数理统计与随机过程ch9-方差分析

1、数理统计与随机过程数理统计与随机过程第九章第九章 方差分析及回归分析方差分析及回归分析主讲教师：尹素菊主讲教师：尹素菊 副教授副教授北京工业大学应用数理学院北京工业大学应用数理学院第一节单因素试验的方差分析一、单因素试验一、单因素试验二、平方和的分解二、平方和的分解四、假设检验问题的拒绝域四、假设检验问题的拒绝域的统计特性的统计特性三、三、AESS ,五、未知参数的估计五、未知参数的估计六、小结六、小结化工产品的化工产品的数量和质量数量和质量反应温度反应温度压力压力原料成分原料成分原料剂量原料剂量溶液浓度溶液浓度操作水平操作水平反应时间反应时间机器设备机器设备一、单因素试验方差分析方差分析根据

2、试验的结果进行分析根据试验的结果进行分析,鉴别鉴别各个有关因素对试验结果的影响程度各个有关因素对试验结果的影响程度.试验指标试验指标试验中要考察的指标试验中要考察的指标.因素因素影响试验指标的条件影响试验指标的条件.因素因素可可 控控 因因 素素 不可控因素不可控因素水平水平因素所处的状态因素所处的状态.单因素试验单因素试验在一项试验中只有一个因素改变在一项试验中只有一个因素改变.多因素试验多因素试验在一项试验中有多个因素在改变在一项试验中有多个因素在改变.例例1设有三台机器设有三台机器, ,用来生产规格相同的铝合金薄用来生产规格相同的铝合金薄板板.取样取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米测

3、量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结得结果如下表所示果如下表所示.表表9.1铝合金板的厚度铝合金板的厚度机器机器机器机器机器机器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262试验指标试验指标: 薄板的厚度薄板的厚度因素因素: 机器机器水平水平: 不同的三台机器是因素的三个不同的水平不同的三台机器是因素的三个不同的水平假定除机器这一因素外假定除机器这一因素外, 其他条件相同其他条件相同, 属于属于单因素试验单因素试验.试验目的试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度考察各台机器所生产的薄板的

4、厚度有无显著的差异有无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无即考察机器这一因素对厚度有无显著的影响显著的影响. 例例2下表列出了随机选取的下表列出了随机选取的、用于计算器的四种用于计算器的四种类型的电路的响应时间类型的电路的响应时间（以毫秒计以毫秒计）.表表9.2电路的响应时间电路的响应时间类型类型类型类型类型类型19 1522201820 4021332716 17151826类型类型182219试验指标试验指标:电路的响应时间电路的响应时间因素因素:电路类型电路类型水平水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平四种电路类型为因素的四个不同的水平单因素试验单因素试验试验目的试验目的:考察

5、电路类型这一因素对响应时间有无考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响显著的影响.例例3一火箭用四种燃料一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得得射程如下射程如下（以海里计以海里计）.表表9.3火箭的射程火箭的射程推进器推进器(B)B1B2B3燃料燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4试验指标试验指标: 射程

6、射程因素因素: 推进器和燃料推进器和燃料水平水平: 推进器有推进器有3个个,燃料有燃料有4个个双因素试验双因素试验试验目的试验目的: : 考察推进器和燃料两因素对射程有考察推进器和燃料两因素对射程有 无显著的影响无显著的影响. 在每一个水平下进行独立试验在每一个水平下进行独立试验,结果是一结果是一个随机变量个随机变量.例例1表表9.1铝合金板的厚度铝合金板的厚度机器机器机器机器机器机器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262问题分析问题分析将数据看成是来自三个总体的样本值将数据看成是来

7、自三个总体的样本值.,321 设总体均值分别为设总体均值分别为.,:,:32113210不全相等不全相等 HH 检验假设检验假设.,:,:32113210不全相等不全相等 HH 检验假设检验假设进一步假设各总体均为正态变量进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的且各总体的方差相等方差相等,但参数均未知但参数均未知.问题问题检验同方差的多个正态总体均检验同方差的多个正态总体均值是否相等值是否相等.解决方法解决方法方差分析法方差分析法,一种统计方法一种统计方法. 12MBA的起薪与专业有关吗？ 一家关于一家关于MBAMBA报考、学习、就业指导的网站希报考、学习、就业指导的网站希望了解国内望了解国内

