电磁场6.1-6.3

1、第6章 电磁波的传播本章叙述电磁波的基本传播规律，下一章叙述电磁波的辐射即电磁波的产生。所谓波是一种向外传播的扰动(或振动)，使能量从一点传播到另一点。在电磁波传播过程中物质没有位移。从电磁波的发生次序上看，只有先辐射出来，然后才能传播，似乎应该先叙述电磁波的辐射。但从历史的发展顺序看恰恰相反，1873年麦克斯韦首先提出了光的电磁学说，研究了平面波及其在结晶介质中的传播，而15年后的1888年才由赫兹做出电磁波辐射实验。本书大体是按历史发展顺序叙述的。本章由三部分组成：第一部分为电磁波在理想介质中的传播规律，包括理想介质中电磁波方程、均匀平面电磁波的基本特点与偏振、均匀平面电磁波在介质交界面上

2、的反射和折射；第二部分为电磁波在导电介质中的基本传播规律；第三部分为电磁波的定向传播，主要讨论电磁波在矩形金属波导管中的传播规律。6.1 理想介质中的时谐电磁波方程理想介质（电导率）是指没有能量损耗的介质。真空是一种理想介质。电导率很小的介质可以近似看作是理想介质。6.1.1 时谐电磁波的约束方程以下使用相量法导出复有效值矢量和分别满足的方程。设电磁波的角频率为，场量随时间的变化规律为， 当电磁波离开波源后，它在电容率和磁导率都是常量的理想介质中的运动服从以下两个旋度方程 (6-1-1) (6-1-2)两个散度方程和不必再列出。在方程(6-1-2)两端取旋度并利用式(6-1-1)，得由，从而时

3、谐电场满足的约束方程组为 (6-1-3) (6-1-4)式中 (6-1-5)同理，可写出时谐磁场满足的约束方程组为 (6-1-6) (6-1-7)已知时谐电场后，可由式(6-1-2)得到时谐磁场： (6-1-8)已知时谐磁场后，可由式(6-1-1)得到时谐电场： (6-1-9)6.1.2 时谐电磁波的分类时谐电磁波是正弦波。设标量形式的时谐波为 (6-1-10)为了看清时谐波在空间的变化情况，可以观察任意固定时刻的等幅面和等相面的形状。等幅面是指时谐波的振幅为常量的曲面，它的方程是(常量) (6-1-11)等相面是指时谐波的相角为常量的曲面，它的方程是(常量) (6-1-12)等相面又称为波阵

4、面。我们把等相面是平面、柱面和球面的波分别称为平面波、柱面波和球面波。当等幅面与等相面重合时，称为均匀波，反之称为非均匀波。也可以这样说，在等相面上振幅处处相等的波是均匀波，反之是非均匀波。6.2 均匀平面电磁波的基本概念本节研究线性、各向同性、均匀、定常、无限大理想介质中的平面波解。平面波是电磁波的一种最重要的传播形式，例如图6-2-1 是频率为20MHz的电流元（电偶极子）天线所辐射电磁波的等相面，可以看出距离波源越远，等相面越接近平面。因此研究平面波的传播规律具有重要意义。图6-2-1 电磁波（频率20MHz）的等相面6.2.1 基本波函数在直角坐标系中，时谐电磁场的复有效值矢量和可分别

5、表示为 (6-2-1) (6-2-2)将以上两式分别代入方程和中，得以下分量方程：，以上六个场量分量的方程可统一表示为 (6-2-3)下面用分离变量法求解方程(6-2-3)的非零解。设函数是以下三个单变量函数的乘积： (6-2-4)代入方程(6-2-3)，整理后得到 (6-2-5)要使以上三项共处于一个表达式中，只能是每项都分别等于某个常量，即 (6-2-6) (6-2-7) (6-2-8)其中 (6-2-9)三个常量所处的位置对称，根据式(6-2-9)可知，这三个常量都应是实数。不失一般性，可设,，以上三个方程的通解可分别表示为 (6-2-10) (6-2-11) (6-2-12)观察以上、

6、的表达式可知，它们都分别由两个复指数函数之和所组成，这两个复指数函数都有明确的物理意义。我们以为例来讨论。先把它写成瞬时式：它是距离和时间的二元函数。这种随着时间的增长而不断向方向移动的波，我们称它为入射波或正向行波。入射波的一般表达式是同理，的瞬时式表示以速度沿轴的方向匀速直线运动的行波，我们称它为反射波或反向行波。反射波的一般表达式是同样，和分别表示沿方向和方向传播的入射波，和分别表示沿方向和方向传播的反射波。而无限大均匀介质中不可能有反射波，所以应取，。于是方程的基本解函数为 (6-2-13)式中，k是传播矢量： (6-2-14)它的模。利用式(6-2-13)，场矢量可写成 (6-2-1

