概率论与数理统计讲义第七章 参数估计

1、第七章 参数估计参数估计就是要从样本出发构造一些统计量作为总体某些参数（或数字特征）的估计量。点估计就是构造统计量。 j=1,2,n以的值作为的近似值。对进行估计，叫(点)估计量。若样本值代入称为的估计值。区间估计是根据样本构造出适当的区间，它以一定的概率包含未知参数。§7.1 点估计（一）矩估计法1.矩估计法的基本思想在总体的各阶矩存在的条件下，用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩，又由于总体的分布类型已知，总体的各阶矩可表示为未知参数的已知函数，这样样本的各阶矩就与未知参数的已知函数联系起来，从而得到参数的各阶矩。2.一般求法 =1,2k =1,2k 令 =1,2k将代入中， =

2、1,2k例 2 P159总体XUa,b,参数a,b未知，求a,b的矩估计。例 3 P160以下为第一版例。例7：总体XU0,b,参数b未知，求b的矩估计。例8：总体，未知，已知 是来自总体X的样本值，求的矩估计。例9：总体的概率密度为参数 均未知， 是来自总体的样本，求的矩估计。.总体的数学期望与方差的矩估计已知总体的二阶矩存在， 是来自总体的样本值。E(X),D(X)的矩估计是 注意： 此结论用于只要E(x)、D(x)存在的，不论分布是否已知的各类型总体的数字特征E(X)、D(X)的矩估计。例：总体XB(N,p)， 参数N、0<p<1均未知，已知 是来自总体的样本值，求N,p的矩

3、估计 。(二) 最大似然估计法1. 最大似然估计法的基本思想例：设在一个口袋中装有许多白球和黑球，但不知是黑球多还是白球多，只知道两种球的数量之比为1:3就是说抽取到黑球的概率为或。如果用有放回抽取的方法从口袋中抽取n=3个球，发现有一个是黑球，试判断p=?。 X 0 1 2 3 当时，P（取的三个球中有一个黑球）=大。选取参数总体较合理。故取p的估计值。最大似然估计基本思想：根据样本的具体情况，选择参数p的估计，使得该样本发生的概率最大。2.最大似然估计的求法设总体的形式已知，参数未知(j=1,2m)， 是来自总体的样本值。记，选择参数的估计，使样本取值附近的概率 = 达到最大，等价使 达到

4、最大。称L=L()=为样本值的似然函数。定义7.1如果似然函数L=L()在达到最大值，则称分别为的最大似然估计。2.一般步骤(1).当似然函数可微且参数集合是开集的条件下： 总体， i =1,2nL=L()=取对数 由似然方程解出=?.。讨论是最大值点，则它是的最大似然估计。例4 P162 ，求未知参数 的最大似然估计。例 5 P163 总体，未知, 已知 是来自总体X的样本值,求的最大似然估计。例 6 P165 总体XUa,b，参数a,b未知， 已知 是来自总体的样本值，求b的最大似然估计。以下为第一版例。例2：总体= 参数未知， 是来自总体的样本值，求的最大似然估计。例3：，求未知参数 的

5、最大似然估计。见书P159，例7.1总体X是离散值，一定要写出X的概率函数。例4：一个罐子里装有黑球和白球，每次从中随机的有放回地抽取一个球，直到抽到黑球为止。设停止抽球时所需抽取数是X，这样独立重复的进行了n次实验，获得样本，试求罐子里黑球所占的比例中的最大似然估计。例5：X服从参数为的威布尔分布，而=m>0,>0且未知， 是来自总体的样本值，求参数的最大似然估计。(2)当似然函数L不可数时，或似然函数无解，要用定义求参数的最大似然估计。例6：总体XU0,b，参数b未知， 已知 是来自总体的样本值，求b的最大似然估计。3.未知参数的已知函数的最大似然估计有如下规定：若，未知参数的

6、已知函数为，分别为的最大似然估计，则规定g()为g()的最大似然估计。例：P习题7.5。§7.2 估计量评选标准1.无偏性：定义：设()是的估计量，若E()=，对一切，则称为的无偏估计量，否则称为的有偏估计量。其偏差度为= E()。如果 E()=，则称为的渐近无偏估计量。书上定义是对g()而言的：定义：设未知参数的已知函数g()的估计量为,如果对一切都有则称为的无偏估计量。例10：设总体有二阶矩，E(X)=,D(X)=存在，是该总体的样本，证明为的无偏估计，为的无偏估计，但不是的无偏估计，是的渐近无偏估计。例11：总体XUa,b，b>0，试问b的矩估计是否是b的无偏估计量。注意

7、: (1)若为的无偏估计，g()为的已知函数，而g()不一定是g()的无偏估计。(2)有时的有偏估计也可稍加修改为无偏估计。例：设，是的无偏估计，但不是的无偏估计，可修改为它是的无偏估计。.有效性定义:若和都为的无偏估计量。若， 且至少对一个，有严格不等号成立，则称比有效。例12：比较，,()。估计，哪个有效。定义：设和都是g()的估计量， 如果对一切都有-g()- g() 且存在，有严格不等号成立，则称比有效。此定义为均方误差准则。.相合性（一致估计量）定义7.5：设g()的估计量为，如果对任意的>0,都有=1则称为的相合估计量。§7.2 区间估计一.基本概念设, 是两个统计