8、MBAMBA毕业生的起薪是否与各自所学的专业有关，毕业生的起薪是否与各自所学的专业有关，为此，他们在已经在国内商学院毕业并且获得学位的为此，他们在已经在国内商学院毕业并且获得学位的MBAMBA学生中按照专业分别随机抽取了学生中按照专业分别随机抽取了1010人，调查了他们的起薪人，调查了他们的起薪情况，数据如下表所示（单位：情况，数据如下表所示（单位： 万元），根据这些数据万元），根据这些数据他们能否得出专业对他们能否得出专业对MBAMBA起薪有影响的结论？起薪有影响的结论？观观 测测1 12 23 34 45 56 67 78 89 91 10 0专专 业业 A A1 16 . 78 . 31

9、 6 . 21 1 . 69 . 81 0 . 25 . 15 . 26 . 29 . 1专专 业业 A A2 27 . 35 . 21 3 . 97 . 41 0 . 61 2 . 86 . 27 . 61 0 . 24 . 1专专 业业 A A3 38 . 47 . 23 . 41 6 . 77 . 31 2 . 25 . 21 06 . 38 . 2专专 业业 A A4 41 1 . 51 89 . 31 7 . 79 . 26 . 81 4 . 59 . 31 6 . 89 . 213对数据的初步认识. 根据这些汇总，你的印象是什么？专业A1专业A2专业A3专业A4样本平均8.848.

10、538.4912.23样本标准差3.393.233.774.15样本方差11.5210.4414.2417.20全距11.19.813.311.2最小值5.14.13.46.8最大值16.213.916.718求和88.485.384.9122.3计数10101010数学模型数学模型 jAAAAsAjs(,21在水平在水平个水平个水平有有设因素设因素得到如下表得到如下表次独立试验次独立试验进行进行下下,)2(,), 2 , 1 jjnns.的结果的结果表表 9.4观察结果观察结果水平水平样本总和样本总和样本均值样本均值总体均值总体均值1A2AsA11X21X11nX12X22X22nXsX1s

11、X2snsX1 T2 TsT 1 X2 XsX 1 2 s 假设假设;),(), 2, 1(,), 2 , 1(. 1 22221均未知均未知与与的正态总体的正态总体均值分别为均值分别为来自具有相同方差来自具有相同方差下的样本下的样本各个水平各个水平 jjjjnjjjNsjXXXsjAj . 2下的样本之间相互独立下的样本之间相互独立不同水平不同水平jA),(2 jijNX 因为因为)., 0(2 NXjij所以所以 可写成可写成那么那么表示随机误差表示随机误差记记ijijjijXX, ) 1 . 1 (., 2, 1, 2, 1 , ), 0( ,22均未知与独立各jjijijijjijsj

12、niNX单因素试验方差分析的数学模型单因素试验方差分析的数学模型需要解决的问题需要解决的问题.,:,:211210不全相等不全相等ssHH 1.检验假设检验假设.,. 2221 s估计未知参数估计未知参数数学模型的等价形式数学模型的等价形式.1,11 sjjjsjjnnnn 记记总平均总平均., 2 , 1,sjjj . 02211 ssnnn .,平均的差异平均的差异平均值与总平均值与总下的总体下的总体表示水平表示水平应应的效的效水平水平jjAA12) 1 . 1 ( . 0, 2, 1, 2, 1 , ), 0( ,独立各sjjjjijijijjijnsjniNX 均均未未知知与与独独立立

13、各各., 2, 1, 2, 1 , ), 0( ,22 jjijijijjijsjniNX原数学模型原数学模型改写为改写为.,:,:211210不全相等不全相等ssHH 检验假设检验假设等价于等价于检验假设检验假设.,:, 0:211210不全为零不全为零ssHH sjniijjXnX111数据的总平均数据的总平均 sjniijTjXXS112)(总偏差平方和总偏差平方和（总变差总变差） jniijjjXnX11下的样本平均值下的样本平均值水平水平jA二、平方和的分解 sjniijTjXXS112)( sjnijjijjXXXX112)()( sjnijsjnijijjjXXXX112112)

