图形证明与计算

1、图形证明与计算(1)1. (2010 北京)已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EAAD，FDAD，AE=DF， AB=DC。求证：ÐACE=ÐDBF。ADBEFCO2（2010德州）点E，F在BC上，BECF，AD，BC，AF与DE交于点O(1)求证：ABDC； (2)试判断OEF的形状，并说明理由3. 如图，已知点在线段上，请在下列四个等式中，ABDE，ACBF，AD，ACDF选出两个作为条件，推出并予以证明（写出一种即可）CEBFDA已知： ， 求证：证明：4.( 2010苏州) 如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CD=CE(1)求证：

2、ACDBCE；(2)若D=50°，求B的度数5.(2010苏州) 如图，在ABC中，C=90°，AC=8，BC=6P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x (1)在ABC中，AB= ； (2)当x= 时，矩形PMCN的周长是14；(3)是否存在x的值，使得PAM的面积、PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明6.（2010年湖南郴州）已知：如图，把绕边BC的中点O旋转得到.求证：四边形ABDC是平行四边形.7、 (2010年晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边

3、形是平行四边形，并予以证明（写出一种即可）关系：，ABCD已知：在四边形中， ， ；求证：四边形是平行四边形8. （2010哈尔滨）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB.(1) 求证：ADFDEC(2) 若AB4,AD3,AE3,求AF的长.9.（2010江苏泰州）如图，四边形ABCD是矩形，EDC=CAB，DEC=90°(1)求证：ACDE；(2)过点B作BFAC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由10.（2010潼南）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F

4、分别在AG上，连接BE、DF，1=2 ， 3=4.（1）证明：ABEDAF；（2）若AGB=30°，求EF的长.11. (2010兰州) 已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10， BD=8 （1）若ACBD，试求四边形ABCD的面积 ；（2）若AC与BD的夹角AOD=，求四边形ABCD的面积； （3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且AOD=AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积（用含，的代数式表示） 12（2010长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED（1）求证：BECDEC；（2）延长BE

5、交AD于F，当BED=120°时，求EFD的度数AFDEBC13.（2010益阳）如图，在菱形ABCD中，A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E(1) 求ABD 的度数； (2)求线段的长14（2010龙岩）如图，将边长为的菱形ABCD纸片放置在平面直角坐标系中.已知B=45°.（1）画出边AB沿y轴对折后的对应线段，与边CD交于点E；（2）求出线段 的长；（3）求点E的坐标.15.（2010眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OC

6、ED的面积16.（2010安徽）如图，ADFE，点B、C在AD上，12，BFBC求证：四边形BCEF是菱形;若ABBCCD，求证：ACFBDE。BCAEDF17.（2010丹东）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长18.(2010聊城)如图，在等边ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边ADE.（1）求CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形ACBDEF19.（2010日照）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC与E，交BC与D求证

7、：（1）D是BC的中点；（2）BECADC； （3）BC2=2AB·CE20. (2010东阳）如图，BD为O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4. （1）求证: ；(2) 求的值； （3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，求的度数. 21.（2010安徽）如图，已知ABC，相似比为（），且ABC的三边长分别为、（），的三边长分别为、。若，求证：；若，试给出符合条件的一对ABC和，使得、和、进都是正整数，并加以说明；若，是否存在ABC和使得？请说明理由。【解析】不存在这样的ABC和，若k=2，则又， b=2c b+c=2c+c<4c=a，而b+c

8、>a故不存在这样的ABC和使得。22.（2010门头沟区）已知，如图，直线MN交O于A,B两点，AC是直径，COBADMENAD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证：DE是O的切线；（2）若cm，cm，求O的半径.23.(2010聊城)如图，已知R tABC，ABC90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BDACBDEO·（1）若AD3，BD4，求边BC的长；（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与O相切PBAEOCD24.（2010宿迁）如图，AB是O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切O于点D，连结CD交A

9、B于点E求证：（1）PD=PE；（2）25.（2010镇江）如图，在ABC和ADE中，点E在BC边上，BAC=DAE，B=D，AB=AD. （1）求证：ABCADE；（2）如果AEC=75°，将ADE绕着点A旋转一个锐角后与ABC重合，求这个旋转角的大小. 26.（2010陕西）如图，在RTABC中ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE（1）若BE是DEC的外接圆的切线，求C（2）当AB=1,BC=2是求DEC外接圆的半径27.（2010烟台）如图以ABC的一边AB为直径作O，O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作O的切线交AC边于点

10、E。（1）求证：DEAC；（2）若ABC=30°，求tanBCO的值。FADEBCO·28.（2010湖州）如图，已知ABC内接于O，AC是O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F（1）求证：EF是O的切线；（2）若EF8，EC6，求O的半径29（2010无锡）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西195 km 处有一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处（

11、1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由30(2010连云港）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得AEP74°，BEQ30°；在点F处测得AFP60°，BFQ60°，EF1km（1）判断AB和AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）（参考数据：1.73，ADBADEBADFEBADQFEBADPQFEBADsin74°0.96 ，cos74°0.28，tan74°

12、3.49，sin76°0.97，cos76°0.24）31（2010长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°求路况显示牌BC的高度32.（2010宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直.已知装饰画的高度AD为0.66米，求： 装饰画与墙壁的夹角C

13、AD的度数（精确到1°）；ACDEB 装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）.33. （2010昆明）热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：）34 （2010黄冈）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点

14、N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.35.(2010宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，。DABC（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长。（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形。（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）DABCDABCDABC（图2）（图3）（图4） 周长为_ 周长为_ 周长为_36.（玉溪2010） 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（

15、1）AB平行于CD如图a，点P在AB、CD外部时，由ABCD，有B=BOD，又因BOD是POD的外角，故BOD=BPD +D，得BPD=B-D如图b，将点P移到AB、CD内部，以上结论是否成立？，若不成立，则BPD、B、D之间有何数量关系？请证明你的结论；图aO图b（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则BPDBDBQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图d中A+B+C+D+E+F的度数图c图dGO 37. (2010年无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是DCP

16、的平分线上一点若AMN=90°，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90°，AB=BCNMC=180°AMNAMB=180°BAMB=MAB=MAE图1（下面请你完成余下的证明过程）图2（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由 （3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=

17、°时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）ACBDFE38（2010金华）如图，在ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE. 请你添加一个条件，使BDECDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明（1）你添加的条件是： ；（2）证明： 39.（2010天津）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.（）若，求此时抛物线顶点的坐标；（）将（）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE = SABC，求此时直线的解析式；（）将（）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE = 2SAOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.解：解：（）当，时，抛物线的解析式为，即. 抛物线顶点的坐标为（1，4） （）将（）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有， 抛物线的解析式为（） 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为 方程的两个根为， 此时，抛物线与轴的交点为，EyxFBDAOC如图，过点作EFCB与轴交于点，连接，则SBCE = SBCF