+(k+1)+1 ,+(k+1)+1 ,因此，对于任何

6、因此，对于任何n n n n* *等式都成立。等式都成立。缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(2)()1 223(1)1nnnnnn证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 212111) 1(1321211kkkk假设假设n=k(kn*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即此时，原等式成立。此时，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,由由 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. 11=1+12右边

7、证明 当n=1时,左边= , 21211*111(2)()1 223(1)1nnnnnn1) 1(1321211kkkk11111 22 3(1)(1) (2)111 (1) (2)(1) 1kkkkkkkkkk 假设n=k(kn*)时原等式成立 ，即21111右边= 此时，原等式成立。 那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由 知,对一切正整数n,原等式均正确. 11111=(1) ()()223111=11nnnnn 证二：左边右边，所以原等式成立。*111(2)()122 3(1)1nnnn nn 1. 试问等式 解:假设当 则当 所以等式对任何 事实上，当 四、深化理

8、解*()nk kn224621nnn224621kkk1nk2224622(1)12(1)(1)(1) 1kkkkkkk 1nk*nn1n 归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？成立吗？某同学用数学时等式成立，即时即当时等式也成立.都成立.时，左边2，右边3,左边右边，等式不成立.缺少归纳奠基，不属于数学归纳法，是不正确的.四、深化理解2. 判断证明下面等式是否使用了数学归纳法：*111()1223(1)1nnnnnn证明：当 11122，11112右边= ，等式成立. 假设当 *()nk kn=1n1111223(1)1kkkk那么当 1111111(1)()()1=22312

9、2(1)1kkkkk即当 根据 和，可知等式对一切正整数 1nk左边右边1nkn 没有用上“假设”，缺少归纳递推，故此法不是数学归纳法.如何修改？由 k1k 时,左边=时等式成立，即时,时,等式也成立.都成立. 到递推，请学生们自主完成.五、灵活应用 1.已知数列*1111()1 4 4 7 7 10(32)(31)nnnn， ， ， 项和，计算s1, s2 ,s3 ,s4,根据计算结果， nsnsn1111 44s ，2112=4477s ，3213=77 1010s ，4314=1010 1313s ， 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数 n31n .31nn

10、sn下面用数学归纳法证明猜想：解析： 时，显然成立；（2）假设 =1n*=n kn.31kksk2113413131 3431 34kkkkskkkkk则311131 34311kkkkkk也成立由（1）和（2）可知 31nnsn*nn设为数列前猜想表示为,可以猜想（1）当时，对任何的 都成立.的表达式，并用数学归纳法进行证明.五、灵活应用2n2n 2.比较 分析：当 =1n1221； 时， =4n222 =2 ； 时， =3n3223； 时， =2n422 =4 ； 时， =5n522 5 ； 时， =6n622 6 ； 时，22.nn5n 下面用数学归纳法证明猜想： 时，显然成立；=5n（

11、2）假设 *= (5,)n k knn*()nn22;kk则当 1nk122(1) ,kk因为122=2 22kkk，即证222(1) .kk又222222(1) =21=(1)2(5 1)2=140,kkkkk所以 222(1)kk故当 1nk由（1）和（2）可知 22nn5n 和的大小.时，当当当当当猜想当（1）当时，有时，只需证成立.时，猜想成立.对任何的都成立.六、巩固训练 4.设 d非以上答案 成立时，起始值至少应取为.*111( )=1()2361f nnnn，(1)f151111112345答案：c*1111(,1)2321nn nnn1111127124264n答案：8(1)n

12、k k1nk答案：2k*111( )=1()23f nnnn*(1)(2)(3)(1) ( ) 1(2,).ffff nn f nnnn1若则为()a.b.c.2.用数学归纳法证明不等式3用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推理求证：时，左边应增加的项数是. 命题成立，”其本质是证明一个递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立，证明中要注意用假设与凑结论，增强目标意识七、善思多想0n 1.数学归纳法的第一步 提示:不一定，要看题目中对 n0n0n03.n 0(2) 180n ，

13、0n01n 02n 2.为什么可以先假设 *0(,)nk kn kn1nk*0(,)nk kn kn1nk 的初始值是否一定为1?第一个值边形的内角和为大，不一定是从1开始取值如证明值也比较，有时或整数中的最小值，有时是是适合命题的正的要求，时命题也成立就可说明命题成立？当时命题成立？再证提示：“假设时命题成立，证明当时 1.1.数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数学命题的重要有关的数学命题的重要 方法方法. .（1）证明当证明当 （2）假设假设 （3）由（1）和（2）得出结论，缺一不可，注意完整性.n0n0n*0(,)nk kn kn1nk2.2.数学归纳法的证明过程主要有两个步骤一个结论数学归纳法的证明过程主要有两个步骤一个结论: :取第一个值取第一个值（即命题允许的最小正整数如=1或2等）时结论正确时结论正确；时时，结论成立，当结论成立，当时，时，利用假设证明结论也成立利用假设证明结论也成立. 解析：当n1时，左边1aa111aa2，故c正确 答案：c 3用数学归纳法证明“2n1n2n2(nn*)”时，第一步验证为_ 解析：由nn*可知初始值为1. 答案：当n1时，左边4右边4 ，不等式成立