14、()( sjnijjijjXXXX11)(20 sjnijsjnijijTjjXXXXS112112)()(AESS sjnijijEjXXS112)(误差（组内）平方和误差（组内）平方和 sjjjsjnijAXXnXXSj12112)()(212XnXnsjjj 效应（处理或组间）平方和效应（处理或组间）平方和 sjnijijEjXXS112)(,)()(1212111 snisisniiXXXX,1),()(212倍倍的样本方差的的样本方差的是是 jjnijijnNXXj ).1()(2212 jnijijnXXj 三、SE , SA 的统计特性分布的可加性知分布的可加性知所以由所以由独立

15、独立又由于各又由于各2, ijX),)1(122 sjjEnS .),( 122 sjjEnnsnS其中其中即即 分布的性质可以得到分布的性质可以得到根据根据2 ; snSE 的自由度为的自由度为.)()(2 snSEE sjnijAjXXS112)( sjjjXXn12)( sjjjsjjjjXXnXXnn11)()(因为因为011 XnXsjniijj.1 sSA的自由度为的自由度为所以所以,1,1111相互独立相互独立又因为又因为ijsjniijsjjjXXnXnnj . )/,(2nNX 所以所以)(212XnXnESEsjjjA 212XnXnSsjjjA )()(212XnEXEn

16、sjjj )(22122 nnnnsjjjj2122122)1( nnnnssjjjsjjj sjjjns122)1( 0 ,独立独立与与EASS,0为真时为真时H).1(/22 sSA 检验假设检验假设.,:, 0:211210不不全全为为零零ssHH ,0为真时为真时H).1(/22 sSA .1,)1(22的无偏估计的无偏估计是是即即 sSsSEAA, 0,121 sjjjnH 为真时为真时.11)1(2122 sjjjAnssSE四、假设检验问题的拒绝域,)()(2 snSEE 因为因为,)(2 snSEE所以所以.)(,20的无偏估计的无偏估计都是都是是否为真是否为真即不管即不管 s

17、nSHE .)()1(snSsSFEA ;. 1 分子和分母相互独立分子和分母相互独立;. 22 的数学期望始终是的数学期望始终是分母分母ES.,. 3020取值有偏大的趋势取值有偏大的趋势分子分子不真时不真时分子的期望为分子的期望为为真时为真时HH 拒绝域形如拒绝域形如.)()1(ksnSsSFEA ),(),1(/,22220snSsSHEA 为真时为真时因为因为,0为真时为真时所以所以 H)., 1()()1(22snsFsnSsSEA )()1(snSsSEA 检验假设检验假设.,:, 0:211210不全为零不全为零ssHH )., 1()()1(snsFsnSsSFEA 拒绝域为拒

18、绝域为单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表方差来源方差来源因素因素A误差误差总和总和平方和平方和 自由度自由度 均方均方F比比ASESTS1 ssn 1 n1 sSSAAsnSSEE EASSF , 1,111 sjniijniijjjjXTsjXT记记,2112nTXSsjniijTj .ATESSS ,212nTnTSsjjjA 例例4设有三台机器设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄用来生产规格相同的铝合金薄板板.取样取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结得结果如下表所示果如下表所示.表表9.1铝合金板的厚度铝合金板的厚度机器机器机器机器机器机

19、器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262.,: ,: ,05. 032113210不全相等不全相等检验假设检验假设取取 HH 解解,15, 5, 3321 nnnns.192000. 0,33053001. 0,33245001. 0 EATSSS方差分析表方差分析表方差来源方差来源因素因素A误差误差总和总和平方和平方和自由度自由度均方均方F比比0.0010533332.920.000526670.000016212140.0001920.00124533.89. 3)12, 2(9

20、2.3205. 0 FF.05. 00H下拒绝下拒绝在水平在水平各机器生产的薄板厚度有显著差异各机器生产的薄板厚度有显著差异.在在MATLAB中的求解中的求解函数函数:anova1格式格式:p=anova1(x)说明说明:对样本对样本X中的多列数据进行单因素方差分析中的多列数据进行单因素方差分析,比较各列的均值比较各列的均值,返回返回“零假设零假设”成立的概率值成立的概率值,如果如果概率值接近于零概率值接近于零,则零假设值得怀疑则零假设值得怀疑,表明各列的均表明各列的均值事实上是不同的值事实上是不同的.源程序源程序: x=0.236,0.238,0.248,0.245,0.243; 0.257

21、,0.253,0.255,0.254,0.261; 0.258,0.264,0.259,0.267,0.262;p=anova1(x)R程序实现X-c(0.236, 0.238, 0.248, 0.245, 0.243, 0.257, 0.253, 0.255, 0.254, 0.261, 0.258, 0.264, 0.259, 0.267,0.262)A-factor(rep(1:3, each=5)miscellany-data.frame(X, A)aov.misF) A 2 0.00105333 0.00052667 32.917 1.343e-05 *Residuals 12 0.