8、量，且满足，则称A,B为一随机区间。定义7.6：对于给定的正数，如果对一切都有 则称A,B为的置信度为的置信区间，称为置信区间的置信度，称A、B分别为置信下限和置信上限。常用的形式： 例：某旅游社为调查当地每一旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅游者，得知平均消费额（元）。根据经验，已知旅游者消费额服从正态分布，且标准差（元），那麽该地旅游者平均消费额的置信度为95%的置信区间是什麽。设旅游者消费额为，且知，此题是求的置信区间的问题。（1）找的较好点估计（最大似然估计或无偏估计），。（2）为使，要选有关与的函数且知其分布。当已知时，称为枢轴变量。对给定的，使（3）将不等式 等价变形 本例，

9、计算 得到，当地每位旅游者置信度为95%的平均消费额在77.6元，82.4元之间。Data;u=probit(1-0.05/2);put u=;A=80-(u*12)/sqrt(100); put A=;B=80+(u*12)/sqrt(100); put B=;run;u=1.9599639845A=77.648043219B=82.351956781定义：叫区间半径，叫区间中心， 叫区间长度。二.置信区间的一般求法 (枢轴量法)(1)从的一个较好点估计出发，构造与的一个函数 ，且知其分布又与无关，函数H称为枢轴变量。(2)记H的上分为数和上（1-）分位数为和，使对给定的，有利用不等式运算，

10、将不等式进行等价变形，使得最后得到形如：的不等式。则就是的置信区间，这时有：定义：叫区间半径，或叫区间长度。例1 P170，计算机实现过程。Data;z=probit(1-0.05/2);put z=;A=5.2-(z*1)/sqrt(16); put A=;B=5.2+(z*1)/sqrt(16); put B=;C=B-A; put C=;run;z=1.9599639845A=4.7100090039B=5.6899909961C=0.9799819923P171页下面部分的数值解释。Data;u1=probit(0.04);put u1=;u2=probit(1-0.01);put u

11、2=;A=5.2+(u1*1)/sqrt(16); put A=;B=5.2+(u2*1)/sqrt(16); put B=;C=B-A; put C=;run;u1=-1.750686071u2=2.326347874A=4.7623284822B=5.7815869685C=1.0192584863三.正态总体的参数的区间估计1.一个正态总体的均值、方差的置信区间设总体，是来自总体的样本(1)已知，均值的置信度为的置信区间为：(2)未知，均值的置信度为的置信区间为：。(3)未知，方差的置信度为的置信区间为：的的置信区间为：2. 两个正态总体均值差方差比的置信区间总体样本均值样本方差两个样本

12、相互独立。(1)已知，均值差的置信区间为(2)未知，但，的置信区间为(3)未知，方差比的置信区间为：(4) 已知，的置信区间为：例1 P174Data;t=TINV(1-0.05/2),15); put t=;A=503.75-t*6.2022/sqrt(16); put A=;B=503.75+t*6.2022/sqrt(16); put B=;C=B-A; put C=;run;t=2.1314495456A=500.44508091B=507.05491909C=6.6098381857例2 P175Data;k1=CINV(1-0.05/2, 15);put k1=;k2=CINV(0

13、.05/2, 15);put k2=;A=sqrt(15)*6.2022/sqrt(k1); put A=;B= sqrt(15)*6.2022/sqrt(k2); put B=;C=B-A; put C=;run;k1=27.488392863k2=6.262137795A=4.5815952687B=9.5990905015C=5.0174952328例 3 P177Data;t=tINV(1-0.05/2, 28);put t=;sw=sqrt(9*1.1*2+19*1.2*2)/28); put sw=;A=500-496-sw*t*sqrt(1/10+1/20); put A=;B=

14、500-496+sw*t*sqrt(1/10+1/20); put B=;C=B-A; put C=;run;t=2.0484071418sw=1.1687905837A=3.0727462146B=4.9272537854C=1.8545075707例 4 P177Data;t=tINV(1-0.05/2, 14);put t=;sw=sqrt(7*3.89+7*4.02)/14); put sw=;A=91.73-93.75-sw*t*sqrt(1/8+1/8); put A=;B=91.73-93.75+sw*t*sqrt(1/8+1/8); put B=;C=B-A; put C=;r

15、un;t=2.1447866879sw=1.9887181801A=-4.152688139B=0.1126881394C=4.2653762788例 5 P179data ;F1=FINV(1-0.1/2, 17,12) ; put F1=;F2=FINV(0.1/2, 17,12) ; put F2=;A=0.34/(0.29*F1); put A=;B=0.34/(0.29*F2); put B=;C=B-A; put C=;Run;F1=2.5828389059F2=0.4200526125A=0.4539244745B=2.7911117756C=2.3371873011§7.5 (0-1)分布参数的区间估计P179例 P180data;z=probit(1-0.05/2);put z=;a=100+z*2; put a=;b=-(2*100*0.6+z*2); put b=;c=100*0.6*2; put c=;p1=1/(2*a)*(-b-sqrt(b*2-4*a*c); put p1=;p2=1/(2*a)*(-b+sqrt(b*2-4*a*c); put p2=;p=p2-p1; put p=;run;z=1.9599639845a=103.841458