7、5) (6-2-16)式中和均为与空间坐标无关的常矢量。以上两个表达式分别是方程和的基本解。6.2.2 均匀平面电磁波的性质线性、各向同性、均匀、定常、无限大理想介质中的场量随时间按正弦规律变化时，电场强度在直角坐标系中可以表示成 (6-2-17)于是场量沿x，y，z轴的三个瞬时值分量为 (6-2-18) (6-2-19) (6-2-20)这三个分量都具有相同的变化规律，所不同的是振幅与初相角。在任意固定时刻，以上三个分量的等相面方程都具有相同的数学表达式 (6-2-21)这是一个关于坐标变量x，y，z的一次方程，它所表示的图形是平面。利用解析几何知识可知，在直角坐标系中，平面方程的一次项系数

8、是这个平面的一个法向矢量的坐标。因此，和都是等相面的法向矢量。这里取 (6-2-22)为直角坐标系中任意电场分量的等相面的单位法向矢量，如图6-2-2所示。图6-2-2 平面电磁波的等相面根据时谐电磁波的分类，是均匀平面波。同样，分量和也都是均匀平面波。根据均匀平面波表达式和，可得出特点如下。(1) 横波特性 利用矢量微分公式 和 可得 (6-2-23) (6-2-24) (6-2-25)式中。可见，k互相垂直，并构成右手螺旋关系。矢量k的方向代表了波的传播方向，这就是把叫做传播矢量的原因。定义波的振动方向与波的传播方向相垂直的波为横波。均匀平面电磁波是横波。例如，设电场的振动方向是，磁场的振

9、动方向是，则波的传播方向就是方向，图6-2-3描绘了这种情况下某一时刻均匀平面波振动矢量和在空间的分布情况。图6-2-3电场方向固定的均匀平面电磁波在某时刻的空间分布例6.2.1 均匀平面电磁波的电场为（是常矢量），证明电场是横波。解 因，即和垂直，而的方向是电磁波传播方向，所以是横波。(2) 相速 等相面向波的传播方向移动的速度称为相速。设是起点位于坐标原点、终点位于等相面上的位置矢量，则等相面移动的速度为 (6-2-26)利用等相面方程，由上式可得相速即 (6-2-27)特别地，真空中均匀平面电磁波的相速为真空中，。(3) 波长 均匀平面电磁波是正弦波。定义在同一时刻，相位差为的两个等相面

10、之间的距离是波长。在这个特定的直角坐标系中，根据波长的定义，有于是 (6-2-28)(4) 周期 定义在同一场点相位改变所需要的时间为周期T，则从而 (6-2-29)同一场点波的传播见两个动画，并判断电场方向和磁场方向。(5) 波阻抗 波阻抗是指电磁波的横向电场分量与横向磁场分量的比值。设均匀平面电磁波的电场和传播矢量分别为 和 可得磁场 这样，均匀平面电磁波的波阻抗为 (6-2-30)真空中的波阻抗。通过本节分析可以看到，在线性、各向同性、均匀、定常、无限大理想介质(是正常量)中传播的电磁波是横波，波的振幅在传播过程中保持不变，电场和磁场同相、方向互相垂直。以上通过在直角坐标系中求解波动方程

11、得到了平面波解，如果在圆柱坐标系和球坐标系中分别求解波动方程，则会分别得到柱面波解和球面波解。例6.2.2 无限大真空中电场有效值为、振动方向为的均匀平面电磁波，传播方向为，角频率为，初相角为，试分别写出电场强度和磁场强度的瞬时表达式。解 因传播矢量，从而场量的瞬时表达式为 式中。6.3 均匀平面电磁波的偏振波有纵波与横波之分，纵波的振动方向与传播方向相一致，横波的振动方向与传播方向相垂直。纵波的振动矢量相对于传播方向呈对称分布，横波的振动矢量相对于传播方向呈不对称分布。横波的振动矢量呈现的这种不对称分布称为波的偏振。纵波不存在偏振问题。均匀平面电磁波是横波。均匀平面电磁波中的振动矢量和振动矢

12、量互相垂直，两者的偏振情况相同。这样，研究波的偏振只需要研究其中一个振动矢量的偏振情况即可。在电磁场理论中，偏振波的振动矢量特指电场强度矢量。本节讨论均匀平面电磁波的偏振及其应用。6.3.1 偏振波的参数方程在直角坐标系中，时谐均匀平面电磁波的电场为假设，根据均匀平面电磁波的性质，必有，。此时电场强度的瞬时表达式为 (6-3-1)式中，。为了形象地表示均匀平面电磁波的振动矢量(6-3-1)相对于传播方向的分布情况，可用电场强度矢量端点随时间的变化轨迹来表示。在直角坐标系中，取轴表示分量，轴表示分量，设平面波在时，则以时间为变量的空间轨迹的参数方程为 (6-3-2)式中是均匀平面电磁波沿轴正方向

13、传播的相速。这样，不同的偏振波对应不同的空间曲线。6.3.2 两个垂直电场分量的合成当电场的振动被限制在一个平面内时，电场的大小随时间和距离按正弦规律变化，如图6-2-3所示。这种电场方向固定不变的情况是一种特殊情况。一般情况下，电场具有两个相互垂直的振动分量，合成后的电场方向随时随地变化，那么此时的偏振情况如何描述呢？设，由参数方程(6-3-2)的第二式，得 (6-3-3)再由参数方程(6-3-2)的第一式，得 和 把以上两式代入式(6-3-3)的右端，得移项后，成为上式两端平方，整理后可得 (6-3-4)由解析几何理论数学手册. 1979. pp.363-364可知，当时，这是一个以轴为中