22、00019200 0.00001600 -Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 Excel进行方差分析Excel中通过“工具”-“数据分析”-“方差分析：*”（若没有可通过“工具”-“加载宏”勾选“分析工具库”来添加）如果没有则需要安装添加其中*根据实际情况选择一种（单因素、两因素有重复、两因素无重复）36方差分析差异源SSdfMSFP-valueF crit组间98.474753 32.82492 2.458821 0.078518 2.866265组内480.59536 13.34986总计579.069739若=0.1， 你的结论是什么

23、？对MBA数据方差分析表为例例5:5: 在例在例2 2中，四类电路的响应时间的总体均为正中，四类电路的响应时间的总体均为正态分布，且各总体的方差相同，但参数未知。设各态分布，且各总体的方差相同，但参数未知。设各样本相互独立。取检验水平样本相互独立。取检验水平=0.05,=0.05,检验各类电路检验各类电路的响应时间是否有显著差异。的响应时间是否有显著差异。解解: 分别以分别以1, 2, , 3, 4 记类型记类型i, , , 四种电四种电路的响应时间总体均值。我们需要检验：路的响应时间总体均值。我们需要检验： H0 : 1 =2 =3 =4， H1 : 1, 2, 3, 4不全相等不全相等.现

24、在，现在，n=18, s=4, n1 = n2 = n3 =5, n4 =3，.,.46395983184471418386899212211222ATEsjjjAsjniijTSSSnTnTSnTXSj， 因为因为F F 0.050.05(3,14)=3.343.76(3,14)=3.349.78，故我们可认为各水平间有显著差异。 3544 3240304,10 1 93498 3240258,4 1 3304 25846,10 46TTAAEESfSfSf 22180324010Tn 例9. 继续例8，若取 =0.05，则查表知q0.05(3, 21)=3.57，而 。所以 ，认为1与2有

25、显著差别 ，认为1与3无显著差别 ，认为2与3有显著差别 这说明： 1与3之间无显著差别，而它们与2之间都有显著差异。 36.65543.57 36.6554/846.2659c .1.3| 2046.2659XX.2.3| 46.87546.2659XX.1.2| 48.87546.2659XX 由于 这说明A1 , A2 , A3间无显著差异，A1 , A2与A4有显著差异，但 A4与A3 的差异却尚未达到显著水平。综合上述，包装A4销售量最佳。 .1.212.1.313.1.414.2.323.2.424.3.434| 2,| 4,| 12| 6,| 14,| 8XXcXXcXXcXXc

26、XXcXXc 9.2 方差齐性检验 在进行方差分析时要求s个方差相等，这称为方差齐性。理论研究表明，当正态性假定不满足时对F检验影响较小,即F检验对正态性的偏离具有一定的稳健性，而F检验对方差齐性的偏离较为敏感。所以s个方差的齐性检验就显得十分必要。 所谓方差齐性检验是对如下一对假设作出检验： （9.2.1） 22220121siHvsH：诸不全相等 很多统计学家提出了一些很好的检验方法，这里介绍几个最常用的检验，它们是： Hartley检验，仅适用于样本量相等的场合； Bartlett检验，可用于样本量相等或不等 的场合，但是每个样本量不得低于5； 修正的Bartlett检验，在样本量较小或

27、较 大、相等或不等场合均可使用。 9.2.1 Hartley检验(最大F检验) 当各水平下试验重复次数相等时，即n1=n2=ns=m,Hartley提出检验方差相等的检验统计量： （9.2.1） 这个统计量的分布无明显的表达式，但在诸方差相等条件下，可通过随机模拟方法获得H分布的分位数，该分布依赖于水平数s 和样本方差的自由度f=m1，因此该分布可记为H (s，f)，其分位数表可查。 2221222212max,min,sssssHsss 直观上看，当H0成立，即诸方差相等（12 =22=s2）时，H的值应接近于1，当H的值较大时，诸方差间的差异就大，H愈大，诸方差间的差异就愈大，这时应拒绝

28、(9.2.1)中的H0。由此可知，对给定的显著性水平 ，检验H0的拒绝域为 W=H H(s, f ) （9.2.2） 其中H(s, f )为H分布的上 分位数。 例9.2.1 有四种不同牌号的铁锈防护剂（简称防锈剂），现要比较其防锈能力。数据见表9.2.1。 这是一个重复次数相等的单因子试验。我们考虑用方差分析方法对之进行比较分析，为此，首先要进行方差齐性检验。 本例中，四个样本方差可由表9.2.1中诸Qi求出，即 由此可得统计量H的值 在 =0.05时，由表查得H0.05(4,9) =6.31，由于H d （9.2.4） Bartlett证明了，检验的拒绝域为 W=B 2 (s-1) （9.

29、2.5） 考虑到这里2分布是近似分布，在诸样本量ni均不小于5时使用上述检验是适当的。其中 2111111lnlnlnln,13(1)sEEEEEiisiEiifBMSGMSfMSfsCCCsff （9.2.6） 从表9.1.6中数据可求得s12=18, s22=1, s32=4, s42=18，再从例8得MSE =7.67，由此可求得 还可求得Bartlett检验统计量的值 对给定的显著性水平 =0.05，查表知0.052 (41) =7.815。由于B7.815，故应保留原假设H0，即可认为诸水平下的方差间无显著差异。 11111111.31483(4 1)12216C 16 ln7.67

30、ln182 ln12 ln4ln182.791.3148B 例9.2.2 在显著性水平 =0.05 检验例8中食品包装的四个总体的方差是否一致9.2.3 修正的Bartlett检验 针对样本量低于5时不能使用Bartlett检验的缺点，Box提出修正的Bartlett检验统计量 （9.2.9）其中B与C如（9.2.6）所示，且21()f BCBf ABC 2122211,(1)22/frfrfACCf 在原假设H0：12 =22=r2成立下，Box还证明了统计量 的近似分布是F分布F(f1, f2)，对给定的显著性水平 ，该检验的拒绝域为 （9.2.10） 其中f2的值可能不是整数，这时可通过

31、对F分布的分位数表施行内插法得到分位数。 B12(,)WBFff 例9.2.3 对例8数据，我们用修正的Bartlett检验再一次对等方差性作出检验。 在例9.2.2中已求得：C=1.3148，B=2.79，还可求得： 对给定的显著性水平 =0.05，在F分布 的 分 位 数 表 上 可 查 得 F0 . 0 5( 3 , 5 0 . 5 ) = F0.05(3,)=2.60 由于 2.60，故保留原假设H0，即认为四个水平下的方差间无显著差异。 B1224 134 150.5(1.3148 1)50.569.672 1.31482/50.550.5 2.79 1.31480.9363(69.

32、672.79 1.3148)ffAB 75整理我们的思路哪些问题可以化成单因子方差分析问题？方差分析时使用的模型是什么？方差分析的过程是怎样的？如何使用软件获得方差分析表？在什么情况下才需要并且可以做多重比较？方差齐性检验一、双因素等重复试验的方差分析一、双因素等重复试验的方差分析二、双因素无重复试验的方差分析二、双因素无重复试验的方差分析三、小结三、小结第二节双因素试验的方差分析77哪些因素影响GMAT成绩？ 得克萨斯州的一所大学提出了三种得克萨斯州的一所大学提出了三种GMATGMAT辅导辅导课程：即课程：即3 3小时复习、小时复习、1 1天课程和天课程和1010周强化班，他们需周强化班，他

33、们需要了解这三种辅导方式如何影响要了解这三种辅导方式如何影响GMATGMAT成绩。另外，通成绩。另外，通常考生来自三类院校，即商学院、工学院、艺术与科常考生来自三类院校，即商学院、工学院、艺术与科学院。因此，了解不同类型学校毕业的考生学院。因此，了解不同类型学校毕业的考生GMATGMAT成绩成绩是否有差异也是一个让人感兴趣的话题。最后，是否是否有差异也是一个让人感兴趣的话题。最后，是否一类学校的考生适应一种辅导课程，而另一类学校的一类学校的考生适应一种辅导课程，而另一类学校的考生适合其他课程？考生适合其他课程？ 他们在三类学校中每一个随机抽取他们在三类学校中每一个随机抽取6 6个学生，个学生，