14、心线的长直椭圆柱面方程，因此两个相互垂直的电场振动分量的合成运动轨迹一般为椭圆。利用参数方程(6-3-2)，可知电场矢量与轴正方向的夹角 (6-3-5)从而，电场矢量端点绕轴旋转的角速度为 (6-3-6)上式右端是时间的函数，说明电场矢量端点绕轴非匀速旋转。6.3.3 偏振波的三种形式将方程(6-3-4)与参数方程联立，就得到一条空间曲线。空间曲线的形状与相位差相对应，不同的有不同的形状。下面分别讨论。1线偏振波当相位差时，和同相，这两个正弦量同时达到最大值，同时过零点，式(6-3-4)变成线性方程 (6-3-7)此式与参数方程联立，表示位于振动方向和传播方向所决定的平面内的一条正弦曲线，如图

15、6-3-1(a)所示。这条曲线被限制在一个平面内，称这种偏振波为线偏振波。图6-2-3所示平面波就是线偏振波。在式(6-3-4)中，当时，和反相，这两个正弦量同时过零点，一个是最大值时另一个是最小值，式(6-3-4)变成线性方程 (6-3-8)此式与参数方程联立，也表示一条正弦曲线，曲线形状如图6-3-1(b)所示。此时的偏振波也是线偏振波。图6-3-1 线偏振波2 圆偏振波当（相位正交）和(常量)时，式(6-3-4)变成圆方程 (6-3-9)此式与参数方程联立，表示位于长直圆柱面上的一条螺旋线，曲线形状如图6-3-2所示，平头螺丝钉的螺纹就是这样的空间曲线。这条曲线被限制在一个长直圆柱面内，

16、称这种偏振波为圆偏振波。在图6-3-2(a)和(b)中所描绘的都是圆偏振波，但这两个波中的电场矢量端点绕轴的旋转方向不同：当时，即随着时间的增加夹角增加，见图6-3-2(a)；当时，即随着时间的增加夹角减少，见图6-3-2(b)。为区别这两种旋转方向，规定：当电场矢量端点旋转方向与波的传播方向构成右手螺旋关系时，称为右旋圆偏振波；反之，称为左旋圆偏振波。这个规定是国际电工委员会(IEC)和国际电信联盟(ITU)所制定的，成为电气和电信领域的国际标准。根据这个规定可知，图6-3-2(a)是右旋圆偏振波，图6-3-2(b)是左旋圆偏振波。 （a）右旋 （b）左旋图6-3-2 圆偏振波例6.3.1

17、无限大真空中的平面波为式中，。试判断该平面波的偏振形式。解 因，所以电场的两个分量为从而得 这是一个半径为、中心轴线为轴的圆柱面方程。接下来确定偏振波的旋向。如图6-3-3所示，在纸面上画出一个空间直角坐标系，在任意的平面内，令时刻时，则，电场矢量端点位于点；再令后一个时刻()时，则，电场矢量端点位于点。于是，电场矢量端点的绕向就是从点到点。由因子，可知平面波的传播方向为。这样，伸出左手，将拇指指向方向，四指的指向就与电场矢量端点的绕向相同(从点到点)。这说明本题所讨论的平面波是一个向方向传播的左旋圆偏振波，如图6-3-3所示。图6-3-3 向轴正方向传播的左旋圆偏振波3 椭圆偏振波一般情况下

18、，此时电场矢量端点的变化轨迹是长直椭圆柱面上的螺旋曲线。这条曲线被限制在一个长直椭圆柱面内，称这样的偏振波为椭圆偏振波。从式(6-3-6)可见，当时，即随着时间的增加夹角增加，这是右旋椭圆偏振波；当时，即随着时间的增加夹角减少，这是左旋椭圆偏振波。图6-3-4(a)和(b)分别描绘出了这两种旋向的椭圆偏振波在平面上的投影曲线。 图6-3-4 椭圆偏振波的旋向6.3.4 偏振波的应用把均匀平面电磁波划分为线偏振波、圆偏振波和椭圆偏振波，主要是为了波的接收。接收电磁波要使用天线，天线是指能够辐射或接收电磁波的部件。与三种偏振波对应，根据天线在远场区最大辐射方向上偏振波的不同，将天线分为线偏振天线、圆偏振天线和椭圆偏振天线。对称细直天线辐射线偏振波、圆螺旋细天线辐射圆偏振波，所以对称细直天线是线偏振天线，圆螺旋细天线是圆偏振天线。与地面平行的对称细直天线辐射水平线偏振波，与地面垂直的对称细直天线辐射垂直线偏振波；左旋的圆螺旋细天线辐射左旋圆偏振波，右旋的圆螺旋细天线辐射右旋圆偏振波。这里以线偏振波为例，说明天线不能接收与其垂直的偏振波。如图6-3-5所示，T和R分别是一套微波装置的发射机和接收机。