34、随机指派两名到一门辅导课程中，最后他们的随机指派两名到一门辅导课程中，最后他们的GMATGMAT成成绩结果如下表所示绩结果如下表所示。7818个学生的GMAT成绩商商学学院院工工学学院院艺艺术术与与科科学学学学院院3小小时时复复习习5 50 00 05 54 40 04 48 80 05 58 80 04 46 60 04 40 00 01天天课课程程4 46 60 05 56 60 04 42 20 05 54 40 06 62 20 04 48 80 010周周强强化化5 56 60 06 60 00 04 48 80 06 60 00 05 58 80 04 41 10 079对问题的初

35、步分析双因子，因子A-辅导课程：三个水平； 因子B-学校类型：三个水平；检验假设： H01：因子A对GMAT成绩无影响； H02：因子B对GMAT成绩无影响； H03：因子A与因子B无交互作用。80认识交互作用-无交互作用的情况A1A2A3B1B2B381认识交互作用-有交互作用的情况A1A2A3B1B2B3.,:21rAAAA因素因素.,:21sBBBB因素因素表表9.8因素因素A因素因素B1A2ArA1B2BsBtXXX11112111, ,tXXX21212211, ,tXXX12122121, ,tXXX22222221, ,stssXXX12111, ,stssXXX22212, ,

36、trrrXXX11211, ,trrrXXX22221, ,rstrsrsXXX, ,21一、双因素等重复试验的方差分析假设假设., 1, 1, 1),(2tksjriNXijijk .,2均为未知参数均为未知参数独立独立各各 ijijkX ., 2 , 1, 2 , 1, 2 , 1,), 0( ,2tksjriNXijkijkijkijijk独立独立各各 记号记号 risjijrs111 总平均总平均rissjiji, 1 ,11 sjrriijj, 1 ,11 riii, 1, sjjj, 1, 的效应的效应水平水平iA的效应的效应水平水平jB. 0 , 011 sjjrii )( ji

37、ijjiijij 记为记为,ijji 的交互效应的交互效应和水平和水平水平水平jiBAsjriij, 1, 01 risjij, 1, 01 . 0, 0, 0, 0, 2 , 1, 2 , 1, 2 , 1 ,), 0( ,11112sjijriijsjjriiijkijkijkijjiijktksjriNX 独立独立各各双因素试验方差分析的数学模型双因素试验方差分析的数学模型检验假设检验假设 .,:, 0:21112101不全为零不全为零rrHH .,:, 0:21122102不全为零不全为零ssHH .,:, 0:121113121103不全为零不全为零rsrsHH 2. 研究统计特性研

38、究统计特性;检验步骤检验步骤 1. 分解平方和分解平方和;3. 确定拒绝域确定拒绝域.1.分解平方和分解平方和 risjtkijkXrstX1111 tkijkijXtX11 sjtkijkiXstX111 ritkijkjXrtX111 risjtkijkTXXS1112)(总偏差平方和总偏差平方和(总变差总变差) risjtkjiijijkXXXXXX111)()()(2)(XXXXjiij risjtkjiijijkXXXXXX111)()()(2)(XXXXjiij risjtkijijkXX1112)( riiXXst12)( sjjXXrt12)( risjjiijXXXXt112

39、)( TSESBS AS BAS 误差误差平方和平方和因素因素 A 的的效应平方和效应平方和因素因素 B 的的效应平方和效应平方和因素因素A,B的交的交互效应平方和互效应平方和2.研究统计特性研究统计特性1 rst)1( trs1 r1 s)1)(1( sr2)1( trs riistr122)1( rijrts122)1( risjijtsr1122)1)(1( TSESASBSBAS 自由度自由度数学期望数学期望3.确定拒绝域确定拒绝域,0:2101为真时为真时当当 rH ).1(, 1()1()1( trsrFtrsSrSFEAA的拒绝域为的拒绝域为得假设得假设取显著性水平为取显著性水平

40、为01,H ).1(, 1()1()1( trsrFtrsSrSFEAA 的拒绝域为的拒绝域为得假设得假设取显著性水平为取显著性水平为类似地类似地02,H ).1(, 1()1()1( trssFtrsSsSFEBB 的拒绝域为的拒绝域为得假设得假设取显著性水平为取显著性水平为03,H )1()1)(1( trsSsrSFEBABA. ) )1(),1)(1( ( trssrF 表表9.9双因素试验的方差分析表双因素试验的方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比因素因素A因素因素B交互作用交互作用误差误差总和总和TSESASBSBAS 1 rst)1( trs1 r1

41、s)1)(1( sr1 rSSAA1 sSSBB)1)(1( srSSBABA)1( trsSSEEEAASSF EBBSSF EBABASSF 记记., 2 , 1, 2 , 1, 2 , 1, 2 , 1,11111111sjXTriXTsjriXTXTritkijkjsjtkijkitkijkijrisjtkijk (2.22) . BABATEBArisjijBArijBriiArisjtkijkTSSSSSSSrstTTtSrstTTrtSrstTTstSrstTXS,1,1,1,211221221221112平方和。式来计算上表中的各个我们可以按照下述)22. 2(95方差分析差异

42、源SSdfMSFP-valueF crit样本610023050 1.382872 0.299436 4.256492列45300222650 10.26952 0.004757 4.256492交互1120042800 1.269521 0.350328 3.63309内部1985092205.555556总计8245017对GMAT数据得出方差分析表例例1一火箭用四种燃料一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得得射程如下射程如下（以海里计以海里计）.?)()(,05. 0,交互作用是否显

43、著交互作用是否显著异异下的射程是否有显著差下的射程是否有显著差因素因素、不同推进器、不同推进器因素因素检验不同燃料检验不同燃料下下在水平在水平析模型所需的条件析模型所需的条件假设符合双因素方差分假设符合双因素方差分BA在在MATLAB中求解中求解函数函数:anova2格式格式:p=anova2(x,reps)说明说明:执行平衡的双因素试验的方差分析来比较执行平衡的双因素试验的方差分析来比较x中两个或多个列或行的均值中两个或多个列或行的均值.不同列的数据代表某不同列的数据代表某一因素的差异一因素的差异,不同行的数据代表另一因素的差异不同行的数据代表另一因素的差异.如果每行列对有多于一个的观察值如

44、果每行列对有多于一个的观察值,则变量则变量reps指指出每一单元观察点的数目出每一单元观察点的数目,每一单元包含每一单元包含reps行行.Matlab源程序源程序:a=58.2,56.2,65.3;52.6,41.2,60.8; 49.1,54.1,51.6;42.8,50.5,48.4; 60.1,70.9,39.2;58.3,73.2,40.7; 75.8,58.2,48.7;71.5,51.0,41.4;p=anova2(a,2)R源程序：源程序：juice-data.frame(X = c(58.2, 52.6,56.2,41.2,65.3,60.8,49.1,42.8,54.1,50

45、.5,51.6,48.4,60.1,58.3,70.9,73.2,39.2,40.7,75.8,71.5,58.2,51.0,48.7,41.4),A = gl(4, 6),B = gl(3, 2) juice.aovF) A 3 261.68 87.23 4.4174 0.025969 * B 2 370.98 185.49 9.3939 0.003506 * A:B 6 1768.69 294.78 14.9288 6.151e-05 *Residuals12 236.95 19.75 -Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 解解: 现在

46、现在 r =4，s=3，t =2。需检验假设需检验假设H01, H02, H03, (见见(2.6) (2.8) )。首先计算。首先计算T, Tij ., Ti., T.j .，表中括，表中括号内的数是号内的数是Tij. 。然后按。然后按(2.22)式计算下列各式：式计算下列各式：,298332638248 .1319)4 .416 .522 .58(2222 .ST,67500261248 .1319)6 .3464 .3425 .2963 .334(6122222 .SA,98083370248 .1319)1 .3963 .4554 .468(812222 .SB,69250176824

47、8 .1319)1 .909 .918 .110(212222 .SSSBABA.95000.236BABATESSSSS得方差分析表如下：得方差分析表如下： 由于由于 F0.05 (3,12)=3.49FA, F0.05(2,12)=3.89FB，所以，在水平所以，在水平 = = 0.05下，拒绝原假设下，拒绝原假设H01与与H02，即，即认为不同燃料或不同推进器下的射程有显著差异。也认为不同燃料或不同推进器下的射程有显著差异。也就是说，燃料和推进器这两个因素对射程的影响都是就是说，燃料和推进器这两个因素对射程的影响都是显著的。显著的。又又, ,F0.05(6,12)=3.00 FAB 。故

48、拒绝。故拒绝H03。值得注意的。值得注意的是是, F0.001 (6,120.001)=8.38 也远远小于也远远小于 FAB =14.9，故交互作用的效应是高度显著的。故交互作用的效应是高度显著的。 从表从表9.10可看出，可看出，A4与与B1或或A3与与B2的搭配都使火的搭配都使火箭射程较之其他水平的搭配要远得多。实际中箭射程较之其他水平的搭配要远得多。实际中, 我们我们选最优的搭配方式来实施。选最优的搭配方式来实施。 例例2在某种金属材料的生产过程中在某种金属材料的生产过程中,对热处理温度对热处理温度(因素因素B)与时间与时间(因素因素A)各取两个水平各取两个水平,产品强度的测产品强度的

49、测定结果定结果(相对值相对值)如表所示如表所示.在同一条件下每个实验重在同一条件下每个实验重复两次复两次.设各水平搭配下强度的总体服从正态分布设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同且方差相同.各样本独立各样本独立.问热处理温度问热处理温度、时间以及时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响?( 取取显著性水平为显著性水平为 0.05 ) BB1B2AA1A238.038.6(76.6) jT47.044.8(91.8)45.043.8(88.8)42.440.8(83.2)168.4172165.4175340.4 iT在在MATLAB

50、中求解中求解程序运行结果程序运行结果a=38.0,47.0; 38.6,44.8; 45.0,42.4; 43.8,40.8;p=anova2(a,2)源程序源程序解：解：按题意需检验假设按题意需检验假设(2.6) (2.8)，作计算如下，作计算如下.6 .482.1085452.1162.102.1448424.340)1754 .165(4162184 .340)1724 .168(4182.184 .340)8 .406 .380 .38(2222222222BABAEBABATSSSS，.S，.S，.SS7 7 ，得方差分析表如表得方差分析表如表9.13. 由

51、于由于F0.05(1,4)=7.71，所以认为时间对强度的影响，所以认为时间对强度的影响不显著不显著, 而温度的影响显著而温度的影响显著, 交互作用的影响也显著。交互作用的影响也显著。检验两个因素的交互效应检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一对两个因素的每一组合至少要做两次试验组合至少要做两次试验.这是因为在模型这是因为在模型(2.5)中，中，若若k=1，ij+ij 总以结合在一起的形式出现，总以结合在一起的形式出现，这样就不能将交互作用与误差分离出来。这样就不能将交互作用与误差分离出来。如果已知不存在交互作用如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对或已知交互作用对试验的指标影响很小试验的

52、指标影响很小,则可以不考虑交互作用则可以不考虑交互作用.对两个因素的每一组合只做一次试验对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以也可以对各因素的效应进行分析对各因素的效应进行分析双因素无重复试验双因素无重复试验的方差分析的方差分析.二、双因素无重复试验的方差分析表表9.14因素因素B因素因素A1ArA2A1B2BsB11X21X1rX12X22X2rXsX1sX2rsX假设假设., 1, 1),(2sjriNXijij .,2均为未知参数均为未知参数独立独立各各 ijijX ,), 0(, 2 , 1, 2 , 1 ,2独立独立各各ijijijijijNsjriX ., 0, jiijij 由于不存在交互作用由于不存在交互作用 . 0, 0, 2 , 1, 2 , 1 ,), 0( ,112sjjriiijijijjiijsjriNX 独立独立各各双因素无重复试验方差分析的数学模型双因素无重复试验方差分析的数学模型检验假设检验假设 .,:, 0:21112101不全为零不全为零rrHH .,:, 0:21122102不全为零不全为零ssHH 表表9.15双因素无重复试验的方差分析表双因素无重复试验的方差分析表方差方差来源来源平方平方 和和自由度自